10.1.3古典概型-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

10.1.3 古典概型 1.理解古典概型的概念及特点， 会判断古典概型. 2.掌握古典概型概率公式，能利用公式解决简单的概率计算问题.(重点、难点) 学习目标 在研究随机现象时，了解随机事件发生的可能性大小至关重要。我们用概率来量化这种可能性，事件A的概率表示为P(A)。虽然试验和观察可以估计事件的概率，但这种方法既耗时又只能得到近似值。那么，有没有办法通过建立数学模型来直接计算随机事件的概率呢？这就是我们本节课要探讨的内容。 导 语 目 录 1 2 3 4 古典概型的判断 古典概型的计算 放回与不放回问题 CONTENTS 书读百遍 其义自现 古典概型的判断 1 提示　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等. 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 思考1 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有　　　　； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性　　　. 则称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称_____ . 有限个 相等 古典 概型 知识梳理 题型一　古典概型的判断 √ 探究1 √ 古典概型的计算 2 提示　A={2，4，6}. 对于掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，又P(A1)+P(A2) +…+P(A6)=P(必然事件)=1，所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=，P(A)==. 在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？ 思考2 一般地，设试验E是　　　　　，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含 其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=　 = . 古典概型 15 题型二　古典概型的计算 探究2 放回与不放回问题 3 题型三　 “放回”与“不放回”问题 探究3 探究4 书读百遍 其义自现 4 可能性大小 P(A) 有限个 相等 古典概率 古典概型 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　) ①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率； ②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率； ③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率； ④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A．1　 　　 B．2 C．3　 　　 D．4 【解析】　古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型．故选A. (1)古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，即每一结果出现的概率都相同． (2)古典概型要求基本事件有有限个． 思考题1　下列事件属于古典概型的是(　　) A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件 B．篮球运动员投篮，观察他是否投中 C．测量一杯水的水分子的个数 D．在4个除颜色外其他完全相同的小球中任取1个观察颜色 【解析】　由于任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除； 篮球运动员投篮“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除； 由于杯中水的水分子有无数多个，不属于古典概型，故C排除； 在4个除颜色外其他完全相同的小球中任取1个观察颜色，每个球被取到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，属于古典概型，故D正确．故选D. 例2　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座． (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； 【解析】　将A，B，C，D四位贵宾的就座情况按从左至右排席位，依次是a，b，c，d席位，用树状图表示如右： 由图可知，所有等可能的样本点共有24个． (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝eq \f(1,24). (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； 【解析】　(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝eq \f(9,24)＝eq \f(3,8). (3)求这四人中恰有一位坐在自己的席位上的概率． 【解析】　(3)设事件C为“这四人中恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3). (1)古典概型概率的计算步骤： ①求出样本点总个数n.②求事件A包含的样本点个数m.③P(A)＝eq \f(m,n). (2)求样本点总数的常用方法： ①列表法． ②坐标系法．用坐标系来表示基本事件多用于二维或三维问题，并且往往表达含有顺序问题的基本事件，但要求元素不宜过多． ③树形图法．树形图可以清晰准确地列出所有的基本事件，适合较复杂问题中基本事件的探求． 思考题2　先后抛掷两枚质地均匀的骰子． (1)求点数之和为7的概率； 【解析】　如图所示，从图中容易看出样本点共有36个，且每个样本点出现的可能性相等． (1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)． 故P(A)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6). (2)求掷出两个4点的概率； 【解析】　 (2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4，4)． 故P(B)＝eq \f(1,36). (3)求点数之和能被3整除的概率． 【解析】　 (3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共有12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)． 故P(C)＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3). 例3　(1)从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中每次任取一件，每次取后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件次品的概率． 【解析】　共有(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)三个基本事件． 设A＝“恰有一件次品”，则A含(a1，b)，(a2，b)两个基本事件． 故P(A)＝eq \f(2,3). (2)在(1)中，把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率． 【解析】　有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}． 事件B由4个基本事件组成，因此P(B)＝eq \f(4,9). 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取． 思考题3　一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标有1，2，3，…，10这10个数字，现随机地抽取两个小球，如果： (1)抽取是不放回的； 【解析】　设事件A：两个小球上的数字为相邻整数． 则事件A包括的样本点有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，9)，(9，8)，(8，7)，(7，6)，(6，5)，(5，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共18个． (1)不放回取球时，总的样本点数为90，故P(A)＝eq \f(18,90)＝eq \f(1,5). (2)抽取是有放回的． 分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率． 【解析】　(2)有放回取球时，总的样本点数为100，故P(A)＝eq \f(18,100)＝eq \f(9,50). 游戏公平性问题 例　甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．求： (1)平局的概率； (2)甲赢的概率； (3)乙赢的概率． 【解析】　甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法． 一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的．所以一次游戏(试验)是古典概型．它的基本事件总数为9，表示如图． 平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤子．甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况．乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况． 设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C. 由图容易得到： 平局含3个基本事件(图中的△)； 甲赢含3个基本事件(图中的⊙)； 乙赢含3个基本事件(图中的※)． 由古典概型的概率计算公式， 可得(1)P(A)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).(2)P(B)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).(3)P(C)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3). 游戏公平性的标准及判断方法： (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平． (2)具体判断时，可以按所给规则求出双方的获胜概率，再进行比较． 思考题　甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设i，j分别表示甲、乙抽到的牌的数字，则样本点可用(i，j)表示，写出试验的样本空间； 【解析】　(1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12. 要点1　事件的概率 对随机事件发生____________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用_____表示． 要点2　古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有_______； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性_____． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为________模型，简称________. 要点3　古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含 其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝_________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 要点4　求古典概型概率的计算步骤 (1)确定样本点总个数n； (2)确定事件A包含的样本点个数k； (3)计算事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n). eq \f(k,n)＝eq \f(n（A）,n（Ω）) 1．在区间[0，1]上任取一个数的试验中，其基本事件是有限个吗？ 答：不是．在区间[0，1]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个． 2．在掷一枚质地不均匀的硬币的一次试验中，其基本事件是什么？每个基本事件出现的可能性相同吗？ 答：该试验的基本事件是“出现正面向上”和“出现反面向上”．由于该硬币质地不均匀，故P(出现正面向上)≠P(出现反面向上)，从而两个基本事件出现的可能性不同． 3．如何判断一个随机试验是否为古典概型？ 答：首先应判断样本点是否为有限个，其次是确定每个样本点是否等可能发生，这时一定要注意一些表达等可能的词语，如“随机现象”“完全相同”“质地均匀”“任选”等． 1．下列试验中，是古典概型的有(　　) A.种下一粒种子观察它是否发芽 B.从直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d C.抛一枚均匀的硬币，观察其出现正面向上或反面向上 D.某人射击中靶或不中靶 解析　古典概型有两大特征，即有限性，试验中所有可能出现的样本点为有限个；等可能性，每个样本点出现的可能性相等．选项中只有C具有上述特征． 2．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为(　　) A.eq \f(1,32) 　　　　　　B.eq \f(1,64) 　　　　　　C.eq \f(3,32) 　　　　　　D.eq \f(3,64) 解析　基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)，…，(8，8)，共64个．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为eq \f(3,64). 3．一枚均匀的硬币连掷2次，恰好出现1次正面朝上的概率是(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,4) D．0 解析　列举出所有基本事件，找出“只有1次正面朝上”包含的结果．一枚均匀的硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，而只有1次出现正面朝上的基本事件包括(正，反)，(反，正)，共2个，故其概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2). 4．从甲、乙、丙三人中任选两名作代表，甲被选中的概率为________． eq \f(2,3) 解析　因为三个人被选中的可能性是相同的，而且基本事件是有限的，故是古典概型，基本事件为(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，故甲被选中的情况有：(甲，乙)，(甲，丙)，故所求概率P＝eq \f(2,3). 5．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． eq \f(5,6) 解析　将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为eq \f(30,36)＝eq \f(5,6). (2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？说明你的理由． 【解析】　(2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大的情况有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝eq \f(5,12)，乙胜的概率为P2＝eq \f(7,12)，因为eq \f(5,12)<eq \f(7,12)，所以此游戏不公平． $$