7.2.1 三角函数的定义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第七章　三角函数 7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 6 4.已知角α的终边过点P(m，－3m)(m≠0)，求α的正弦值、余弦值、正切值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 7 知识点二　三角函数值的符号 5.若sin2α>0，且cosα<0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 8 解析：若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1.所以函数f(x)的值域为{－1，3}. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 9 7.[多选]下列各三角函数值符号为负的是(　　) A.sin(－100°) B.cos(－220°) C.tan10 D.cosπ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 11 9.确定下列各式的符号： (1)tan100°cos260°； (2)sin5cos5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 12 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 14 2.已知角α终边上异于原点的一点P，且OP＝r，则点P的坐标为(　　) A.(sinα，cosα) B.(cosα，sinα) C.(rsinα，rcosα) D.(rcosα，rsinα) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 4.已知A，B，C是△ABC的三个内角，若sinA·cosBtanC<0，则△ABC是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.任意三角形 解析：∵A是△ABC的一个内角，∴sinA>0.又sinAcosBtanC<0，∴cosBtanC<0，∴B，C中有一角为钝角，故△ABC为钝角三角形.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 三、填空题 8.5sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝________. 解析：因为sin90°＝1，cos0°＝1，sin270°＝－1，cos180°＝－1，所以原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 9.已知P(2，－3)是角θ的终边上一点，则tan(2π＋θ)____0.(填“>”“<”或“＝”) 解析：因为x>0，y<0，所以θ为第四象限角，则2π＋θ也为第四象限角，所以tan(2π＋θ)<0. < 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 四、解答题 11.已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sinα＋3cosα的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　三角函数的定义 1.若角α的终边经过点P(－3，4)，则sinα＋tanα的值是(　　) A.－eq \f(11,15) B.－eq \f(29,15) C.－eq \f(8,15) D.eq \f(32,15) 解析：∵角α的终边经过点P(－3，4)，∴sinα＝eq \f(4,\r((－3)2＋42))＝eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(4,3)，则sinα＋tanα＝eq \f(4,5)－eq \f(4,3)＝－eq \f(8,15). 2.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝(　　) A.－8 B.8 C.－4 D.4 解析：由三角函数的定义，得sinθ＝eq \f(y,\r(16＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，所以y＝－8. 3.[多选]下列命题中为真命题的是(　　) A.终边相同的角的同名三角函数的值相等 B.终边不同的角的同名三角函数的值不相等 C.若sinα>0，则α是第一、二象限角 D.若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝eq \f(x,\r(x2＋y2)) 解析：由三角函数的定义知A正确；对于B，可举反例sineq \f(π,3)＝sineq \f(2π,3)，B错误；对于C，角α的终边可能在y轴的正半轴上，C错误；对于D，由三角函数的定义，知cosα＝eq \f(x,\r(x2＋y2))，D正确.故选AD. 解：由题意，得r＝OP＝eq \r(m2＋(－3m)2)＝eq \r(10)|m|(O为坐标原点). ①当m>0时，r＝eq \r(10)|m|＝eq \r(10)m， 则sinα＝eq \f(－3m,\r(10)m)＝－eq \f(3\r(10),10)，cosα＝eq \f(m,\r(10)m)＝eq \f(\r(10),10)，tanα＝eq \f(－3m,m)＝－3. ②当m<0时，r＝eq \r(10)|m|＝－eq \r(10)m， 则sinα＝eq \f(3\r(10),10)，cosα＝－eq \f(\r(10),10)，tanα＝－3. 解析：∵sin2α>0，∴2kπ<2α<π＋2kπ(k∈Z)，∴kπ<α<eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z).当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2mπ<α<eq \f(π,2)＋2mπ(m∈Z)；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，有2mπ＋π<α<eq \f(3π,2)＋2mπ(m∈Z)，∴角α的终边在第一或第三象限.又cosα<0，∴角α是第三象限角. 6.已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝eq \f(|sinx|,sinx)＋eq \f(cosx,|cosx|)＋eq \f(|tanx|,tanx)的值域是(　　) A.{－3，－1，1，3} B.{－3，－1} C.{1，3} D.{－1，3} 解析：因为－100°角是第三象限角，所以sin(－100°)<0；因为－220°角是第二象限角，所以cos(－220°)<0；因为10∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π，\f(7π,2)))，所以角10是第三象限角，所以tan10>0；cosπ＝－1<0.故选ABD. 解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosx≥0，,－tanx≥0.))由cosx≥0，得角x的终边在y轴上或第一象限或第四象限或x轴的正半轴上.由－tanx≥0，得tanx≤0，则角x的终边在第二象限或第四象限或x轴上，所以角x的终边在第四象限或x轴的正半轴上.所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ<x≤2kπ，k∈Z)))). 8.函数y＝eq \r(cosx)＋eq \r(－tanx)的定义域为____________________________. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ<x≤2kπ，k∈Z)))) 解：(1)因为100°是第二象限角， 所以tan100°<0， 因为260°是第三象限角，所以cos260°<0， 所以tan100°cos260°>0. (2)因为eq \f(3π,2)<5<2π，所以5是第四象限角， 所以sin5<0，cos5>0， 所以sin5cos5<0. 一、单选题 1.如果角α的终边过点(2sin60°，－2cos60°)，则sinα的值为(　　) A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.－eq \f(\r(3),2) D.－eq \f(\r(3),3) 解析：由于2sin60°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，－2cos60°＝－2×eq \f(1,2)＝－1，从而角α的终边过点(eq \r(3)，－1).由任意角的三角函数的定义可知，sinα＝eq \f(－1,\r((\r(3))2＋(－1)2))＝－eq \f(1,2). 解析：设P(x，y)，则sinα＝eq \f(y,r)，∴y＝rsinα，又cosα＝eq \f(x,r)，∴x＝rcosα，∴P(rcosα，rsinα).故选D. 3.若角α的终边在直线y＝3x上且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝eq \r(10)，则m－n＝(　　) A.2 B.－2 C.4 D.－4 解析：∵P(m，n)在直线y＝3x上，且sinα<0，∴点P位于第三象限，∴m<0，n<0.OP＝eq \r(m2＋(3m)2)＝eq \r(10m2)＝eq \r(10)，∴m2＝1，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2. 5.下列函数值的符号为负的是(　　) A.sin105° B.cos325° C.taneq \f(2π,3) D.taneq \f(7π,6) 解析：对于A，因为90°<105°<180°，所以105°是第二象限角，所以sin105°>0，故A不符合题意；对于B，因为270°<325°<360°，所以325°是第四象限角，所以cos325°>0，故B不符合题意；对于C，因为eq \f(π,2)<eq \f(2π,3)<π，所以eq \f(2π,3)是第二象限角，所以taneq \f(2π,3)<0，故C符合题意；对于D，因为π<eq \f(7π,6)<eq \f(3π,2)，所以eq \f(7π,6)是第三象限角，所以taneq \f(7π,6)>0，故D不符合题意.故选C. 二、多选题 6.已知函数f(x)＝loga|x－2|＋2(a>0且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sinθ的值可能是(　　) A.eq \f(2\r(13),13) B.eq \f(3\r(13),13) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5) 解析：因为函数f(x)＝loga|x－2|＋2的图象经过定点A，令|x－2|＝1，得x＝1或3，此时y＝2，所以A(1，2)或A(3，2).当点A(1，2)在角θ的终边上时，sinθ＝eq \f(2,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(5),5)；当点A(3，2)在角θ的终边上时，sinθ＝eq \f(2,\r(32＋22))＝eq \f(2\r(13),13).综上，sinθ＝eq \f(2\r(13),13)或sinθ＝eq \f(2\r(5),5).故选AD. 7.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式一定为正的是(　　) A.sinα＋cosα B.cosα－sinα C.sinαcosα D.eq \f(sinα,tanα) 解析：∵角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，∴α是第四象限角，∴sinα<0，cosα>0，tanα<0，∴cosα＋sinα不一定是正数，故A不符合题意；cosα－sinα>0，故B符合题意；cosαsinα<0，故C不符合题意；eq \f(sinα,tanα)>0，故D符合题意.故选BD. eq \f(\r(3),4) 10.若0°<θ<360°，且终边与660°角的终边关于x轴对称，点P(x，y)在θ的终边上(不是原点)，则tanθ＝________，eq \f(xy,x2＋y2)＝________. 解析：∵660°＝720°－60°，∴660°角与－60°角的终边相同，∵0°<θ<360°，θ的终边与－60°角的终边关于x轴对称，∴θ＝60°，∵点P(x，y)在θ的终边上，∴tanθ＝eq \r(3)＝eq \f(y,x)，∴eq \f(xy,x2＋y2)＝eq \f(\f(y,x),1＋\f(y2,x2))＝eq \f(\r(3),1＋3)＝eq \f(\r(3),4). eq \r(3) 解：当角α的终边在第二象限时，取终边上任一点P(－1，3)， ∴r＝OP＝eq \r((－1)2＋32)＝eq \r(10)， ∴sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(3,\r(10))＝eq \f(3\r(10),10)，cosα＝eq \f(x,r)＝eq \f(－1,\r(10))＝－eq \f(\r(10),10)， ∴2sinα＋3cosα＝eq \f(6\r(10),10)－eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(3\r(10),10)； 当角α的终边在第四象限时，取终边上任一点P(1，－3)， ∴r＝OP＝eq \r(12＋(－3)2)＝eq \r(10)，∴sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3,\r(10))＝－eq \f(3\r(10),10)， cosα＝eq \f(x,r)＝eq \f(1,\r(10))＝eq \f(\r(10),10)， ∴2sinα＋3cosα＝－eq \f(6\r(10),10)＋eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(3\r(10),10). 12.角α终边上存在一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5m)，\f(3,5m)))，且eq \f(cosα,tanα)<0，求sinα＋cosα的值. 解：∵eq \f(cosα,tanα)<0，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα>0，,tanα<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα>0，)) ∴α是第三或第四象限角. 当α是第三象限角时，－eq \f(4,5m)<0且eq \f(3,5m)<0，m的值不存在， ∴α是第四象限角，－eq \f(4,5m)>0且eq \f(3,5m)<0， ∴m<0，r＝|OP|＝－eq \f(1,m)， ∴sinα＝－eq \f(3,5)，cosα＝eq \f(4,5)， ∴sinα＋cosα＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)＝eq \f(1,5). 13.[多选]设α是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是(　　) A.sineq \f(α,2) B.taneq \f(α,2) C.cos2α D.－sin2α 解析：对于A，B，由已知可得，π＋2kπ<α<eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，所以eq \f(π,2)＋kπ<eq \f(α,2)<eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，则eq \f(π,2)＋2nπ<eq \f(α,2)<eq \f(3π,4)＋2nπ，n∈Z，此时eq \f(α,2)为第二象限角；当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则eq \f(3π,2)＋2nπ<eq \f(α,2)<eq \f(7π,4)＋2nπ，n∈Z，此时eq \f(α,2)为第四象限角.综上所述，eq \f(α,2)为第二或第四象限角， 所以不能确定sineq \f(α,2)的正负，taneq \f(α,2)<0，故A不符合题意，B符合题意.对于C，D，由已知可得，π＋2kπ<α<eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，所以2(2k＋1)π<2α<π＋2(2k＋1)π，k∈Z，所以2α为第一或第二象限角或其终边在y轴的正半轴上，所以不能确定cos2α的正负，sin2α>0，－sin2α<0，故C不符合题意，D符合题意.故选BD. 14.已知角α的终边经过点P(x，－eq \r(2))(x≠0)，且cosα＝eq \f(\r(3),6)x.求sinα＋eq \f(1,tanα)的值. 解：∵P(x，－eq \r(2))(x≠0)， ∴点P到原点的距离r＝eq \r(x2＋2). 又cosα＝eq \f(\r(3),6)x，∴cosα＝eq \f(x,\r(x2＋2))＝eq \f(\r(3),6)x. ∵x≠0，∴x＝±eq \r(10)，∴r＝2eq \r(3). 当x＝eq \r(10)时，点P的坐标为(eq \r(10)，－eq \r(2))， 由三角函数的定义，有sinα＝－eq \f(\r(6),6)，eq \f(1,tanα)＝－eq \r(5)， ∴sinα＋eq \f(1,tanα)＝－eq \f(\r(6),6)－eq \r(5)＝－eq \f(6\r(5)＋\r(6),6)； 当x＝－eq \r(10)时，同理可求得sinα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(6\r(5)－\r(6),6). $$