第1章 三角函数 单元质量检测-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

第一章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2处，则100分钟后分针指在(　　) A．8处 B．10处 C．11处 D．12处 答案　B 解析　一个周期是60分钟，则100分钟是个周期，故100分钟后分针指在10处． 2．已知角α的终边过点P(3，8m)，且sinα＝，则m＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　B 解析　由题设，sinα＝＝，可得m＝. 3．若扇形的圆心角为150°，半径为，则此扇形的面积为(　　) A． B．π C． D． 答案　A 解析　∵150°＝，∴S＝××()2＝.故选A. 4．函数f(x)＝xcosx的图象大致是(　　) 答案　A 解析　∵f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除D；当x∈时，x>0，0<cosx<1，∴0<f(x)<x，排除B，C.故选A. 5．已知函数f(x)＝sin为偶函数，则不等式f(x)≤的解集为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 答案　A 解析　因为函数f(x)＝sin是偶函数，所以－＋φ＝＋kπ，又|φ|<，所以φ＝－，所以y＝sin＝－cosx，因为f(x)≤，所以cosx≥－，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以不等式f(x)≤的解集为(k∈Z)． 6．函数y＝logcos的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 答案　B 解析　原函数可变形为y＝log(－sin2x)，定义域为，k∈Z.研究函数y＝sin2x的单调递增区间，令－＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又∩＝，k∈Z，故选B. 7．已知函数f(x)＝cos，如果存在实数x1，x2，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　) A． B． C．π D．2π 答案　D 解析　f(x)的周期T＝＝4π，由题意知f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，|x1－x2|的最小值为＝2π. 8．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，且f(π)＝－1，则f＝(　　) A． B． C．2－ D． 答案　A 解析　由函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象，知A<0，＝2×，∴ω＝.∵图象经过点，∴Atan＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|<，∴φ＝－，函数f(x)＝Atan.∵f(π)＝Atan＝A＝－1，∴f(x)＝－tan，则f＝－tan＝tan＝.故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是(　　) A．若cosθ<0，则θ是第二或第三象限角 B．若α>β，则cosα<cosβ C．若α与β是终边相同的角，则sinα＝sinβ D．α是第三象限角⇔sinαcosα>0且<0 答案　CD 解析　当θ＝2kπ＋π(k∈Z)时，cosθ＝－1<0，此时θ不是象限角，A错误；由于y＝cosx在R上不是减函数，因此由α>β得不出cosα<cosβ，B错误；若α与β是终边相同的角，则α＝β＋2kπ，k∈Z，故sinα＝sinβ，C正确；若α是第三象限角，则sinα<0，cosα<0，tanα>0，∴sinαcosα>0，<0，反之，若sinαcosα>0，<0，则cosα<0，sinα<0，α是第三象限角，D正确．故选CD. 10．下列函数中最小正周期为π的是(　　) A．y＝sin|x| B．y＝|sinx| C．y＝sin D．y＝2cosx－1 答案　BC 解析　对于A，y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如下，不是周期函数，故A错误； 对于B，作出函数y＝|sinx|的图象如下，观察可得其最小正周期为π，故B正确； 对于C，由周期公式T＝，可得y＝sin的最小正周期为＝π，故C正确；对于D，由周期公式T＝，可得y＝2cosx－1的最小正周期为＝2π，故D错误． 11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点对称 B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在上为增函数 D．把f(x)的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 答案　ABC 解析　由已知A＝2，T＝4×＝2，ω＝＝π，2sin＝2，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，对于A，f＝2sin＝0，故A正确；对于B，令πx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝k＋，k∈Z，当k＝1时，x＝，故B正确；对于C，x∈时，令t＝πx＋∈，y＝sint在上单调递增，故C正确；对于D，把f(x)的图象向右平移个单位长度，得函数g(x)＝2sin＝2sin＝－2cosπx的图象，g(x)是偶函数，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．若sin＝－，则cos＝________． 答案　－ 解析　由题意得cos＝cos＝sin＝－. 13．若a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c之间的大小关系为________(用“<”连接)． 答案　b<a<c 解析　因为b＝cos＝cos＝sin，0<<<，正弦函数y＝sinx在上为增函数，所以0<b＝sin<sin＝a，因为0<cos<1，所以c＝tan＝>sin＝a，故b<a<c. 14．若关于x的方程sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0在x∈时有实数根，则实数a的取值范围是____________． 答案　 解析　sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0，即(sinx－2)(sinx－a)＝0.因为sinx－2≠0，所以sinx＝a，x∈.又函数y＝sinx，x∈的值域为－≤y≤1，故实数a的取值范围是. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知α是第四象限角，且α的终边在直线y＝－2x上． (1)求sinα，cosα和tanα的值； (2)求的值． 解　(1)因为点P(1，－2)在直线y＝－2x上，且位于第四象限，所以点P在α的终边上． 所以sinα＝＝－， cosα＝＝，tanα＝＝－2. (2)原式＝＝sinαcosα＝－×＝－. 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝－tan. (1)求f(x)的定义域和最小正周期； (2)求f(x)的单调区间． 解　(1)要使函数f(x)有意义，只需x－≠＋kπ(k∈Z)， 解得x≠＋2kπ(k∈Z)， 所以函数f(x)的定义域为 . 函数f(x)的最小正周期为T＝＝2π. (2)由于正切函数y＝tanx在区间(k∈Z)上单调递增， 对于函数y＝tan，令－＋kπ<x－<＋kπ(k∈Z)， 解得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)， 即y＝tan在(k∈Z)上单调递增， 而函数y＝tan与f(x)＝－tan单调性相反， 故函数f(x)＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)，无单调递增区间． 17．(本小题满分15分)某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h 20 min，低潮时入口处水的深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00时水的深度． 解　(1)设此三角函数是d＝Asin(ωt＋φ)＋b， 根据题意可知T＝ h， 所以ω＝＝， A＝＝＝2.8， b＝＝＝5.6. 所以d＝2.8sin＋5.6， 又因为t＝2时，d取得最大值， 所以2.8sin＋5.6＝8.4， 所以φ＝， 故d＝2.8sin＋5.6(t>0)． (2)10月4日15：00时，相当于t＝39，此时水深为8.4 m. 18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝3sin(x＋φ)，φ∈，函数图象关于直线x＝对称． (1)求φ的值及f(x)的解析式； (2)用五点法在下列直角坐标系中画出f(x)在上的图象； (3)写出f(x)的单调递增区间及最小值，并写出取最小值时自变量x的取值集合． 解　(1)因为函数图象关于直线x＝对称， 所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z， 因为φ∈， 所以φ＝， 所以f(x)＝3sin. (2)首先根据“五点法”，列表如下： x＋ 0 π 2π x － f(x) 0 3 0 －3 0 描点、连线，图象如图所示． (3)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z， 最小值为－3， 令x＋＝＋2kπ，得x＝＋2kπ，k∈Z， 函数f(x)取最小值时x的集合为. 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，其图象过点，相邻两条对称轴之间的距离为π. (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)－m＝0在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围． 解　(1)因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π， 所以周期T＝＝2π，解得ω＝1， 又f＝2sin＝， 即sin＝， 而0<φ<，即<φ＋<， 则φ＋＝，即φ＝， 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝2sin. (2)依题意，g(x)＝2sin， 当0≤x≤π时，≤x＋≤，而函数y＝sinx在上单调递增，在上单调递减， 由≤x＋≤得0≤x≤，由≤x＋≤得≤x≤π， 因此，函数g(x)在上单调递增，函数值从增到2，在上单调递减，函数值从2减到1， 又直线x＝是g(x)图象的一条对称轴，所以直线y＝m与函数y＝g(x)在[0，π]上的图象如图所示， 由图可得当≤m<2时，直线y＝m与y＝g(x)在[0，π]上的图象有两个交点，即方程g(x)－m＝0在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解， 所以实数m的取值范围为[，2)． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$