第1章 7.3 正切函数的图象与性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

7．3　正切函数的图象与性质 知识点一　与正切函数有关的定义域、周期性问题 1．已知函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是(　　) A．0 B．－ C．－1 D. 答案　A 解析　由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f(x)＝tan4x，所以f＝tan＝tanπ＝0.故选A. 2．求下列函数的周期． (1)y＝tanx；(2)y＝tan； (3)y＝tan. 解　(1)T＝＝4.(2)T＝＝2π. (3)T＝. 3．[易错题]求下列函数的定义域． (1)y＝tan2x；(2)y＝tan； (3)y＝. 解　(1)∵2x≠kπ＋，k∈Z， ∴x≠＋，k∈Z. ∴y＝tan2x的定义域为. (2)∵x－≠＋kπ，k∈Z， ∴x≠＋kπ，k∈Z. ∴y＝tan的定义域为 . (3)由 得x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z. ∴y＝的定义域为. [易错分析]　求含有正切函数的复合函数的定义域时，不仅要考虑其解析式有意义的条件，还要注意正切函数本身有意义． 知识点二　正切函数的单调性、最值(值域)问题 4．求下列函数的单调区间． (1)y＝tan；(2)y＝3tan. 解　(1)由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间． (2)y＝3tan＝－3tan，由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得－＋<x<＋(k∈Z)， 所以函数y＝3tan的单调递减区间为(k∈Z)，无单调递增区间． 5．求下列函数的值域． (1)y＝tanx； (2)y＝，x∈； (3)y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈. 解　(1)因为函数y＝tanx在区间上单调递增，且tan＝－1，tan＝1.所以y＝tanx的值域为[－1，1]． (2)因为x∈，所以tanx∈(－∞，0)， 令t＝tanx，则t∈(－∞，0)， 所以y＝＝－1＋， 因为t∈(－∞，0)，所以t－1∈(－∞，－1)，∈(－1，0)，∈(0，2)，－1＋∈(－1，1)，即y∈(－1，1)． (3)因为－≤x≤，所以－1≤tanx≤1. 令tanx＝t，则t∈[－1，1]． 所以y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. 所以当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4； 当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4，4]． 6．已知f(x)＝tan，求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解　由－1≤tan≤， 得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z， 所以原不等式的解集为，k∈Z. 7．比较下列各组数的大小． (1)tan与tan； (2)tan与tan； (3)tan与tan； (4)tan与sin. 解　(1)tan＝tan＝－tan， tan＝tan＝－tan. 因为0<<<，且y＝tanx在区间上单调递增，所以tan>tan， 所以－tan<－tan，即tan<tan. (2)tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝－tan＝－tan，又0<<<， 而y＝tanx在区间上单调递增， 所以tan<tan，所以－tan>－tan， 即tan>tan. (3)函数y＝tanx是上的增函数， <<<π， 所以tan<tan. (4)tan－sin＝－sin＝sin·＝sin·， 因为sin>0，0<cos<1，所以sin·>0，即tan－sin>0， 所以tan>sin. [规律方法]　比较正切值大小的步骤：①运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上；②运用正切函数的单调性比较大小． 知识点三　正切函数奇偶性、对称性问题 8．函数f(x)＝的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 答案　A 解析　要使函数f(x)＝有意义，必须使即x≠kπ＋且x≠2kπ＋π，k∈Z，∴函数f(x)＝的定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝＝－f(x)，∴函数f(x)＝为奇函数． 9．[易错题]函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－<θ<，则θ的值为________． 答案　－或 解析　因为函数y＝tanx图象的对称中心为，k∈Z，点是函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心，所以2×＋θ＝，k∈Z，所以θ＝－，k∈Z，因为－<θ<，当k＝1时，θ＝－；当k＝2时，θ＝.所以θ＝－或. [易错分析]　本题在解题过程中易认为正切函数图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，从而得到下面错误的解析： 因为函数y＝tanx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，点是函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心，所以2×＋θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ－，k∈Z.因为－<θ<，当k＝1时，θ＝π－＝，所以θ＝. 10．设函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的最小正周期、图象的对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图． 解　(1)∵ω＝， ∴函数f(x)的最小正周期T＝＝＝3π. 令－＝(k∈Z)，得x＝π＋(k∈Z)， ∴函数f(x)图象的对称中心是(k∈Z)． (2)令－＝－，则x＝－； 令－＝0，则x＝π；令－＝，则x＝. 从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)． 知识点四　正切函数图象与性质的综合应用 11．[多选]若函数f(x)＝tan2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，那么下列说法正确的是(　　) A．函数g(x)的定义域为 B．函数g(x)在上单调递增 C．函数g(x)图象的对称中心为，k∈Z D．函数g(x)≤1的一个充分条件是<x< 答案　BD 解析　由题意可知g(x)＝tan，令2x－≠＋kπ，k∈Z，则x≠＋，k∈Z，所以函数g(x)的定义域为，故A错误；令－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，则－＋<x<＋，k∈Z，所以函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，当k＝0时，函数g(x)在上单调递增，故B正确；令2x－＝，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故函数g(x)图象的对称中心为，k∈Z，故C错误；tan≤1，则－＋kπ<2x－≤＋kπ，k∈Z，所以－＋<x≤＋，k∈Z，而<x<在所求的范围之内，故D正确． 一、选择题 1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋(k∈Z)．故选D. 2．已知y＝tan(2x＋φ)的图象经过点，则φ可以是(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　将点代入y＝tan(2x＋φ)得tan＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)．当k＝0时，φ＝－. 3．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　) A．±1 B．1 C．±2 D．2 答案　A 解析　由题意可得＝，解得|ω|＝1，即ω＝±1. 4．若函数f(x)＝－2tanx＋m，x∈有零点，则实数m的取值范围是(　　) A．[－1，0] B．[0，] C．[－1，] D．[－2，2] 答案　D 解析　函数f(x)＝－2tanx＋m有零点，即方程2tanx＝m有解．∵x∈，∴tanx∈[－1，]，∴m∈[－2，2]．故选D. 5．[多选]下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于点中心对称 D．图象关于直线x＝对称 答案　BC 解析　令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝(k∈Z)，解得x＝－，k∈Z，当k＝0时，－＝－，所以函数图象关于点中心对称，故C正确；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．故选BC. 二、填空题 6．比较大小：tan________tan. 答案　＜ 解析　因为－<－<－<0，y＝tanx在上单调递增，所以tan＜tan. 7．当0<x<π时，使tanx<－1成立的x的取值范围为________． 答案　 解析　由正切函数的图象可知，当0<x<π时，若tanx<－1，则<x<. 8．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，f＝________． 答案　2　 解析　由图象可知，此函数的半个周期为－＝＝，故周期为，所以ω＝2.又图象过点，所以0＝Atan，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝.再由图象过点(0，1)可知A＝1.综上，f(x)＝tan.故f＝tan＝tan＝. 三、解答题 9．画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性． 解　由y＝|tanx|， 得y＝ 其图象如图， 由图象可知，函数y＝|tanx|的定义域为，是偶函数． 值域为[0，＋∞)， 函数y＝|tanx|的周期为T＝π， 函数y＝|tanx|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. 10．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝btan(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－g＋1.求这两个函数的解析式，并求g(x)的单调递增区间． 解　根据题意，得 解得 故f(x)＝sin， g(x)＝tan. 当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)， 即－＜x＜＋，k∈Z时，函数g(x)单调递增． 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$