第1章 6.1 6.2 6.3 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象的应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象的应用 知识点一　五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．用五点法画出函数y＝2sin的图象，并指出函数的最小正周期、频率、相位、初相． 解　由五点法列表： 2x＋ 0 π 2π x － y＝2sin 0 2 0 －2 0 描点、作图，如图所示为函数在一个周期内的图象， 利用三角函数的周期性，我们可以把上面所得的简图向左、向右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图(图略)． 函数的最小正周期为π，频率为f＝＝，相位为2x＋，初相为. 知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 2．[易错题]把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案　D 解析　将原函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象． [易错分析]　解答本题时若抓不住图象平移变换的本质——仅对“x”变换，就会得到下面的错解：将原函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，故选A. 3．如何由y＝sinx的图象得到y＝2sin的图象？ 解　解法一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) y＝sinx的图象y＝sin的图象y＝sin的图象y＝2sin的图象． 解法二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 y＝sinx的图象y＝sin2x的图象y＝sin的图象y＝2sin的图象． 知识点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的应用 4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的部分图象如图所示，则f＝(　　) A．0 B．－1 C．－ D．－2 答案　B 解析　由图象，得A＝2，周期T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋θ)，又f(0)＝2cosθ＝，0≤θ≤，所以θ＝，所以f(x)＝2cos，从而可求得f＝2cos＝－1. [规律方法]　根据函数的部分图象求解析式的方法：①直接从图象确定A和T，则可确定函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取特殊点，结合φ的范围求出φ；②将若干特殊点代入函数解析式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ；③运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数． 5．[易错题]已知y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则其解析式为________． 答案　y＝2sin 解析　由题图可知A＝2，且当x＝0时，y＝，∴2sinφ＝，∵|φ|<π，∴φ＝或φ＝，∵所给图象的最高点在y轴的左侧，∴φ＝.又ω＋φ＝π，∴ω＝2.故所求的解析式为y＝2sin. [易错分析]　本题在求出φ＝或φ＝后，容易忽略所给图象的最高点在y轴的左侧，而直接由ω＋φ＝π得ω＝4或2.从而得到所求的解析式为y＝2sin或y＝2sin. 6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式． 解　由最低点M， 得A＝2. 与x轴两相邻交点之间的距离为， 故＝，即T＝π，ω＝＝＝2. 由点M在图象上得2sin＝－2，即sin＝－1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又φ∈， ∴φ＝，故f(x)＝2sin. 知识点四　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 7．求下列函数的单调区间． (1)y＝cos2x； (2)y＝2sin. 解　(1)函数y＝cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定． 2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z. ∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝cos2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. (2)y＝2sin＝－2sin， 函数y＝－2sin的单调性与函数y＝2sin的单调性相反． 令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得 2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z. 令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得 2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝2sin的单调递减区间为，k∈Z. 8．设函数f(x)＝2sin，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值． 解　(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． (2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，所以当t＝，即x＝时，f(x)min＝－，当t＝，即x＝时，f(x)max＝2. 9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值． 解　由f(x)是偶函数，得函数f(x)的图象关于y轴对称， ∴当x＝0时，f(x)取得最值， 即sinφ＝1或－1. 依题设0≤φ≤π，解得φ＝. 由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0， 解得ω＝－，k∈Z. 又f(x)在上是单调函数， ∴T≥π，即≥π， 又ω>0， ∴ω≤2. ∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2. ∴φ＝，ω＝2或. 一、选择题 1．将正弦曲线向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝sin D．y＝sin 答案　A 解析　y＝sinx的图象 y＝sin的图象y＝2sin的图象． 2．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，那么ω的值为(　　) A．3 B．6 C．12 D．24 答案　B 解析　设函数f(x)的最小正周期为T，由题意得＝，故T＝，即＝，得ω＝6.故选B. 3．函数y＝sin，x∈的值域是(　　) A．(1，] B．[1，2] C．[0，] D．[－，] 答案　A 解析　当x∈时，x＋∈，从而<sin≤1，∴1<sin≤，即函数的值域为(1，]． 4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x∈R，都有f＝f，则f＝(　　) A．3或0 B．－3或0 C．0 D．－3或3 答案　D 解析　∵f＝f，∴对称轴方程为x＝，∴f＝±3. 5．[多选]将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则下面对函数y＝g(x)的叙述不正确的是(　　) A．函数g(x)＝2sin B．函数g(x)的最小正周期为π C．函数g(x)图象的一个对称中心为点 D．函数g(x)在区间上单调递增 答案　ABD 解析　将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度可得y＝2sin＝2sin的图象，再把所有点的横坐标缩短到原来的可得y＝2sin的图象，即g(x)＝2sin，A错误；T＝＝，B错误；g＝2sin＝0，则g(x)图象的一个对称中心为点，C正确；x∈，4x＋∈，因为π<<，所以g(x)先减后增，D错误． 二、填空题 6．函数y＝6sin的初相是________，图象最高点的坐标是________． 答案　－　(k∈Z) 解析　令x＝0可得x－＝－，故初相是－.由x－＝2kπ＋，可得x＝8kπ＋(k∈Z)，所以图象最高点的坐标是(k∈Z)． 7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________． 答案　2 解析　依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，所以ω＝2. 8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式为____________，单调递增区间为________________． 答案　f(x)＝sin　，k∈Z 解析　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，可得A＝1，·＝－，所以ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，由五点法作图，可得2×＋φ＝，所以φ＝，故f(x)＝sin，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，求得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象； (3)函数f(x)的图象经过怎样的变换可以得到函数y＝sinx的图象？写出变换过程． 解　(1)ω＝＝＝2. (2)由(1)可知f(x)＝sin. 列表： 2x－ 0 π 2π x f(x) 0 1 0 －1 0 作图(如图所示)． (3)将函数f(x)＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象，将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sinx的图象． 10．已知函数f(x)＝2cos. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取得最大值时，自变量x的集合； (3)说明由函数y＝sin2x的图象经过怎样的变换，可以得到该函数的图象． 解　(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)当2x＋＝2kπ(k∈Z)， 即x＝－＋kπ(k∈Z)时，cos＝1， ∴f(x)max＝2，此时自变量x的集合为 (k∈Z)． (3)将y＝sin2x＝cos的图象向左平移个单位长度，得y＝cos＝cos的图象，将y＝cos图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到f(x)的图象． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$