第1章 4.4 诱导公式与旋转-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

4．4　诱导公式与旋转 知识点一　求值问题 1．已知sin＝，那么cosα＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　sin＝sin＝sin＝cosα＝，故选C. 2．已知cos＝，则sin＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　sin＝sin＝cos＝. 3．[多选]已知sin(π＋α)＝－，则下列三角函数值计算正确的是(　　) A．sinα＝ B．cos＝－ C．cos＝ D．sin(5π＋α)＝ 答案　ABC 解析　∵sin(π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝，A正确；cos＝cos＝－sinα＝－，B正确；cos＝cos＝cos＝sinα＝，C正确；sin(5π＋α)＝sin(π＋α)＝－，D错误． 知识点二　化简与证明问题 4．化简：(1)＋ ； (2)[易错题]sin＋ cos(n∈Z)． 解　(1)原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0. (2)解法一：当n为偶数时，设n＝2k，k∈Z， 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin＋sin ＝0； 当n为奇数时，设n＝2k＋1，k∈Z， 原式＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin－cos＝sin－cos＝sin－sin＝0. 综上可知，原式＝0. 解法二：因为－α＝＋， 所以sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin－sin ＝0. 解法三：原式＝sin＋cos ＝(－1)n－1sin＋(－1)ncos ＝(－1)n－1sin＋(－1)nsin ＝(－1)n－1sin＋(－1)nsin＝0. [易错分析]　本题易错的地方是在化简时没有对整数n的奇偶进行讨论，得到下面的错解： 原式＝sin＋cos ＝sin＋cos＝sin＋cos＝sin＋sin＝2sin. 5．求证：＋ ＝. 证明　左边＝＋ ＝＋ ＝＝＝右边． ∴原式成立． 知识点三　利用诱导公式解决几何图形中的问题 6．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式一定成立的是(　　) A．cos(A＋B)＝cosC B．sin(A＋B)＝－sinC C．cos＝sinB D．sin＝cos 答案　D 解析　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC，故A，B不正确；∵A＋C＝π－B，∴＝，∴cos＝cos＝sin，故C不正确；∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确． 7．已知A，B，C，D顺次为圆内接四边形的四个内角．求证： (1)cos(A＋B)＝cos(C＋D)； (2)sin＝cos. 证明　(1)∵在圆内接四边形ABCD中，A＋B＋C＋D＝2π， ∴A＋B＝2π－(C＋D)． ∴cos(A＋B)＝cos[2π－(C＋D)]＝cos(C＋D)． (2)∵圆内接四边形对角互补， ∴A＋C＝π， ∴＝－. ∴＋D＝－＋D＝－. ∴sin＝sin ＝cos. 一、选择题 1．已知sin＝，则cosα＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　B 解析　由sin＝－sin＝－cosα＝，得cosα＝－. 2．[多选]下列与sinθ的值不相等的是(　　) A．sin(π＋θ) B．sin C．cos D．cos 答案　ABD 解析　sin(π＋θ)＝－sinθ，A符合题意；sin＝cosθ，B符合题意；cos＝sinθ，C不符合题意；cos＝－sinθ，D符合题意． 3．已知sin10°＝k，则cos620°的值为(　　) A．k B．－k C．±k D. 答案　B 解析　cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－cos(90°－10°)＝－sin10°＝－k. 4．化简＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D． 答案　B 解析　＝＝＝－1.故选B. 5．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为(　　) A．－m B．－m C．m D．m 答案　B 解析　因为sin(π＋α)＋cos＝－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，从而sinα＝m，所以cos＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m. 二、填空题 6．已知sin＝，则cos＝________． 答案　－ 解析　由cos＝cos＝－sin＝－. 7．若角α的终边经过点(3，4)，将角α的终边绕原点O逆时针旋转与角β的终边重合，则cosβ＝________． 答案　－ 解析　由题设，cosβ＝cos＝－sinα＝－＝－. 8．在△ABC中，sin＝sin，则△ABC的形状是________． 答案　等腰三角形 解析　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又sin＝sin，∴sin＝sin.∴sin＝sin.∴cosC＝cosB.又B，C为△ABC的内角，∴C＝B.∴△ABC为等腰三角形． 三、解答题 9．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若sin＝，求f(α)． 解　(1)f(α)＝ ＝＝－cosα. (2)由sin＝， 得cosα＝， ∴f(α)＝－cosα＝－. 10．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， 求的值． 解　由sin(α－3π)＝2cos(α－4π)得sin(α－π)＝2cosα，则sinα＝－2cosα. ∴＝ ＝＝＝－. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$