第2章 2.2 向量的减法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 §2　从位移的合成到向量的 加减法 2.2　向量的减法 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　已知向量作向量的差 1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a－b－c. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 [解题通法]　化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． (3)化简向量的差时注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点． 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 [3，15] 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [规律方法]　解与向量的模有关问题的方法 (1)利用三角不等式，即||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解，用此方法求解模的范围时，一定要注意等号成立的条件． (2)根据图象特点，适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化，将模的计算问题转化为三角形或平行四边形的边长或对角线的计算问题． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 [解题通法]　用几个基本向量表示其他向量的一般步骤：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 12 矩形 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 13 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 14 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 15 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 16 40分钟综合练 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 ①④ 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 7．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝________． 解析　当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9. 5或9 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 8 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 　　　　　　　　　　　　　 R 解　如图，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(BA,\s\up16(→))＝a－b.再作eq \o(CA,\s\up16(→))＝c，则eq \o(BC,\s\up16(→))＝a－b－c. 知识点二　向量的加减法运算 2．化简下列各式： (1)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→)))＋(－eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(MO,\s\up16(→)))； (2)eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))； (3)eq \o(NQ,\s\up16(→))－eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \o(NM,\s\up16(→))－eq \o(MP,\s\up16(→))； (4)(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→)))－(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(BD,\s\up16(→)))． 解　(1)原式＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→)))＋(eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→)))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→)). (2)原式＝eq \o(AB,\s\up16(→))－(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→)). (3)原式＝eq \o(NP,\s\up16(→))＋eq \o(MN,\s\up16(→))－eq \o(MP,\s\up16(→))＝eq \o(NP,\s\up16(→))＋eq \o(PN,\s\up16(→))＝0. (4)原式＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＋(eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→)))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝0. 知识点三　向量的模 3．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(5)，则|a－b|＝________． 解析　设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AC,\s\up16(→))＝a＋b，则四边形ABCD是平行四边形．又(eq \r(5))2＝12＋22，∴平行四边形ABCD为矩形，∴|a－b|＝|eq \o(DB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(5). eq \r(5) 4．已知|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝6，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝9，则|eq \o(BD,\s\up16(→))|的取值范围是________． 解析　∵eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))，||eq \o(AD,\s\up16(→))|－|eq \o(AB,\s\up16(→))||≤|eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))|≤|eq \o(AD,\s\up16(→))|＋|eq \o(AB,\s\up16(→))|，且|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝6， |eq \o(AD,\s\up16(→))|＝9，∴3≤|eq \o(BD,\s\up16(→))|≤15，∴|eq \o(BD,\s\up16(→))|的取值范围是[3，15]． 知识点四　用已知向量表示未知向量 5．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，eq \o(AE,\s\up16(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(BE,\s\up16(→))，eq \o(CE,\s\up16(→)). 解　∵四边形ACDE为平行四边形， ∴eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＝c，eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝b－a， ∴eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝b－a＋c，eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝c－a，eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝c－b. 知识点五　向量减法的应用 6．在四边形ABCD中，若eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \o(CD,\s\up16(→))，且|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|，则四边形ABCD的形状为________． 解析　因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \o(CD,\s\up16(→))，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，所以四边形ABCD为平行四边形．因为|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))|，所以|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(DB,\s\up16(→))|，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形． 7．已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(OD,\s\up16(→))满足eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))，用向量的方法证明四边形ABCD为平行四边形． 证明　∵eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))， ∴eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))， ∴eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))，∴|eq \o(DA,\s\up16(→))|＝|eq \o(CB,\s\up16(→))|，且DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 8．如图所示，在▱ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，AC，BD是它的两条对角线． (1)用a，b表示eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(DB,\s\up16(→))； (2)当a，b满足什么条件时，表示a＋b与a－b的有向线段所在的直线互相垂直？ (3)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ 解　(1)eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(DB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝a－b. (2)由(1)知a＋b＝eq \o(AC,\s\up16(→))，a－b＝eq \o(DB,\s\up16(→)). ∵表示a＋b与a－b的有向线段所在的直线互相垂直，即AC⊥DB，且四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|. (3)不可能．∵▱ABCD的两对角线不可能平行， ∴a＋b与a－b不可能为共线向量， ∴a＋b与a－b不可能为相等向量． 一、选择题 1．在平行四边形ABCD中，eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))等于(　　) A．eq \o(AB,\s\up16(→)) B．eq \o(BA,\s\up16(→)) C．eq \o(CD,\s\up16(→)) D．eq \o(DB,\s\up16(→)) 解析　eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→)). 2．[多选]下列各式中能化简为eq \o(PQ,\s\up16(→))的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up16(→))＋(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(BQ,\s\up16(→))) B．(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))＋(eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(QC,\s\up16(→))) C．eq \o(QC,\s\up16(→))－eq \o(QP,\s\up16(→))＋eq \o(CQ,\s\up16(→)) D．eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BQ,\s\up16(→)) 解析　eq \o(AB,\s\up16(→))＋(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(BQ,\s\up16(→)))＝eq \o(AQ,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))，故A正确；由于(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))＋(eq \o(BA,\s\up16(→))－eq \o(QC,\s\up16(→)))＝eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \o(QC,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))，故B正确；由于eq \o(QC,\s\up16(→))－eq \o(QP,\s\up16(→))＋eq \o(CQ,\s\up16(→))＝－eq \o(QP,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))，故C正确．故选ABC. 3．若O，A，B是平面上不共线的任意三点，则下列各式中成立的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)) B．eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)) C．eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OA,\s\up16(→)) D．eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)) 解析　eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)). 4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则eq \o(EF,\s\up16(→))等于(　　) A．a＋b B．b－a C．c－b D．b－c 解析　eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＝b－c. 5．在边长为1的正三角形ABC中，|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))|的值为(　　) A．1 B．2 C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3) 解析　如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→)).在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求得AD＝eq \r(3)，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))|＝eq \r(3). 二、填空题 6．如图，在正六边形ABCDEF中，与eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))相等的向量有________(填序号)． ①eq \o(CF,\s\up16(→))；②eq \o(AD,\s\up16(→))；③eq \o(BE,\s\up16(→))；④eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(FE,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))；⑤eq \o(CE,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))；⑥eq \o(CA,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→))；⑦eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AE,\s\up16(→)). 解析　eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CF,\s\up16(→))，①正确；eq \o(DE,\s\up16(→))－eq \o(FE,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(DE,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CF,\s\up16(→))，④正确；eq \o(CE,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \o(BE,\s\up16(→))，⑤错误；eq \o(CA,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(DA,\s\up16(→))，⑥错误；eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))，⑦错误． 8．在矩形ABCD中，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4，则|eq \o(CB,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))|＝________，|eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))|＝________． 解析　如图，在矩形ABCD中，∵|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4，∴|eq \o(CB,\s\up16(→))－eq \o(DC,\s\up16(→))|＝|eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))|＝|eq \o(CA,\s\up16(→))|＝2eq \r(5)，|eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))|＝|eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))|＝|eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))|＝8. 2eq \r(5) 三、解答题 9．如图，O为△ABC内一点，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c.求作： (1)b＋c－a； (2)a－b－c. 解　(1)如图所示，以OB，OC为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝b＋c， 所以b＋c－a＝eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→)). (2)由(1)知，eq \o(OD,\s\up16(→))＝b＋c，则a－b－c＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(DA,\s\up16(→)). 解　eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝c－a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝d－a， eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝d－b， eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝b－a＋f－c， eq \o(BF,\s\up16(→))－eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(OF,\s\up16(→))－eq \o(OD,\s\up16(→))＝f－d. 10．如图所示，已知eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，eq \o(OD,\s\up16(→))＝d，eq \o(OE,\s\up16(→))＝e，eq \o(OF,\s\up16(→))＝f，试用a，b，c，d，e，f表示eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))，eq \o(BF,\s\up16(→))－eq \o(BD,\s\up16(→)). $$