7.3.1 复数的三角表示式-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

7．3．1　复数的三角表示式 知识点　复数的三角表示 1．下列复数中已用三角形式表示的是(　　) A．2(cosα－isinα) B．2(sinα＋icosα) C．－2(cosα＋isinα) D．2[cos(－α)＋isin(－α)] 答案：D 解析：复数的三角形式为z＝r(cosα＋isinα)，其满足的条件为：①r≥0；②加号连接；③cosα在前，sinα在后；④α前后一致，可取任意值．A不满足②，不选；B不满足③，不选；C不满足①，不选．故选D． 2．复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是(　　) A．3 B．3 C．3 D．3 答案：C 解析：由复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)，得z＝－3＝3＝3．故选C． 3．复数z＝sinθ－icosθ的辐角的主值是(　　) A．θ－ B．π－θ C．2π－θ D．θ＋ 答案：A 解析：复数z＝sinθ－icosθ＝cos＋isin，由<θ<π，得0<θ－<，故此复数的辐角的主值为θ－．故选A． 4．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为(　　) A．2cos B．－2cos C．2sin D．－2sin 答案：B 解析：解法一：复数z＝1＋cosα＋isinα＝1＋＋i·2sincos＝2cos，∵π<α<2π，∴<<π，cos<0，∴|z|＝＝2＝－2cos．∴z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为－2cos．故选B． 解法二：|z|＝＝＝＝＝，∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，∴|z|＝－2cos．故选B． 5．若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________． 答案：kπ－(k∈Z) 解析：解法一：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－(k∈Z)． 解法二：设z1＝cosθ－isinθ，z2＝－sinθ＋icosθ，则z1＝cos(－θ)＋isin(－θ)，z2＝cos＋isin，因为z1＝z2，所以＋θ＝－θ＋2kπ(k∈Z)，故θ＝kπ－(k∈Z)． 6．把下列复数的代数形式与三角形式互化： (1)z1＝－1＋i； (2)z2＝－4i； (3)2； (4)6． 解：(1)由a＝－1，b＝，知点Z1(－1，)在第二象限，故辐角为第二象限的角． r＝＝2． 又tanθ＝＝－，所以arg z1＝．因此复数z1＝－1＋i的三角形式为z1＝2． (2)由a＝0，b＝－4<0，知r＝＝4，arg z2＝，因此复数z2＝－4i的三角形式为z2＝4． (3)2＝2＝－＋i． (4)6＝6＝－3－3i． 7．当2π<θ<3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角的主值． 解：z＝1－cosθ＋isinθ ＝2sin2＋i·2sincos ＝2sin． ∵2π<θ<3π， ∴π<<，∴sin<0． 从而z＝－2sin ＝－2sin． ∵π<<，∴0<－<． 故|z|＝－2sin，arg z＝－． 一、单项选择题 1．下列结论中正确的是(　　) A．复数z的任意两个辐角之间都差2π的整数倍 B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角的主值有且只有一个 C．实数0不能写成三角形式 D．复数0的辐角的主值是0 答案：B 解析：对于A，复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为2π的整数倍，故A错误；对于B，任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角的主值有且只有一个，故B正确；对于C，0×(cosθ＋isinθ)＝0，其中θ∈R，故实数0能写成三角形式，故C错误；对于D，复数0的辐角的主值不唯一，故D错误．故选B． 2．下列复数已用三角形式表示的是(　　) A．3(sin40°＋isin40°) B．3(cos40°－isin40°) C．－3(cos40°＋isin40°) D．3(cos40°＋isin40°) 答案：D 解析：复数的三角形式表示为z＝r(cosθ＋isinθ)，参考四个选项，只有D满足．故选D． 3．复数z＝的辐角的主值是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：z＝＝－i＝，所以辐角的主值是．故选D． 4．下列复数中，与复数相等的是(　　) A．cos＋isin B．cos＋isin C．＋I D．－1－i 答案：B 解析：由题设，＝＝＋i＝cos＋isin，故A，C，D错误；cos＋isin＝cos＋isin，故B正确．故选B． 5．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝(　　) A．3＋i B．＋3i C．3－i D．－3i 答案：A 解析：z＝r(cosθ＋isinθ)＝2＝3＋i．故选A． 二、多项选择题 6．下列说法正确的是(　　) A．复数z＝cos＋isin的辐角的主值为 B．复数z＝cos＋isin的辐角的主值为－ C．复数z＝8的代数形式为4＋4i D．复数z＝－2i的三角形式为z＝－2 答案：AC 解析：对于A，因为∈[0，2π)，故z的辐角的主值为，故A正确；对于B，因为－∉[0，2π)，故z的辐角的主值不是－，故B错误；对于C，z＝8＝8＝4＋4i，故C正确；对于D，－2＝－2，故z＝－2，故D错误．故选AC． 7．(2024·济南模拟)设z∈C，且满足|z|≤，则ω＝1＋z的辐角的主值可能为(　　) A． B． C． D． 答案：AD 解析：如图，复数z对应的点在圆心为(0，0)，半径为的圆内，ω为向右平移一个单位得到的圆内的点，|OA|＝1，|AB|＝，所以∠1＝∠2＝，故ω的辐角的主值的范围是∪．结合选项可知A，D正确．故选AD． 三、填空题 8．复数2的代数形式为________． 答案：－＋i 解析：2＝2＝－＋i． 9．复数z＝log1＋|1＋i|i的三角形式是________． 答案： 解析：∵|1＋i|＝＝，∴z＝log1＋|1＋i|i＝i．∵z在复平面内对应的点的坐标为(0，)，∴z的辐角的主值为，∴z的三角形式是． 10．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝的辐角的主值为________． 答案： 解析：将z1＝1＋i代入式中化简整理，得z＝＝＝1－i，显然arg z＝． 四、解答题 11．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式． (1)z1＝－1＋i；(2)z2＝－i． 解：(1)复数z1＝－1＋i对应的向量如图1所示， 则r＝＝， cosθ＝－＝－． ∵与z1＝－1＋i对应的点位于第二象限， ∴arg z1＝． 故z1＝－1＋i＝． (2)复数z2＝－i对应的向量如图2所示， 则r＝＝1， cosθ＝． ∵与z2＝－i对应的点位于第四象限， ∴arg z2＝． 故z2＝－i＝cos＋isin． 12．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，其中0<θ1<π，0<θ2<π，求z1＋z2的模与辐角． 解：∵z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2， ∴z1＋z2＝(cosθ1＋isinθ1)＋(cosθ2＋isinθ2) ＝(cosθ1＋cosθ2)＋i(sinθ1＋sinθ2) ＝2coscos＋i·2sin·cos ＝2cos． ∵0<θ1<π，0<θ2<π， ∴－π<－θ2<0，－π<θ1－θ2<π，－<<， 则cos>0． ∴|z1＋z2|＝2cos， z1＋z2的辐角是2kπ＋(k∈Z)． 13．[多选]欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(其中e＝2．718…，i为虚数单位)由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是(　　) A．|eiθ|＝1 B．eiθ＋eiβ＝ei(θ＋β) C．ei ＝i D．ei(α＋θ)＝eiθcosα＋eisinα 答案：ACD 解析：对于A，|eiθ|＝|cosθ＋isinθ|＝＝1，故A正确；对于B，当θ＝β＝时，ei(θ＋β)＝cos(θ＋β)＋isin(θ＋β)＝－1，eiθ＋eiβ＝＋＝2i≠－1，故B错误；对于C，＝＝cosθ－isinθ，i ＝sinθ＋icosθ，ei＝cos＋isin＝sinθ＋icosθ＝i ，故C正确；对于D，ei(α＋θ)＝cos(α＋θ)＋isin(α＋θ)＝(cosαcosθ－sinαsinθ)＋i(sinαcosθ＋cosαsinθ)＝(cosαcosθ＋icosαsinθ)＋(－sinα·sinθ＋isinαcosθ)＝cosα(cosθ＋isinθ)＋sinα·(－sinθ＋icosθ)＝cosα(cosθ＋isinθ)＋sinα·＝eiθcosα＋eisinα，故D正确．故选ACD． 14．(2024·上海浦东新阶段练习)设z，ω∈C，|z|＝1，|ω|＝，|z－ω|＝1．则|z＋2ω－i|的最小值为________． 答案：－1 解析：∵|z|＝1，|ω|＝，∴设z＝cosθ＋isinθ，ω＝(cosφ＋isinφ)，又|z－ω|＝1，z－ω＝(cosθ－cosφ)＋(sinθ－sinφ)i，∴(cosθ－cosφ)2＋(sinθ－sinφ)2＝1，即3－2·(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3－2cos(θ－φ)＝1，∴cos(θ－φ)＝，解得θ－φ＝±＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝θ＋，又z＋2ω－i＝(cosθ＋2cosφ)＋(sinθ＋2sinφ－1)i，∴|z＋2ω－i|＝＝＝＝＝，∴当sin(θ＋α)＝1时，|z＋2ω－i|取得最小值＝－1． 15．设复数z满足z－3的辐角的主值为，z＋1的模为，求复数z．(用代数形式表示) 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 由|z＋1|＝，得|(x＋1)＋yi|＝， 所以(x＋1)2＋y2＝10　①， 又z－3＝(x＋yi)－3(x－yi)＝－2x＋4yi，arg (z－3)＝⇔　②， 解①②，可得所以z＝2－i． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$