6.4.2 向量在物理中的应用举例-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（人教A版2019）

6．4．2　向量在物理中的应用举例 知识点一　向量在力学中的应用 1．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么|F1|等于(　　) A．5 N B．5 N C．10 N D．5 N 答案：B 解析：如图，由题意，得四边形OABC是矩形，∵∠AOB＝60°，∴|F1|＝|F合|cos60°＝10×＝5(N)．故选B． 2．某人在高为h米的楼上水平抛出一石块，速度为v，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是(　　) A．v B．|v| C．v D．|v| 答案：B 解析：设石块的落地时间为t，则gt2＝h，解得t＝，所以石块落地点与抛出点的水平位移的大小为|v|t＝|v|．故选B． 3．如图，用两条绳提一个物体，每条绳用力5 N，两绳夹角为60°，则物体所受的重力为(　　) A．5 N B．5 N C．5 N D．10 N 答案：B 解析：物体所受的重力为|F1|cos30°＋|F2|·cos30°＝5×＋5×＝5(N)．故选B． 4．在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60 N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡．3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则F1的大小为________ N． 答案：10 解析：依题意，|F1|＝|F2|＝|F3|且|F1＋F2＋F3|＝60，所以|F1|2＋|F2|2＋|F3|2＋2F1·F2＋2F2·F3＋2F3·F1＝3600，即3|F1|2＋3×2|F1|2×＝3600，解得|F1|＝10． 5．有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成60°角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀． (1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u，v，河水的流速为w，求u，v，w之间的关系式； (2)求这条河河水的流速． 解： (1)如图，u是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60°角的静水中的船速， 则v与u的夹角为30°， 由题意知，u，v，w三条有向线段构成一个直角三角形，其中＝v，＝u，＝＝w， 由向量加法的三角形法则知，＝＋＝＋，即u＝w＋v． (2)∵||＝|v|＝10 km/h，而||＝||·sin30°＝10×＝5 km/h， ∴这条河河水的流速大小为5 km/h，方向顺着河岸向下． 知识点二　用向量解决速度问题 6．一条河的宽度为d，一只船从A处出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则船行到B处时，行驶速度的大小为(　　) A．v－v B．|v1|2－|v2|2 C． D． 答案：D 解析：如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得|v|2＝|v1|2－|v2|2，∴|v|＝．故选D． 7．一条两岸平行的河流，水速的大小为1 m/s，小船的速度的大小为2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶． 答案：与水速成120°角 解析：如图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸垂直．又|v水|＝||＝1，|v船|＝||＝2，∠ADC＝90°，所以∠CAD＝30°．所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶． 8．在水流速度的大小为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向航行，速度的大小为8千米/时，求船实际航行速度的大小． 解：如图，用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直方向的速度． 则v0＋v1表示船实际航行的速度， ∵|v0|＝4，|v1|＝8， ∴解直角三角形得|v0＋v1|＝＝4． 故船实际航行速度的大小为4千米/时． 一、单项选择题 1．(2024·吉林长春外国语学校阶段测试)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度的大小为50 m/s，则鹰的飞行速度的大小为(　　) A． m/s B． m/s C． m/s D． m/s 答案：C 解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝50 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝(m/s)．故选C． 2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　) A．40 N B．10 N C．20 N D．10 N 答案：B 解析：|F1|＝|F2|＝|F合|cos45°＝10(N)，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．故选B． 3．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－30，25) C．(10，－5) D．(5，－10) 答案：C 解析：由题意知，＝5v＝(20，－15)，设点P的坐标为(x，y)，则解得所以点P的坐标为(10，－5)．故选C． 4．(2024·辽宁凌源三校高一3月联考)第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力F＝(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则F对冰球所做的功为(　　) A．－210 B．210 C．－270 D．270 答案：D 解析：由题意得，冰球的位移为＝(5，10)，故力F对冰球所做的功为F·＝5×6＋24×10＝270． 5．(2024·四川绵阳期末)在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或共提一个行李包这样的情景．假设行李包或水桶所受重力为G，作用在行李包或水桶上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为α，则下列结论中正确的是(　　) A．当α＝时，|F1|＝|G| B．当α＝时，|F2|＝ C．当α＝时，|F1|有最小值 D．α越小越费力，α越大越省力 答案：A 解析：由题意可得|G|＝|F1＋F2|，则|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cosα＝2|F1|2(1＋cosα)，解得|F1|2＝．对于A，当α＝时，|F1|2＝＝|G|2，即|F1|＝|G|，故A正确；对于B，当α＝时，|F1|2＝＝|G|2，即|F2|＝|G|，故B错误；对于C，D，|F1|2＝，因为y＝cosα在(0，π)上单调递减，则|F1|2＝在(0，π)上单调递增，所以α越小越省力，α越大越费力，且|F1|2无最小值，故C，D错误．故选A． 二、多项选择题 6．在水流速度的大小为4 km/h的河水中，一艘船的实际航行方向垂直于对岸，实际航行速度的大小为12 km/h，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是(　　) A．这艘船航行速度的大小为12 km/h B．这艘船航行速度的大小为8 km/h C．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为150° D．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为120° 答案：BD 解析：如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为一对角线作▱ABCD，则就是船的航行速度．∵||＝4，||＝12，⊥．∴||＝||＝8，tan∠ACB＝＝，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°．即这艘船航行速度的大小为8 km/h，航行方向与水流方向的夹角为120°．故选BD． 7．三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用F1，F2，F3表示．若|F1|＝30 N，|F2|＝10 N，F1与F2的夹角是，则下列说法正确的是(　　) A．|F3|＝5 N B．|F3|＝10 N C．F1与F3夹角的余弦值为－ D．F1与F3夹角的余弦值为－ 答案：BC 解析：由已知可得，－F3＝F1＋F2，所以|F3|＝＝＝10 N．设F1，F3的夹角为θ，由－F2＝F1＋F3，得|F2|2＝|F1|2＋2|F1||F3|cosθ＋|F3|2，所以300＝900＋2×30×10×cosθ＋2100，解得cosθ＝－．故选BC． 三、填空题 8．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上各套一小环P，Q，P，Q用轻线相连，现用恒力F沿方向拉环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________． 答案： 解析：设Q受轻线的拉力为T，以Q为研究对象，由于受力平衡，故轻线与杆OA垂直，即轻线与OB的夹角为－θ，|T|cos＝|F|，故|T|＝． 9．如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝，F1与F2的夹角为，则F3的大小为________． 答案：1 解析：F1，F2，F3三个力处于平衡状态，F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，则|F3|＝|F1＋F2|＝＝＝＝1． 10．如图所示，在倾斜角为37°(sin37°≈0．6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0．5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9．8 m/s2)． 答案：0　98 解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos53°＝5×9．8××0．6＝98(J)． 四、解答题 11．一条河南北两岸平行，如图所示，河面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头点A出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h．设v1与v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸上的点A′在点A的正北方向． (1)若游船沿AA′到达北岸点A′所需的时间为6 min，求v1的大小和cosθ的值； (2)当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 解：(1)设游船的实际速度的大小为|v| km/h． 由AA′＝1 km，6 min＝0．1 h，得|v|＝10 km/h，|v2|＝4 km/h． 速度合成示意图如图所示，由|v1|2＝|v|2＋|v2|2＝102＋42＝116，得|v1|＝2 km/h， cosθ＝－＝－， ∴v1的大小为2 km/h，cosθ的值为－． (2)当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，设到达北岸点B所用的时间为t h，作出向量加法示意图如图所示， AB2＝|tv|2＝t2(v1＋v2)2＝t2(102＋42＋2×10×4×cos60°)＝156t2， ∴AB＝2t． 在Rt△AA′C中，t|v1|cos30°＝1，从而t＝ h． ∴AB＝×2＝． 故游船航行到北岸的实际航程为 km． 12．某人骑车向东行驶，速度的大小为每小时a千米，感到风从正北方向吹来，而当速度的大小为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向． 解：设a表示此人向东行驶的速度，其中|a|＝a，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到风速为v＋(－a)． 如图，设＝－a，＝－2a，＝v， 因为＋＝， 所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速． 因为＋＝，所以＝v－2a． 于是当此人的速度的大小是原来的2倍时所感到由东北方向吹来的风速就是． 由题意得∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO， 所以△POB为等腰直角三角形， 所以PO＝PB＝a，即|v|＝a． 所以实际风速的大小是每小时a千米，方向为西北方向． 13．[多选]如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 答案：AC 解析：设水的阻力为f，绳子的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ，则|F|·cosθ＝|f|，∴|F|＝．∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大，∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．故选AC． 14．(2024·山东枣庄期末)如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流方向为正东方向，其速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，则下列说法正确的是________(参考数据：≈2．45)． ①这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，v1⊥v2；②这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3 min；③这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间为4 min． 答案：①② 解析：对于①，如图1，设v1与v2的夹角为θ，船行驶的时间为t，d＝500 m＝0．5 km，当θ为钝角时，t1＝＝＝(h)，当θ为锐角时，t2＝＝＝(h)，当θ为直角时，t3＝＝＝0．05(h)，则当θ为钝角时，0<sinθ<1，t1>0．05＝t3，当θ为锐角时，0<sinθ<1，t2>0．05＝t3，所以当船垂直于对岸行驶，即v1⊥v2时，所用时间最短，故①正确；对于②，由①可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为t3＝0．05 h＝0．05×60 min＝3 min，故②正确；对于③， 如图2，设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短，设v＝v1＋v2，则|v|＝＝(km/h)，此时，船的航行时间t＝＝×60＝≈3．1(min)，故③错误． 15．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当θ＝30°时，求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9．8 m/s2，精确到0．01 N)； (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2 N，则当θ＝60°时，此降落伞能否安全使用？ 解：(1)如图，设水平面的单位法向量为n，每根绳子的拉力均为F，因为〈n，F〉＝30°， 所以F在n上的投影向量为n， 所以8根绳子拉力的合力T＝8×n＝4|F|n． 又因为降落伞匀速下落，所以|T|＝mg＝1×9．8＝9．8(N)， 所以4|F||n|＝9．8， 所以|F|＝≈1．41(N)． (2)设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为|F|，则8|F|cosθ＝mg，故|F|＝，当θ＝60°时，8|F|cos60°＝1×9．8，解得|F|＝2．45(N)． 因为2．45(N)>2(N)，超过最大承受拉力，有安全隐患，故此降落伞不能安全使用． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$