2025年中考数学二轮专题训练：四边形

2025届中考数学二轮专题训练：四边形 · 知识点参考 1．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 2．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 4．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 5．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　 （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 6．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 8．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 9．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 10．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． · 强化训练 一．选择题（共15小题） 1．一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（　　） A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8 2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若添加一个条件使四边形ABCD为矩形，则添加的条件可以是（　　） A．AB⊥AC B．AB⊥BD C．AB⊥AD D．AC⊥BD 3．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm,则△BCE的周长是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 4．如图，点E，F是菱形ABCD边AB，BC的中点，AB=2，EF=，则菱形ABCD的面积为（　　） A．3 B． C． D．4 5．如图，五边形ABCDE是正五边形，AF∥DG，若∠2=20°，则∠1=（　　） A．60° B．56° C．52° D．40° 6．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，CP平分∠ACD，则∠BPC的度数是（　　） A．45° B．60° C．67.5° D．77.5° 7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①PD=EC；②四边形PECF的周长为8；③AP=EF；④EF的最小值为3，其中结论正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论中，不正确的是（　　） A．∠CAD=30° B．BD= C．OE= D． 10．如图，在长方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE、DE，将△CDE沿着DE翻折，点C恰好落在AE边上的点F处．若∠DEC=75°，CD=3，则△ADE面积是（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 11．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC=90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 12．如图，四边形ABCD是菱形，CD=10，BD=16，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 13．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，BE：CE=1：2，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°后，点A对应点为点F，连接CF、DF，则的值是（　　） A． B． C． D． 14．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A．3 B．4 C． D．5 15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF=2，AB=6，给出下列结论： ①AE=10， ②∠COD=45°， ③△COF的面积S△COF=6， ④CF=BD=2，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二．填空题（共6小题） 16．如图，以正方形ABCD的边AB为边作等边△ABE，连接DE，则∠AED的度数为______． 17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上运动，连接AE，过点B作BF⊥AE，F为垂足，以BF为边作正方形BFGH，当点E与点B重合时，点F，G，H与点B重合，则DH长的最大值是 ______． 18．在菱形ABCD中，∠ABC=120°，边长为8，点E，F分别是BC，CD的中点；连结AE，BF，Q，P分别是AE，BF的中点，则PQ=______． 19．如图，四边形ABCD与四边形EFCG都是正方形，点F，G分别在BC，DC上，连接DE，BE，BD，若AB=5，S△BED=10，则DG的长为 ______． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点C为x轴正半轴上一动点，以OA，OC为边作矩形OABC，点E为线段AB的延长线上一点，且BE=AB，D为OB的中点，连接DE交BC于点F，连接CD，当三角形CDF为等腰三角形时，点B的坐标为 ______． 21．在矩形ABCD（AB＜BC）的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若∠CBE=15°，则=______； （2）如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，=______． 三．解答题（共6小题） 22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接AE、CE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若菱形ABCD中，DB=4，AC=6，则AE的长为 ______． 23．如图，点E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N，且AM=AN． （1）求证：四边形AMCN是菱形； （2）若△AEM的面积为2，求四边形AMCN的面积． 24．如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH． （1）求证：四边形AKFH是正方形； （2）若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求点A、E之间的距离． 25．如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是边AD、BC上的点，且AE=CF，连接EF交矩形ABCD的对角线BD于点O． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若EF⊥BD，BC=8，CD=6，求四边形BEDF的面积． 26．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若AD=AE，AF=1，求DG的长． 27．如图，点F在四边形ABCD的边AB上， （1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE=CF； （2）当四边形ABCD是矩形，AD=6，AB=8时， ①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值； ②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG=2时，DE=______． 2025届中考数学二轮专题训练：四边形 (参考答案) 一．选择题（共15小题） 1、D 2、C 3、A 4、C 5、B 6、C 7、C 8、C 9、D 10、A 11、A 12、C 13、D 14、D 15、A  二．填空题（共6小题） 16、15°； 17、； 18、2； 19、； 20、（3，6）或（6，6）； 21、；；  三．解答题（共6小题） 22、（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴OC=AC，AC⊥BD， ∴DE=AC， ∴OC=DE， 又∵DE∥AC， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠COD=90°， ∴平行四边形OCED为矩形； （2）解：∵菱形ABCD中，DB=4，AC=6， ∴OD=BD=2， ∵四边形OCED为矩形， ∴CE=OD=2，∠ACE=90°， ∴在Rt△ACE中，AC=6，CE=2， 由勾股定理得：AE==， 故答案为：． 23、（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵点E、G分别是AB、CD的中点， ∴AE=CG， ∵AB∥CD， ∴四边形AECG为平行四边形， ∴AG∥EC， 同理可得：AF∥HC， ∴四边形AMCN为平行四边形， ∵AM=AN， ∴平行四边形AMCN是菱形； （2）解：如图，连接EF、AC， ∵点E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=AC，EF∥AC， ∴△EMF∽△CMA， ∴EM：MC=1：2， ∵△AEM的面积为2， ∴△AMC的面积为4， ∴四边形AMCN的面积为8． 24、（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形， ∴AB=AD=DC=BC，GC=EC=FG=EF， ∵DH=CE=BK， ∴HG=EK=BC=AD=AB， 在△ADH和△ABK中， ， ∴△ADH≌△ABK（SAS）， ∴∠HAD=∠BAK． ∴∠HAK=∠BAD=90°， 同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH， ∴AH=AK=HF=FK， ∴四边形AKFH是正方形； （2）解：如图，连接AE， ∵四边形AKFH的面积为10， 又由（1）知四边形AKFH是正方形， ∴， ∵EF=CE=1， ∴， ∴AB=KE=3， ∵BK=EF=1， ∴BE=BK+KE=4， ∴， 故点A、E之间的距离为5． 25、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵AE=CF， ∴DE=BF， 且DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形， ∴BF=FD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°， 在Rt△DCF中，设DF=x,则BF=x,FC=8-x, 由勾股定理得：FC2+DC2=DF2， ∴（8-x）2+62=x2， 解得：， ∴=BF， ∴． 26、（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB=∠B=90°， ∵EF⊥AD， ∴∠DAB=∠B=∠EFA=90°， ∴四边形ABEF为矩形， ∴AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE=∠BAE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴AB=BE， ∴矩形ABEF为正方形； （2）解：∵四边形ABEF为正方形，AF=1， ∴BE=AF=1， ∵DG⊥AE， ∴∠AGD=∠B=90°， 在△ADG和△AEB中， ， ∴△ADG≌△AEB（AAS）， ∴DG=BE=1． 27、（1）证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠FBC=90°， ∵BE⊥CF于点O， ∴∠BOC=90°， ∴∠ABE=90°-∠OBC=∠BCF， ∵AB=BC， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE=CF． （2）解：①如图②，作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，则∠OMD=∠OND=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠MDN=∠A=∠BCD=90°， ∴四边形OMDN是矩形， ∴∠MON=90°， ∵PE⊥CF于点O， ∴∠COE=90°， ∴∠CON=∠EOM=90°-∠EON， ∵∠ONC=∠OME=90°， ∴△ONC∽△OME， ∴， ∵∠OND=∠BCD， ∴ON∥BC， ∴△DON∽△DBC， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵BC=AD=6，AB=CD=8， ∴． ②如图3，连接CE、CG， ∵∠ABC=90°， ∴∠PBG=180°-∠ABC=90°， ∴∠PBG=∠POC=90°， ∵∠BPG=∠OPC， ∴△BPG∽△OPC， ∴， ∴， ∵∠OPB=∠CPG， ∴△OPB∽△CPG， ∴∠CBD=∠OGC， ∵，， ∴， ∴=， ∵∠COE=∠BCD=90°， ∴△COE∽△BCD， ∴∠CDB=∠OEC， ∴∠OGC+∠OEC=∠CBD+∠CDB=90°， ∴∠ECG=90°， ∴∠BCG=∠DCE=90°-∠BCE， ∵∠CBG=∠CDE=90°， ∴△CBG∽△CDE， ∴， ∴DE===， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$