专题07 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线（八大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（湖南专用）

专题07 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线 （八大题型） 一、离心率及其应用 1．（2025·湖南长沙·一模）若双曲线 的离心率为 3 ， 则双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D．3 2．（2025·湖南·一模）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·一模）已知椭圆及圆，如图，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·一模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 二、直线与圆 5．（2025·湖南·一模）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．2025·湖南·一模）（多选）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南长沙·一模）（多选）已知是圆上的动点，直线与交于点，则（   ） A． B．直线与圆相切 C．直线与圆截得弦长为 D．的值为 8．（2025·湖南·一模）若直线与圆交于、两点，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 10．（2025·湖南长沙·一模）（多选）已知圆 ，直线 ，则（    ） A．直线 恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C．直线与圆可能相切 D．若圆与圆 恰有三条公切线，则 11．（2025·湖南永州·一模）已知点，圆，则（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．直线与圆总有两个交点 C．圆上任意一点都有 D．是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为 三、弦长问题 12．（2025·湖南·一模）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则 . 13．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·湖南娄底·一模）已知点F是抛物线的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）.若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 四、小题中的最值 15．（2025·湖南·一模）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·湖南岳阳·一模）已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 五、多选题多考点综合 17．（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（    ） A．的面积的最大值为2 B． C． D． 18．（2025·湖南·一模）过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（     ） A．为定值 B．抛物线 的准线方程为 C．过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上 D．若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则 19．（2025·湖南·一模）已知，双曲线C：，则（    ） A．可能是第一象限角 B．可能是第四象限角 C．点可能在C上 D．点可能在C上 20．（2025·湖南邵阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（   ） A． B．当时，的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为2 D．当时，直线ON的斜率的最大值为 21．（2025·湖南·一模）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 22．（2025·湖南·一模）已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率 C． D． 六、斜率问题 23．（2025·湖南·一模）已知椭圆（其中）的离心率为，左右焦点分别为，． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值． 七、面积问题 24．（2025·湖南·一模）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积. 25．（2025·湖南长沙·一模）如图，椭圆过点，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆的右焦点且与轴相交的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线在轴上截距的范围. 26．（2025·湖南·一模）已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等. (1)求椭圆C的方程； (2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B． （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值. 27．（2025·湖南·一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D． (1)求双曲线C的标准方程； (2)求证：直线m与直线的斜率之积为定值； (3)求的最小值． 八、定点问题 28．（2025·湖南岳阳·一模）已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 29．（2025·湖南邵阳·一模）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求. 30．（2025·湖南·一模）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6. (1)求抛物线的方程. (2)设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 31．（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． (1)证明：数列都是等比数列； (2)记，求数列的前n项和； (3)证明：当时，直线都过定点． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线 （八大题型） 一、离心率及其应用 1．（2025·湖南长沙·一模）若双曲线 的离心率为 3 ， 则双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据已知双曲线的离心率得出的关系,再求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线 的离心率,所以， 所以双曲线 的离心率. 故选：A. 2．（2025·湖南·一模）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以，    因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 3．（2025·湖南·一模）已知椭圆及圆，如图，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边三角形可得，设直线的方程为，求得圆心到直线的距离，由圆的弦长公式可得，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】由，可得为等边三角形，即， 设直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 弦长，解得， 可得直线，代入椭圆方程， 可得， 由直线和椭圆相切，可得：， 化简可得，由，可得，即有. 故选：A 4．（2025·湖南·一模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题先求出椭圆中的长半轴长与半焦距，然后在再分别由勾股定理，椭圆和双曲线的定义求解双曲线的实半轴长，即可求出双曲线方程． 【详解】椭圆中，，双曲线的实半轴长， 在三角形中， ， 所以 ， 所以， 即， 所以，由题焦点在轴上， 故双曲线方程为， 故选：D． 二、直线与圆 5．（2025·湖南·一模）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程，再利用直线与圆相交的性质与圆的弦长公式得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为圆，可化为， 则其圆心为，半径为，且，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相交，且所得弦的长度小于6， 所以，解得， 综上，，即. 故选：D. 6．2025·湖南·一模）（多选）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线斜率为2，有，则. 依题意有或， 当时，，即， 解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合； 当时，，即， 解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合. 故选：BC 7．（2025·湖南长沙·一模）（多选）已知是圆上的动点，直线与交于点，则（   ） A． B．直线与圆相切 C．直线与圆截得弦长为 D．的值为 【答案】ACD 【分析】根据两直线一般式满足的系数关系即可求解A，根据点到直线的距离与半径的关系即可求解B，根据弦长公式即可求解C，根据勾股定理即可求解D. 【详解】直线与， 由于，，故A正确； 圆心到的距离，直线与圆相离，故B错误； 圆心到的距离，弦长，故C正确； 由于，过圆心分别作的垂线，垂足为，如图, 则四边形为矩形，，故D正确． 故选：ACD． 8．（2025·湖南·一模）若直线与圆交于、两点，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，利用勾股定理求出的取值范围，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程可化为， 联立，解得，即直线过定点，且直线不表示直线， 显然当直线过圆心时，取最大值， 当直线与垂直时，圆心到的距离取最大值， 此时，取最小值， 因为，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即，不合乎题意， 因此，的取值范围是. 故选：A. 9．（2025·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 易知圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得， 所以的面积为. 故选：D 10．（2025·湖南长沙·一模）（多选）已知圆 ，直线 ，则（    ） A．直线 恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C．直线与圆可能相切 D．若圆与圆 恰有三条公切线，则 【答案】AD 【分析】本题先根据直线l的方程判断出直线l恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，可解决选项A和选项C的问题；根据圆心到直线的距离判断满足条件点的个数，可解决选项B的问题；由选项D的条件可得两圆外切，由此可求得参数a的值. 【详解】由直线，得 ， 因为，则满足 ，解得 ， 所以直线恒过定点 ，故选项A正确. 因为当时，直线为:， 则圆心 到直线的距离为 ， 则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离， 所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误. 因为直线过定点 ，又 ， 所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误. 由圆的方程 可得，， 所以圆心为 ，半径为 ， 因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切， 则 ，解得 ，故选项正确. 故选：AD. 11．（2025·湖南永州·一模）已知点，圆，则（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．直线与圆总有两个交点 C．圆上任意一点都有 D．是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为 【答案】BCD 【分析】A通过圆的方程相减即可判断，B通过直线过定点，点在圆内即可判断；C：求得的轨迹方程即可判断；D通过等差中项得到，确定直线过定点，由最小，得到圆心和弦中点的连线与直线，即可求解. 【详解】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：；错误 对于B：过定点，而在圆的内部，所以直线与圆总有两个交点，正确； 对于C:设，由可得：化简可得： ，所以满足条件的轨迹就是圆，正确； 对于D：因为是的等差中项，所以（不同时为0） 所以可化为，即 可令， 解得，则直线过定点， 设的圆心为， 当与直线垂直时，最小，此时， 即，得，结合 所以，解得 直线的方程为.正确 故选：BCD 三、弦长问题 12．（2025·湖南·一模）设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则 . 【答案】14 【分析】设，根据抛物线的定义，得，又根据中点坐标公式，可得，代入即可得到的值． 【详解】由题意可得， 设，抛物线的准线：， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 根据抛物线的定义，得， 故， 因为的中点为， 所以，可得， 所以. 故答案为：.    13．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果. 【详解】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 14．（2025·湖南娄底·一模）已知点F是抛物线的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧（如图所示）.若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】设与圆O相切于点D，由切线长定理可得的周长为，可得，设，由题意得，可得，计算可得，结合已知可得，可求. 【详解】设与圆O相切于点D，由题图及切线长相等可得：，，， ∴的周长为， ∴， 设，由题意得， ∵，∴， ∴， 由，则，解得， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用切线长定理与三角形的面积得到，进而计算求解. 四、小题中的最值 15．（2025·湖南·一模）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件. 【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为， 与的方程联立得， 设，则，故的方程为.      由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立抛物线与直线，化简得， 由得与相离. 分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即. 故选：D. 16．（2025·湖南岳阳·一模）已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由几何关系确定当外接圆的半径为时，周长取最小值，再由离心率及焦点坐标得出，即可得出半径. 【详解】    设的外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上 又在上，在轴上 ，即当的外接圆的半径为时，周长取最小值， 由题意可知，，即，所以该圆的半径为4. 故选：C. 五、多选题多考点综合 17．（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为，直线，过的直线交抛物线于，两点，交直线于点，，，则（    ） A．的面积的最大值为2 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对A，设直线，联立抛物线方程可得，根据结合韦达定理求解即可；对B，根据韦达定理判断即可；对C，根据韦达定理结合抛物线方程判断即可；对D，根据题意结合平面向量的坐标运算可得，再代入韦达定理求解即可. 【详解】设直线，由得：， 则； 选项A： 应是最小值为2，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，，则，故C正确； 选项D：由，， 得：,， ∴，故D正确. 故选：BCD 18．（2025·湖南·一模）过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（     ） A．为定值 B．抛物线 的准线方程为 C．过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上 D．若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则 【答案】ACD 【分析】对于A，B，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及焦半径公式解方程即可；对于C，利用导数的几何意义求出，直线垂直即可判断；对于D，利用韦达定理以及焦半径公式求出，即，由直线与直线垂直得即可. 【详解】对于A，由已知设过点的直线方程为， 联立方程 ， 消去 得 ，可得， 又因为 ， 所以，则 ， 解得（定值）， A 正确; 所以抛物线方程为， 准线方程为 ，B错误; 对于 C，抛物线 ， 即 ， 则  ， 所以， 故直线垂直， 所以点在以为直径的圆上， C正确; 对于 D，因为， 解得， 因为直线垂直于直线，直线的方程为 所以， 则 ，D 正确. 故选：ACD. 19．（2025·湖南·一模）已知，双曲线C：，则（    ） A．可能是第一象限角 B．可能是第四象限角 C．点可能在C上 D．点可能在C上 【答案】BD 【分析】根据双曲线标准方程的特征，可得，即在第三象限或第四象限，分情况讨论得解. 【详解】根据题意，可得，即，即且， 所以在第三象限或第四象限.故A错误，B正确； 当在第三象限时，有，，， 双曲线方程为，当即，时，方程为， 所以点在双曲线上，故D正确； 当在第四象限时，有，，， 双曲线方程为，因为，所以点不在双曲线上，故C错误. 故选：BD. 20．（2025·湖南邵阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（   ） A． B．当时，的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为2 D．当时，直线ON的斜率的最大值为 【答案】ABD 【分析】对选项A，可根据抛物线的定义计算出的值判断其正确，对BCD选项，可根据抛物线的方程设抛物线上任意一点的坐标为，将几何问题转化为代数问题进行计算求解. 【详解】根据抛物线的定义，的准线为， 由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确； 对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为， 对于B选项，当时，； 当时， 当且仅当时，等号成立.选项B正确； 对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：   到直线的距离， 当时，.选项C错误； 对于D选项，可根据向量共线作出示意图：    根据定义求出抛物线的焦点，由得， 当时，； 当时，， 当且仅当时，等号成立.选项D正确. 故选：ABD 21．（2025·湖南·一模）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B，通过分析方程的特征可求出的范围；对于C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D，对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可. 【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确； 选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求， 得，即，超出，同理的范围也超过，B错误； 选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和， 故弦长为，C正确； 选项D：则即 又，即， 则 同理可得：， 则曲线的上任一点到的距离之和为： 曲线表示以为焦点且的椭圆，则， 则线段的最大值为正确； 故选：ACD 【点睛】点睛：关键点点睛：对于D选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线方程表示的是椭圆，利用椭圆的性质求解即可. 22．（2025·湖南·一模）已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率 C． D． 【答案】BCD 【分析】设内切圆与的三边分别切与点，则由双曲线定义、内切圆性质可得，再由得可判断A；设，，利用求出可判断B；利用等面积得，设，由余弦定理得，再由又等面积法得可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，如图所示，设内切圆与的三边分别切与点， 则由双曲线定义可得，又由内切圆性质可得：， 又，则，，所以， 又，即， 则，故A错误； 对于B，设，， 所以为等腰三角形，则点为的中点， 则，， 所以，即得，所以双曲线离心率为，故B正确； 对于C，由B可知：，， 则.因为内切圆半径为， 所以， 由等面积法可知，， 整理得，即， 设，，，又由可知为等腰三角形， 则，所以， 由余弦定理可得：， 整理得：，即，即，， 又等面积法可得：， 即，即， 则，故C正确； 对于D，所以，故D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：在C选项中解题的关键点是利用等面积得、 进行解答. 六、斜率问题 23．（2025·湖南·一模）已知椭圆（其中）的离心率为，左右焦点分别为，． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得的值，由离心率可得的值，进而可求出的值，可得椭圆方程； （2）联立，由题意可得为中位线，进而可得，在直角三角形中，可得为上顶点或下顶点，可得直线的斜率. 【详解】（1）由题意可得，又，可得， 所以， 所以椭圆C的方程为：. （2）连接，由O为的中点，而D为的中点，所以OD为中位线，即， 即，设，可得， 在中，，所以， 整理可得，可得， 所以可得A为上顶点或下顶点， 所以直线AB斜率为或，即或． 所以k的值为． 七、面积问题 24．（2025·湖南·一模）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出，得椭圆的方程； （2）设直线，的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和求出和的方程，再求出O到直线的距离，可求的面积. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以椭圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的斜率为0，不满足， 直线的斜率为0，则三点共线，不合题意， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 同理可得， 由，得，解得，则， ∴直线的方程为， ∴坐标原点O到直线的距离为， 即的面积的面积为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 25．（2025·湖南长沙·一模）如图，椭圆过点，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆的右焦点且与轴相交的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线在轴上截距的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案； （2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面积，，再结合已知求得，且再求直线在轴上截距的范围即可. 【详解】（1）根据题意得解得所以，焦点. 所以椭圆的方程是：. （2）由题可设直线方程为：，，，，. 由得, 由题知，，, . 又点到直线的距离， . 由得，由题知，得，. . ，，解得：且, 或， 直线在轴上截距的取值范围是. 26．（2025·湖南·一模）已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等. (1)求椭圆C的方程； (2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B． （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求解； （2）（i）根据题意，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，表示出直线的方程，求出其与轴交点，即可证明； （ii）由弦长公式分别表示出，结合面积公式代入计算，再由基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得. 故椭圆的方程为； （2） （i）由题意知斜率存在，设其方程为， ，则， 由，得， 由于直线过椭圆焦点，则必有，则， 直线的方程为， 不妨设直线交轴于点， 令，可得 ，即直线MB过定点； （ii） 因为，所以，同理可得， 又，则 ， 当且仅当时等号成立，即四边形ADBG的面的最小值为. 27．（2025·湖南·一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D． (1)求双曲线C的标准方程； (2)求证：直线m与直线的斜率之积为定值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)3 【分析】（1）根据虚轴长和渐近线求出即可； （2）设，则，记直线m的方向向量为，利用坐标运算求解，整理即可得答案； （3）设出直线方程，和双曲线联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式得到，然后利用基本不等式求的最值. 【详解】（1）因为虚轴长为2，即，所以． 又因为有一条渐近线方程为，所以， 所以双曲线C的标准方程为； （2）由题意，点A与点P关于原点对称． 设，则． 由题意可知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k， 记直线m的方向向量为，又直线m为的平分线， 则． 因为， 所以， 同理， 又，代入得， ，化简得． 所以，即直线与直线m的斜率之积为定值； （3）由（2）可知． 又，所以， 将代入得， ， 所以． 设直线m的方程为， 将代入得， 所以直线m的方程为． 由点到直线距离公式得， ． 又直线的斜率为，设直线的方程为， 将代入得， 所以直线的方程为． 将其与联立得． 设，则． 由得， 所以． 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当且仅当时，的最小值为3． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 八、定点问题 28．（2025·湖南岳阳·一模）已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可； （2）法一：设所在直线方程为，联立，根据韦达定理代入求解即可； 法二：先讨论当直线的斜率不存在时，直线过点，再分析当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，再根据求解即可. 【详解】（1）的焦点在轴上，为， 直线与轴的交点坐标为， 则，即 所以抛物线为 （2）法一：由题意可知所在直线斜率不为0， 设所在直线方程为，联立，化简可得： ， 则， 又 则，满足（*）式 即直线恒过点 法二：当直线的斜率不存在时，设， 所以，所以，所以直线的方程为； 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为 ，联立，化简可得：， 由题意可知即（*）； 由韦达定理知， 所以， 所以，满足（*）式； 所以所在直线方程为 综上，直线恒过点 29．（2025·湖南邵阳·一模）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求. 【答案】(1) (2)直线EG过定点. (3). 【分析】（1）设出方程带入点，得到方程. （2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程再进行联立，再易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为，最后得到过定点. （3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 将点代入得，即，双曲线的方程为 （2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，. 由消去整理得， 依题意得：，且，即且， ，. 易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为. 令，得 . 直线EG过定点. 当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点， 综上，直线EG过定点. （3）考虑以为圆心的“子圆”， 由的方程与的方程消去，得关于的二次方程. 依题意，该方程的判别式，. 对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上， 设，，的半径分别为，， 不妨设，的圆心分别为，. 则，. 两式相减得：，而，. ，整理得：. ，点. ，故. 30．（2025·湖南·一模）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6. (1)求抛物线的方程. (2)设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点坐标为 【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可； （2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果. 【详解】（1）点到圆上点的最大距离为，即，得, 故抛物线的方程为. （2）设，则方程为，方程为, 联立与抛物线的方程可得，即, 因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为， 则点坐标为,同理可得点坐标为, 因此直线的斜率为, 代入点坐标可以得到方程为, 整理可以得到,因此经过定点. 31．（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． (1)证明：数列都是等比数列； (2)记，求数列的前n项和； (3)证明：当时，直线都过定点． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求在点的坐标，得到数列的递推关系式，即可证明等比数列； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用错位相减法求和； （3）根据（2）的结果求点，的坐标，再求直线的直线方程，即可判断定点. 【详解】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得， 将点的坐标代入抛物线C的方程，有，                     过点的切线的方程为，代入，有，                             整理为，令，可得，有， 故数列是公比为的等比数列， 同理，数列也是公比为的等比数列； （2）由焦点，设直线的方程为， 联立方程消去y后整理为，有， 由数列是公比为的等比数列，有，                     有， 有，                     两边乘以，有， 两式作差，有， 有，可得； （3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为，                     直线的斜率为，                             直线的方程为，                     令，有， 故当时，直线过定点． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据导数的几何意义判断数列的递推关系式. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$