第17章 勾股定理 能力提升测试题2024-2025学年人教版数学八年级下册

第17章 勾股定理 能力提升测试题 考试范围：第17章 勾股定理；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13 2．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AF的长为（　　） A．6 B． C．8 D． （2题图） （4题图） （5题图） （6题图） 3．的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定是直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 4．如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（　　） A．米 B． 米 C．米 D．米 6．在中，，的垂直平分线交于，，等于（　　） A． B． C．3 D．6 7．在平面直角坐标系中，点在第三象限，点到轴的距离为3，到原点的距离为5，则点的坐标为 （　　） A． B． C． D． 8．如图：图形A的面积是(　　) A．225 B．144 C．81 D．无法确定 9．已知 的三边长分别为 ， 且 ， 则 是（　　） A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形 C．以 为斜边的直角三角形 D．等边三角形 10．如图，在矩形ABCD中，，点是CD的中点，连接AE，将沿直线AE折叠，使点落在点处，则线段CF的长度是（　　） A．1 B． C． D． （8题图） （10题图） （12题图） （13题图） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于　 　 cm2． 12．如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是　 　． 13．如图，在中，是的平分线，则的长为　 　. 14．如图，平分，于点，点在射线上，且．若，，，则的长为　 　 ． （14题图） （15题）图1 图2 15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若f直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”.已知，则图中阴影部分的面积为　 　. 三、解答题（共8题，共75分） 16．（9分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(3，1)，C(1，5)是三角形的三个顶点，求BC的长. 17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， （1）求作∠BAC的平分线，与BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）若CD=4，AB=15，求△ABD的面积． 18．（9分）如图，码头A，B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上，仓库C在海岛O的北偏东75°方向上，码头A，B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50km，若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度为25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据： ≈1.4， ≈1.7） 19．（9分）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ． （1）若，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中的长； （3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积． 20．（9分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求： （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？ 21．（9分）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． （2）在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． （3）若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 22． （10分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景在数轴上画出表示无理数的点． 如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是　 　． （2）应用场景解决实际问题． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 23．（11分）阅读理解： 材料1：平方差公式，当，时，有．在二次根式的一些运算或化简中，若能灵活运用公式，可使计算或化简变得简单． 如， 材料2：如图1，在中，，点是的中点，于交于，若，，求的值． 解：设，则，解得，． 问题解决： （1）化简：； （2）如图2，在中，，，若，求的值； （3）如图3，在等腰中，，，，则 ． 答案解析部分 1．D 2．D 3．A 4．A 5．A 6．C 7．D 8．C 9．C 10．C 11．24 12． 13．3 14．6 15．2 16．解：∵A（1，1），B（3，1），C（1，5）， ∴AC=5-1=4，AB=3-1=2， 在Rt△ABC中， . 17．（1）解：如图所示： AD即为所求 （2）解：过点D作DE⊥AB于点E，如图2所示： ∵AD平分∠BAC，AC⊥CD ∴DE=DC=4， ∴△ABD的面积= AB•DE= ×15×4=30． 18．解：如图延长CA交OM于K．由题意∠COK=75°，∠BOK=60°，∠AOK=45°，∠CKO=90°，∴∠KCO=15°，∠KBO=30°，OK=KA，∵∠KBO=∠C+∠BOC，∴∠C=∠BOC=15°，∴OB=BC=50（km），在Rt△OBK中，OK= OB=25（km），KB= OK=25 （km），在Rt△AOK中，OK=AK=25（km），OA=25 ≈35km，∴AB=KB﹣AK≈17.5（km），∴从A码头的时间= + =2.75（小时），从B码头的时间= + =3（小时），2.75＜3，答：这批物资在A码头装船，最早运抵海岛O 19．（1）解：由题意知，， ∴图1中两个正方形的面积之和为； （2）解：由题意知，，， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， ∴的长为4； （3）解：由题意知，，， ∵，， ∴，， 整理得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴的面积为1． 20．（1）解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t， ∴Rt△CPQ的面积为S= （20﹣2t）×2t=20t﹣4t2（cm2） （2）解：当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm， 在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PQ= =10cm 21．（1）点P的坐标为 （2） （3）当为等腰三角形时，点P的坐标为或． 22．（1） （2）解：设秋千绳索的长度为， 由题意可得， 四边形为矩形，，，，， ，， 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 23．（1） （2）； （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$