专题05 数列（七大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（湖南专用）

专题05 数列（七大题型） 一、等差、等比数列通项公式及前n项和 1．（2025·湖南邵阳·一模）若等比数列满足：，，则数列的公比 . 2．（2025·湖南长沙·一模）已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k= 3．（2025·湖南长沙·一模）设数列的前n项和为，若命题“数列为等差数列”，命题“对任意的，成等差数列”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2025·湖南长沙·一模）已知数列的通项公式为，是数列的前项和，则 . 5．（2025·湖南岳阳·一模）已知数列满足，则 . 6．（2025·湖南·一模）已知等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 7．（2025·湖南·一模）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． (1)若a，b，c是等比数列，求； (2)若，求． 二、数列与单调性 8．（2025·湖南·一模）已知数列满足，（，）.又数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列是严格增数列，求的取值范围. 9．（2025·湖南永州·一模）已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 三、数列中的最值问题 10．（2025·湖南衡阳·一模）已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 . 11．（2025·湖南·一模）在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为 . 12．（2025·湖南·一模）已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南·一模）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（   ） A． B． C． D．与均为的最大值 四、多选题综合 14．（2025·湖南衡阳·一模）已知一组样本数据：.其中，，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（    ） A．序列不可能既是等比数列又是等差数列 B．若成等比数列，和有组可能取值 C．若成等差数列，和有组可能取值 D．若该数据平均数是，则方差最小值为 15．（2025·湖南永州·一模）记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 五、裂项相消求和 16．（2025·湖南衡阳·一模）已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 17．（2025·湖南·一模）设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 六、错位相减求和 18．（2025·湖南·一模）在前项和为的等比数列中，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 七、数列新定义解答题 19．（2025·湖南·一模）已知数列是以2为公比的等比数列，且. (1)解不等式：. (2)数列中，定义：使为整数的数叫做期盼数.求区间[1，100]内的所有期盼数的和. 20．（2025·湖南·一模）将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． (1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； (2)计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； (3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 21．（2025·湖南·一模）“外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为： 第一项： 第二项：描述第一项为个 第三项：描述第二项为个个 第四项：描述第三项为个个个 第五项：描述第四项个个个． (1)求“外观数列”的第三项和第五项； (2)若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率； (3)证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 22．（2025·湖南邵阳·一模）已知正项数列（）的前项和为，且.当时，将进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，）. (1)当时，写出所有满足的数列； (2)试判断数列是否为等差数列，并加以证明； (3)当时，数列满足：是公差为且（且）的等差数列，求公差. 23．（2025·湖南·一模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”． (1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中e为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”； (2)若关于x的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”； (3)设正项数列是一个“对数性凸数列”证明：． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数列（七大题型） 一、等差、等比数列通项公式及前n项和 1．（2025·湖南邵阳·一模）若等比数列满足：，，则数列的公比 . 【答案】 【分析】由结合已知条件可求得的值. 【详解】因为等比数列满足：，， 则，解得. 故答案为：. 2．（2025·湖南长沙·一模）已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k= 【答案】6 【分析】根据等比中项结合等差数列的前n项和公式求出，再解方程，即可求得答案. 【详解】因为成等比数列，所以 ， 由于数列的通项公式为: ， 故是首项为1，公差为2的等差数列，且前项和为， 所以 ，所以 (舍去负值)， 所以 (舍去负值)， 故答案为：6 3．（2025·湖南长沙·一模）设数列的前n项和为，若命题“数列为等差数列”，命题“对任意的，成等差数列”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】运用等差数列定义性质证明充分性，构造满足但不满足的数列，说明不是必要条件. 【详解】若数列为等差数列，设其首项为，公差为. 则 ； ； 所以， 故对任意的，成等差数列， 即，所以p是q的充分条件； 构造数列： 即数列的通项， 该数列不是等差数列. 下面证明此数列满足对任意的，成等差数列. 当时，即，也即成等差数列，满足题意； 当，对任意时， ， 故当，对任意时，成等差数列； 当时，对任意时， ，， ， 由上可知 则 ，故， 故当时，成等差数列； 当，对任意时， ，， ， 由， 则 ，故， 当，对任意时，成等差数列； 综上所述，对任意正整数， 数列满足成等差数列，但不是等差数列. 故，所以p不是q的必要条件， 综上可知，是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是利用题意条件构造特殊数列，进而判断不必要性. 4．（2025·湖南长沙·一模）已知数列的通项公式为，是数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】设，根据所给通项求出，则，利用分组求和法计算可得. 【详解】因为， 设 ， 所以 . 故答案为： 5．（2025·湖南岳阳·一模）已知数列满足，则 . 【答案】； 【分析】由题意可得，可得，两式相减可求通项公式. 【详解】由，可得， 所以， 两式相减得， 所以， 当时，，所以，适合上式， 所以. 故答案为：. 6．（2025·湖南·一模）已知等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，得到，再利用等差数列的前项公式，即可求解. 【详解】（1）设公比为，因为， 所以，解得，所以的通项公式为. （2）由（1）知， 所以. 7．（2025·湖南·一模）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． (1)若a，b，c是等比数列，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得； （2）由（1）得，再借助角的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为a，b，c是等比数列，所以，有， 因为，，是等差数列，所以. 故. 所以． （2）由（1）的过程可知，若，则. 又由，得， 故． 二、数列与单调性 8．（2025·湖南·一模）已知数列满足，（，）.又数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列是严格增数列，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得. （2）由（1）求出数列的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得. 【详解】（1）当时，，即，亦即， 又，即，所以数列是等比数列. （2）由（1），，即，， 依题意，对任意的正整数成立， 即对任意的正整数成立， 而数列严格增，且对任意的正整数成立， 因此，又，解得， 所以的取值范围是. 9．（2025·湖南永州·一模）已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【答案】C 【分析】由值不定即可判断A；由题设求出和即可判断B；由求出即可求出判断C；由和即可判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立， 所以，但值不定， 所以若，则所有项不一定恒大于等于，故A错误； 对于B，若时，，，而，故B错； 对于C，若是常数列，则，即， 所以，故C正确； 对于D，由题， 因为，所以由递推关系可知，且，， 所以，.故D错误. 故选：C. 三、数列中的最值问题 10．（2025·湖南衡阳·一模）已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】降次作差得，构造数列，求出，则得到，作差构造新数列，再证明其单调性即可得到答案. 【详解】因为， 两式相减得：，即. 两边同除以可得， 又，得，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 即，所以， 因为， 令，则， 所以数列单调递增，因为， 所以当时，，即； 当7时，， 即.所以的最小值为7. 故答案为：7. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是作差得到，然后是构造等差数列，从而得到，最后作差并结合数列的单调性即可. 11．（2025·湖南·一模）在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为 . 【答案】17 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再由求出的各组值，计算比较得解. 【详解】在等差数列中，，解得，而，则， 数列的公差，则，由，得， 而，则或或或， 所以当时，的最小值为. 故答案为：17 12．（2025·湖南·一模）已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的关系求得数列的通项公式，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值. 【详解】当时，，当时，， 当时，适合上式，所以的通项公式为， 所以， 当为偶数时， 所以， 当为奇数时， 所以， 又因为不等式恒成立，所以，所以， 所以实数的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，坐而求得的最大值，进而求得实数的最小值. 13．（2025·湖南·一模）（多选）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（   ） A． B． C． D．与均为的最大值 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据数列各项均为正，得到，；C选项，由等比数列的性质及，得，，C错误；D选项，在ABC基础上得到，得到D正确. 【详解】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比， 又，，，，B正确； 又，故，即，A正确； C选项，由得，所以， 而，，因此，C错误； D选项，由上知， 先增后减，与均为的最大值，D正确． 故选：ABD 四、多选题综合 14．（2025·湖南衡阳·一模）已知一组样本数据：.其中，，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（    ） A．序列不可能既是等比数列又是等差数列 B．若成等比数列，和有组可能取值 C．若成等差数列，和有组可能取值 D．若该数据平均数是，则方差最小值为 【答案】AB 【分析】数据的顺序可以打乱，根据每一个选项的条件求解即可. 【详解】若为等比数列，由，可知若成等比公比小于，正负交替，而等差数列具单调性，相互矛盾，故不可能既是等比数列又是等差数列，A项正确； 若排列后成等比数列，设公比绝对值大于有： ①公比为，数列为，，，，， 数列为，，，，. ②公比为，数列为，，，，， 公比绝对值小于，对应同解，故，有组可能取值，B项正确； 由，，若，，，若排序后成等差数列，设公差大于有： ①公差，数列为，，，，； ②公差，数列为，，，，不符； ③公差，数列为，，，，不符； 公差小于，对应上述倒序排列，同解，故，有组可能取值，C项错误； 数据平均数是1，， 方差.D项错误； 故选：AB 15．（2025·湖南永州·一模）记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 【答案】CD 【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式求公比，可判断A；当时，，可判断B；先求数列的通项公式，再利用对数运算得数列的通项公式，判断为等差数列，利用前n项公式即可判断C；由指数函数与一次函数增长速度可判断D. 【详解】对于A，由题意，，又，则，解得或，故A错误； 对于B，当时，，则，，成等比数列不成立，故B错误； 对于C，由题意，，则，则， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以前n项和为，故C正确； 对于D，由题意，，则，， 因为呈指数增长，呈线性增长， 因此当足够大时，必有，故D正确. 故选：CD. 五、裂项相消求和 16．（2025·湖南衡阳·一模）已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，设数列满足，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，得到，进而得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且是与的等比中项，可得， 即，解得，所以， 又由， 可得. 故选：C. 17．（2025·湖南·一模）设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由得，相减可得递推公式，进而判断为等比数列，从而可得等比数列的通项公式； （2）根据题意计算可得数列的通项公式，进而通过裂项相消法可得前n项和. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，得，满足． 所以是首项为8，公比为4的等比数列，，． （2）因为， 所以． 所以. 故数列的前n项和为，. 六、错位相减求和 18．（2025·湖南·一模）在前项和为的等比数列中，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据等比数列的通项公式，由，可以计算得出等比数列的公比或，分别再由得，验证，是否符合，得到，得出数列的通项公式. (2)根据，得出的通项公式，错位相减得出. 【详解】（1）设数列的公比为， 由，得，所以，解得或， 若，则由，得，所以，与矛盾，所以， 若，则由，得，所以，，符合 ，所以，，所以. 故数列的通项公式为： （2）由， 两边乘以2得 ， 两式相减得：， 故数列的前项和. 七、数列新定义解答题 19．（2025·湖南·一模）已知数列是以2为公比的等比数列，且. (1)解不等式：. (2)数列中，定义：使为整数的数叫做期盼数.求区间[1，100]内的所有期盼数的和. 【答案】(1) (2)5047 【分析】（1）根据数列是以2为公比的等比数列，求得，从而得到，再利用错位相减法求得求解； （2）由，得到时，为整数，且求解. 【详解】（1）解：由题意可知数列是以2为公比的等比数列， 又，得， 即，得， 所以，则， 设， 所以， 两式相减，得， ， 得，所以， 解得不等式的解集为. （2）因为，所以 易得当时，为整数， 又， 故区间[1，100]内的所有期盼数的和为 20．（2025·湖南·一模）将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数． (1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合； (2)计算以下数列的逆序数． （ⅰ）； （ⅱ）； (3)已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数． 【答案】(1)，，，， (2)（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析 (3) 【分析】（1）根据逆序的定义求解即可； （2）（ⅰ）由数列为单调递减数列，即可得到逆序数； （ⅱ）当为奇数时，，当为偶数时，，由此分析，即可得逆序数； （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对，则有不构成逆序对，即可得到答案. 【详解】（1）由1，2，3，4构成的逆序对有，，，，，． 若第一个数为4，则至少有3个逆序对； 若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为； 若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或； 若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为或． 综上，符合条件的数列组合有： ，，，，． （2）（ⅰ）因为为单调递减数列， 所以逆序数为． （ⅱ）当为奇数时， 当为偶数时， ， 所以， 当为奇数时，逆序数为 ， 当为偶数时，逆序数为 ． （3）在数列，，…，中，若与后面个数构成个逆序对， 则有不构成逆序对， 所以在数列，，…，中，逆序数为 ． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 21．（2025·湖南·一模）“外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为： 第一项： 第二项：描述第一项为个 第三项：描述第二项为个个 第四项：描述第三项为个个个 第五项：描述第四项个个个． (1)求“外观数列”的第三项和第五项； (2)若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率； (3)证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 【答案】(1)第三项为第五项为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据外观数列的定义，逐步分析前一项数字的组成并进行描述得到下一项. （2）需要先找出所有可能的数列的第一项和第二项的情况，再根据概率的定义计算. （3）证明当m是六位数时，“m - 外观数列”从首项开始最多连续4项单调递减，需要根据外观数列的定义和六位数的特征进行分析推理. 【详解】（1）根据“外观数列”的定义得到，第三项为第五项为； （2）为一位数时，第项为两位数，不符合； 为两位数时，即为时，第二项为当大于时第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合； 为三位数时，即为时，第二项为第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合． 综上，总共有个数列符合，在所有数列中含的数有个，故总数为个，故第二项小于第一项的概率为． （3）证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第项为． 若只有一个数字串，即则.若则为位数若则两种都不存在连续项单调递减． 若只有两个数字串，即则 若则至少三个数字串至少是位数不存在连续项单调递减 若此时同理或否则 若则当时 当时两种都不存在连续项单调递减 若则 若则不符合题意 若则此时存在连续项单调递减 若只有三个数字串，即 若则至少四个数字串不存在连续项单调递减； 当时，同理或或； 若则同理或又时矛盾， 若与矛盾.若则 同理或又时矛盾，若则不存在连续项单调递减.同理可得和不存在连续项单调递减． 若有四个以上数字串，则不存在连续项单调递减所以当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减． 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 22．（2025·湖南邵阳·一模）已知正项数列（）的前项和为，且.当时，将进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，）. (1)当时，写出所有满足的数列； (2)试判断数列是否为等差数列，并加以证明； (3)当时，数列满足：是公差为且（且）的等差数列，求公差. 【答案】(1)2，4，1，3，5和2，5，3，1，4. (2)不可能是等差数列，证明见解析 (3). 【分析】（1）需要根据已知条件求出的表达式，再根据以及和或的条件来确定数列. （2）根据等差数列的定义判断数列是否为等差数列. （3）利用已知条件对分类讨论，设，求出范围，再根据是公差为的等差数列，求出，得到满足题意的. 【详解】（1），① 当时，，即，. 当时，，② 由①－②得：，即. ，，，即. 数列是以1为首项，1为公差的等差数列. . 由题意可得当且的数列为：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4. （2）数列不可能为等差数列，证明如下： 假设是等差数列，公差为， 当时，由题意知，或3，此时，. 不是等差数列中的项，与题意不符. 不可能是等差数列； 当时，由题意，或. 此时，. 不是等差数列的项，与题意不符. 不可能是等差数列. 综上所述，不可能是等差数列. （3）由题意，， 当时，，，与题意不符； 当时，记， 当时，， ， 记表示集合中元素的最小值，则. ，与题意不符； 当时，取此时数列满足题意. 综上所述，. 【点睛】知识点点睛：本题考查了由与的关系式求，考查了等差数列的证明方法和基本量的计算，考查了分析问题，逻辑推理，分类讨论方法，属于较难题. 23．（2025·湖南·一模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”． (1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中e为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”； (2)若关于x的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”； (3)设正项数列是一个“对数性凸数列”证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据的性质，由等量关系代换成关于的结论，紧扣定义，即可证明； （2）由原函数有三个零点，且导函数为二次函数，分析出导函数有两个零点，判别式大于零，推得；有三个零点，得到有三个零点，再次借助导函数的零点个数，可以得到，即可得证； （3）记，利用分析法，只需证，由数列为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可. 【详解】（1））因为，所以， 因为正项数列是一个“凸数列”， 所以，所以，所以， 所以数列是一个“对数性凸数列”. （2）因为有三个零点， 所以有两个不等实数根， 所以， 又，所以； 时，，所以不是的零点， 又， 令，则也有三个零点， 即有三个零点， 令，则有三个零点， 所以有两个零点， 所以， 因为， 所以正项数列对任意的相邻三项，都满足， 所以数列是一个“对数性凸数列”. （3）记，则要证， 即证， 即，即①， 因为数列为对数性凸数列，所以，， 所以，所以， ， 而， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 故式①成立，所以原不等式成立． 【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$