专题04 三角函数、恒等变换与解三角形（九大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（湖南专用）

专题04 三角函数、恒等变换与解三角形 （九大题型） 一、弦切互化 1．（2025·湖南·一模）已知角 的始边为 轴非负半轴，终边经过点 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·一模）设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 二、三角恒等变换 3．（2025·湖南·一模）终边上一点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、三角函数的图象与性质 5．（2025·湖南·一模）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为 . 6．（2025·湖南·一模）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．在上单调递增 D．在区间上的值域为 7．（2025·湖南·一模）已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南长沙·一模）已知函数，若在上有且仅有四个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南·一模）（多选）已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上恰有4个零点，则 D．当时，函数的值域为 10．（2025·湖南·一模）若函数的部分图象如图所示，且，则的最小正周期为 ，在上的零点个数为 ． 11．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D．满足条件的最小正整数为2 12．（2025·湖南·一模）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 13．（2025·湖南岳阳·一模）如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象 D．当时， 四、ω的取值范围 14．（2025·湖南·一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 15．（2025·湖南衡阳·一模）已知，且在单增，上单减，则 16．（2025·湖南·一模）设函数 ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 17．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 五、解三角形小题综合 18．（2025·湖南益阳·一模）在中，角，，所对的边依次为，，，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为钝角三角形 C．若．则的面积是 D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则 六、解三角形解答题求角 19．（2025·湖南·一模模）已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则 . 20．（2025·湖南·一模）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． (1)若a，b，c是等比数列，求； (2)若，求． 21．（2025·湖南·一模）记的内角，，的对边分别，，，已知． (1)求； (2)设是边中点，若，求． 七、解三角形解答题求边长 22．（2025·湖南益阳·一模）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，面积为，求的值. 23．（2025·湖南长沙·一模）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 24．（2025·湖南邵阳·一模）已知在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，点D在边BC上，且，求的值. 八、解三角形解答题求周长 25．（2025·湖南·一模）记的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)设的中点为，若，且，求的周长． 26．（2025·湖南·一模）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 九、解三角形解答题求面积 27．（2025·湖南娄底·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 28．（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. (1)求； (2)求的面积. 29．（2025·湖南岳阳·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积． 30．（2025·湖南·一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，点D在边AB上，，.求的面积. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角函数、恒等变换与解三角形 （九大题型） 一、弦切互化 1．（2025·湖南·一模）已知角 的始边为 轴非负半轴，终边经过点 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值． 【详解】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点， ∴， 则. 故选：D 2．（2025·湖南长沙·一模）设是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 二、三角恒等变换 3．（2025·湖南·一模）终边上一点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用两角和与差的余弦公式求解值，判断选项. 【详解】由终边上一点坐标为，则， 则. 故选：D. 4．（2024·河南·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和与差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，结合拆角计算即可. 【详解】由，可得， 即，可得， 所以. 故选：B. 三、三角函数的图象与性质 5．（2025·湖南·一模）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为 . 【答案】1 【分析】先根据向左平移得出的解析式，再求函数值即可. 【详解】由已知得， 所以. 故答案为：1. 6．（2025·湖南·一模）（多选）已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（    ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．在上单调递增 D．在区间上的值域为 【答案】BCD 【分析】根据辅助角公式可得，由周期得，进而代入验证即可求解AB，利用整体法即可求解CD. 【详解】，由于最小正周期为，故，故， 对于A, ,故的图像关于点对称，A错误， 对于B，，的图像关于直线对称，故B正确， 对于C，当时，，故在上单调递增，C正确， 对于D，时，，故，故，D正确， 故选：BCD 7．（2025·湖南·一模）已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的零点情况，求出的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解. 【详解】由函数在有且仅有两个零点， 得，解得，则， 又，而，当时，，， 由，得，当时，， 即函数在有3个零点，不符合题意， 因此是函数图象的一条对称轴，即，解得， 当时，，当时，，均不符合题意； 当时，，得，则图象的对称轴为. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及三角函数在指定区间上的零点个数求参数范围，利用五点法作图思想分析周期情况是解题的关键. 8．（2025·湖南长沙·一模）已知函数，若在上有且仅有四个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式可得，作出的图象，结合图形即可求解. 【详解】， 作出的图象，如图所示，    结合图形可知，若在上有且仅有4个不等的实数根， 则且， 即的取值范围为. 故选：D 9．（2025·湖南·一模）（多选）已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上恰有4个零点，则 D．当时，函数的值域为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据函数周期分析判断；对于B：根据函数最值分析判断；对于C：令，可得，以为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：整理可得，结合正切函数分析求解. 【详解】对于选项A：因为， 由图象可知：函数的最小正周期， 且，则，解得，可得，故A正确； 对于选项B：由图可知：当时，函数取到最大值， 则， 整理可得，解得， 则， 所有为偶函数，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为，则， 若在上有4个零点， 则，解得，故C正确； 对于选项D：因为， 又因为，则，可得， 所以函数的值域为，故D错误； 故选：ABC. 10．（2025·湖南·一模）若函数的部分图象如图所示，且，则的最小正周期为 ，在上的零点个数为 ． 【答案】 350 【分析】对于求函数的最小正周期，有公式，我们需要根据已知条件求出的值.再令，即，解出，再根据区间确定个数. 【详解】令，得，则． 令，得，则． 令，得，则． 因为，所以，解得． 所以的最小正周期为． 当时，， 令，得， 所以在上的零点个数为350． 故答案为： 11．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D．满足条件的最小正整数为2 【答案】ABD 【分析】观察函数图象，确定函数的周期，由此可求，判断A，再结合时，函数取最大值，列方程求，根据正弦函数的单调性求的单调递减区间，判断B，根据函数图象变换结论，判断C，先求，化简不等式可得范围，解不等式确定的范围，判断D. 【详解】设函数的周期为， 观察函数图象可得，， 所以，又， 所以，A正确， 因为时，函数取最大值，， 所以，， 所以，故， 由， 可得， 所以函数的单调递减区间为，B正确， 函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，C错误， 因为， 所以， ， 所以可化为， 所以或， 由可得，，所以， 即， 取可得，取可得， 由可得，，所以， 即， 取可得， 所以满足条件的最小正整数为2，D正确， 故选：ABD. 12．（2025·湖南·一模）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．的表达式可以写成 D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则 【答案】ABD 【分析】根据函数图象过，，建立方程组求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】由函数图象可知，， 因为在，附近单调递增， 所以，，， 又因为，所以，， 所以，A说法正确； 当时，， 所以由在单调递减可知在上单调递减，B说法正确； 因为，所以C说法错误； 令得，解得或， 方程在上有且只有4个实数根，从小到大依次为， 而第5个实数根为，所以，D说法正确； 故选：ABD 13．（2025·湖南岳阳·一模）如图，直线与函数的部分图象交于三点（点在轴上），若，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象 D．当时， 【答案】AD 【分析】对A，根据过判断即可；对B，由相邻可得，，再根据求解；对C，由的函数解析式与平移变化分析即可；对D，根据正弦函数的值域判断即可. 【详解】对A，由过可得，即，由图结合可得，故A正确； 对B，由可得，即或， 由相邻可得，， 故，又，则，可得，故B错误； 对C，由AB可得，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，故C错误； 对D，当时，，故， 则，故D正确. 故选：AD 四、ω的取值范围 14．（2025·湖南·一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据“左加右减，上加下减”求出函数的解析式，再利用函数的单调性即可求出的最大值. 【详解】由题可知，， 时，． 因为在区间上单调递减，所以，所以， 的最大值为5． 故选：B 15．（2025·湖南衡阳·一模）已知，且在单增，上单减，则 【答案】 【分析】根据，求出，在单增，上单减求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，因为在单增，上单减， 所以是的最大值点，所以， 所以，因为在单增，上单减， 所以单调区间长度大于等于，所以， 且，所以，所以. 故答案为：. 16．（2025·湖南·一模）设函数 ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据变换法则得，则，取计算即可，确定，根据零点个数得到，解得答案. 【详解】由题意可得， 因为的图像关于原点对称，所以，即， 当时，； 若，则，有且仅有两个零点， 则，解得，故的取值范围为. 故答案为：（答案不唯一）； 17．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解. 【详解】， 令，得. ，. 令，由的图象得： ，化简得. 故选：D.    五、解三角形小题综合 18．（2025·湖南益阳·一模）在中，角，，所对的边依次为，，，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为钝角三角形 C．若．则的面积是 D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则 【答案】BD 【分析】由正弦定理可得，设，，，即可判断A，利用余弦定理求出，即可判断B，结合A求出边，再结合B求出，最后由面积公式判断C，首先由正弦定理求出，利用等面积法求出，即可判断D. 【详解】因为， 由正弦定理，可得， 设，，， 则，故A错误； 由题意可知，为最大角， 因为，故为钝角，故B正确； 若，则，，， 又，所以， 所以的面积，故C错误； 由正弦定理得，，即， 由面积公式可得， 即， 所以， 所以，故，故D正确． 故选：BD． 六、解三角形解答题求角 19．（2025·湖南·一模模）已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则 . 【答案】 【详解】由题， 由正弦定理可得：  ③ 由正弦定理，故， 由余弦定理： 代入得： 所以，故. 故答案为：. 20．（2025·湖南·一模）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． (1)若a，b，c是等比数列，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得； （2）由（1）得，再借助角的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为a，b，c是等比数列，所以，有， 因为，，是等差数列，所以. 故. 所以． （2）由（1）的过程可知，若，则. 又由，得， 故． 21．（2025·湖南·一模）记的内角，，的对边分别，，，已知． (1)求； (2)设是边中点，若，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及辅助角公式求解. （2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量数量积的运算律及正弦定理求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得，又， 则，而， 化简得，即，而，因此， 所以. （2）在中，由，得，， 由正弦定理，得，由是边中点，得， 则，因此， 在中，由正弦定理，得. 七、解三角形解答题求边长 22．（2025·湖南益阳·一模）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，可得，得，则，即可求得； （2）由面积为，利用三角形面积公式可得，由余弦定理得，即，则可求得的值. 【详解】（1）由正弦定理得，， 又， ， ，， ， ， ，. （2）面积为， ， ， ，， 由得， 即， . 23．（2025·湖南长沙·一模）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合余弦定理角化边得，接着由余弦定理即可得解. （2）先由和求出角，接着由正弦定理形式的面积公式求出，再由余弦定理 即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理可得，整理得.     所以由余弦定理可得， 又，所以. （2）因为，， 所以， 即，         又，故，则， 所以，所以.       所以，所以，   所以在中，，，由余弦定理可得 ，即. 24．（2025·湖南邵阳·一模）已知在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，点D在边BC上，且，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据余弦定理可求； （2）根据角的关系可得，求出后者后可得比值. 【详解】（1）， . 即. 由正弦定理得：， ， ，. （2）易知， ，，， ，，. . 的值为. 八、解三角形解答题求周长 25．（2025·湖南·一模）记的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)设的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理结合可以得到，进而得到； （2）在和中分别利用余弦定理，结合，可以求得的值，进而得到的周长. 【详解】（1）由得， 由正弦定理可得，， 因为， 所以， 代入上式，整理得， 又因为，，所以， 又因为，解得. （2）在中，由余弦定理得， 而，，所以①， 在中，由余弦定理得②， 由①②两式消去a，得，所以， 又，解得，．， 所以的周长. 26．（2025·湖南·一模）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可求的值； （2）已知条件结合三角形面积公式化简求出，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得，由，得，可求周长的取值范围． 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得：， 由余弦定理知：，， 可得， 则有，由，解得. （2） 中由余弦定理知，又在中有， ∴，化简得， ∵，∴. 又，由正弦定理得：，， ， 因在中，，，， 所以，当时，等号成立， ∴周长的取值范围是． 九、解三角形解答题求面积 27．（2025·湖南娄底·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 28．（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合，辅助角公式得到，从而求出； （2）根据和余弦定理得，结合，得到，根据求出，由三角形面积公式求出答案. 【详解】（1），利用正弦定理可得 ， 又， 故， 即， 因为，所以，故， 由辅助角公式得， 又，故， 即，所以； （2），故， 由余弦定理得， 由为中点，化简得， ，故， 又，所以， 又，故， 将代入上式得，即， 解得，负值舍去， 则的面积为 29．（2025·湖南岳阳·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求； （2）由，可得，结合余弦定理可得，可求的面积. 【详解】（1）∵，∴由正弦定理可得， ∴， 整理得：， ∴， 由于， 所以； （2）∵的角平分线AD与边BC相交于点D， ∴，∴， ∴， 在中，由余弦定理可得， ∴，解得或（舍去）． ∴的面积． 30．（2025·湖南·一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，点D在边AB上，，.求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据正弦定理求解即可； (2)利用二倍角公式求解即可； (3)利用向量数量积运算求出b，利用面积公式即可求解； 【详解】（1）由，得, 又因为， 所以，， 即. （2）若，则， 则, 则; （3）由， 所以， 由（1）知，所以，所以在直角三角形中，， 如图 因为，所以, 平方得， 则， 所以直角三角形的面积. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$