专题03 导数及其应用（七大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（湖南专用）

专题03 导数及其应用（七大题型） 一、切线方程与相切问题 1．（2025·湖南·一模）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳·一模）已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 二、极值与最值问题 3．（2025·湖南·一模）若函数在处有极小值，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2025·湖南·一模）已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 . 5．（2025·湖南·一模）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 6．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 7．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 8．（2025·湖南长沙·一模）已知函数，其中. (1)若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值； (2)若是的极小值点，证明:. 三、构造函数与构造函数比大小 9．（2025·湖南长沙·一模）设，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南邵阳·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（） A． B． C． D． 11．（2025·湖南衡阳·一模）设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集是  （     ） A． B． C． D． 四、恒成立问题 12．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·湖南·一模）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 15．（2025·湖南长沙·一模）已知，其中，. (1)若与相切，求实数的值； (2)当时，证明：； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 五、零点与方程的根 16．（2025·湖南·一模）已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 . 18．（2025·湖南·一模）设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 19．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程. (2)若有两个零点，求a的取值范围. 20．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求实数的取值范围. 21．（2025·湖南·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 22．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论曲线与曲线的交点个数． 23．（2025·湖南长沙·一模）已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 24．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，当时，求的极值点个数； (3)令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 六、多选题综合 25．（2025·湖南益阳·一模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．若时，，则t的最大值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 26．（2025·湖南益阳·一模）已知函数，对于任意实数，，下列结论成立的有（    ） A． B．函数在定义域上单调递增 C．曲线在点处的切线方程是 D．若，则 27．（2025·湖南·一模）已知函数是的导函数，则（    ） A．“”是“为奇函数”的充要条件 B．“”是“为增函数”的充要条件 C．若不等式的解集为且，则的极小值为 D．若是方程的两个不同的根，且，则或 七、高阶背景与新定义 28．（2025·湖南邵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（   ） A． B．（精确到小数点后两位） C． D．当时， 29．（2025·湖南·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图像上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. (1)若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； (2)设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； (3)已知，若函的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数及其应用（七大题型） 一、切线方程与相切问题 1．（2025·湖南·一模）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 联立可解得，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为. 故选：C. 2．（2025·湖南邵阳·一模）已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】先利用导数的几何意义求出在处的切线方程，与抛物线方程联立，利用求出的值，再验证可得答案. 【详解】，， 所以曲线在点处的切线为：，即． 联立与，得，依题意可知，所以或1． 当时，不是抛物线，舍去． 故选：C 二、极值与最值问题 3．（2025·湖南·一模）若函数在处有极小值，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】对函数求导并根据处有极小值可解得，经检验符合题意. 【详解】由函数可得， 函数在处有极小值，可得，解得． 当时，， 当时，时， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以在处有极小值，符合题意．所以． 故选：C． 4．（2025·湖南·一模）已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 5．（2025·湖南·一模）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求函数的解析表达式； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）求导，由求得的值，得解； （2）利用导数判断单调性，求出极值. 【详解】（1）根据题意，，则， 解得， . （2）由（1）， 令，解得或， 令，解得， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 6．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的极值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，根据化简后的解析式以及求导可得其单调性； （2）由函数解析式明确定义域，并判断其奇偶性，利用导数与极值的关系以及分类讨论，可得答案. 【详解】（1）由，则函数，易知其定义域为， 由，则函数为偶函数， 当时，，显然当时，函数在上单调递增， 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减. （2）由时，则函数，可得，解得或， 所以函数的定义域为，由（1）易知函数为偶函数， 当时，则函数， 当时，函数在上单调递增，此时无极值； 当时，求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为， 由函数为偶函数，则函数的极大值为， 综上，当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值. 7．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则， 可得，，即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为. （2）定义域为，且， 若，则对任意恒成立． 所以在上单调递减，无极值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 可知在上单调递减，上单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即. 令，，在上单调递增, 又，不等式等价于，解得, 又，综上的取值范围是． 8．（2025·湖南长沙·一模）已知函数，其中. (1)若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值； (2)若是的极小值点，证明:. 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与两坐标轴所围成三角形的面积列方程求参数即可； （2）对函数求导，根据易知可得，应用分析法转化为证明，构造且，问题化为，导数研究函数最值可得，应用反证法证明时得到矛盾结论，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则， 所以在点处的切线为， 令，则；令，则， 所以切线与两坐标轴所围成三角形的面积，可得. （2）由（1），且，，， 由是的极小值点，则且，可得， 要证，即，需证，即， 令且，只需证，而， 所以当时，，当时，， 所以上单调递减，上单调递增，故， 综上，只需，即即可， 若，则，故， 此时，且， 对于，则，显然时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，故单调递增，无极小值，不符合题设； 综上，，故得证. 三、构造函数与构造函数比大小 9．（2025·湖南长沙·一模）设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由的单调性可知，所以，再由可得，所以，即可得出答案. 【详解】构造函数，的定义域为， ，令可得：，令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故，即， 变形可得，即，所以； 又，所以，又因为， 所以，综上，， 故选：B． 10．（2025·湖南邵阳·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小. 【详解】令，， 当时，，，，单调递增， ，即，，即； 令， ， 令， 令，， 当时，，单调递增， ， 在上单调递减，， ，在上单调递减， ，即， 综上所述. 故选:C. 11．（2025·湖南衡阳·一模）设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集是  （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，即，由函数单调性和奇偶性可得到，解得即可． 【详解】令， 可知的定义域为，且， 因为，则， 可得，故为偶函数， 当时，，即， 可知在上为增函数， 对于不等式， 可得，即， 由函数单调性和奇偶性可知：，解得， 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于构建，分析其奇偶性和单调性，根据函数性质解不等式. 四、恒成立问题 12．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性比较三个数的大小. 【详解】构造函数， 则，故函数在上递增， 所以, 又，，， 所以， 又是偶函数，则 ， 所以，，，. 故选：B. 13．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先转化问题为在上恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，，再构造函数，，进而结合导数求解即可. 【详解】因为，所以， 因为当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 可以转化为在上恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即，. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，又，，显然， 所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将问题转化为在上恒成立，再结合导数进行求解即可. 14．（2025·湖南·一模）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定函数定义域，求出导函数，利用导数正负，可得函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（1）分离参数，将问题转化为在上恒成立，令，利用导数研究在上的最大值即可得到答案. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 令，解得：， 令，解得： 所以的单调增区间为，单调减区间为， 则 （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立， 令， 则， 令，解得：， 令，解得： 所以的单调增区间为，单调减区间为， 则， 所以， 所以不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 15．（2025·湖南长沙·一模）已知，其中，. (1)若与相切，求实数的值； (2)当时，证明：； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求导函数再应用切线斜率为1，计算求参； （2）先把证明的不等式转换，再构造函数，根据函数单调性计算证明不等式； （3）分两种情况分类讨论是否符合不等式恒成立即可求参. 【详解】（1）设，则，， 若与相切，设切点为， 则，又，则，从而，即，即. （2）设，则，当时，， 依题意，当时，要证，即证，当时，即证. 设，，则，当时，，单调递增， 则当时，，即，从而， 当时，，即，从而， 综上可知，当时，. （3）不等式即，令，令，，， 由，不妨设，， 其中，，. （ⅰ）当时，由（2）可知单调递增，故，则，即单调递增，符合题意； （ⅱ）当时，由，令，则， ①当时，，则恒成立，故单调递减，即， 即，故单调递增，从而，符合题意； ②当时，，故有两个根， 因此当时，，单调递增，则， 即，故在区间上单调递减，从而，不合题意. 综上可知，或，即. 【点睛】关键点点睛:解题的关键点是构造，结合导函数判断函数单调性，分两种情况分别证明不等式即可 五、零点与方程的根 16．（2025·湖南·一模）已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 17．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案. 【详解】当时，则，令， 求导可得，令，解得，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 由函数的极大值为，则存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 当时，，令， 求导可得，显然上， 则函数在上单调递减， 当时，，当时，， 由，则函数在上存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点， 当时，，令， 令，整理可得， 当方程有两个相等的实数解时，，解得， 此时，符合题意， 当方程在有一个实数根时，可得，解得， 综上可得. 故答案为：. 18．（2025·湖南·一模）设函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）由可得，令，其中，由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， ，令，可得， 由，可得；由，可得， 故当时，函数的增区间为，减区间为. （2）当时，由可得， 令，其中， 由题意可知，直线与函数在上的图象有两个公共点， ， 令，则与同号， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，，此时，，此时函数单调递减， 当时，，此时，，此时函数单调递增， 所以，， 又因为，，显然，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个公共点， 因此，实数的取值范围是. 19．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程. (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求导后，分别在、和的情况下，求得单调性和最值，结合零点存在定理可确定符合题意的取值范围. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为R，求导得， ①当时，恒成立，函数在上单调递增，至多有一个零点，不合题意； ②当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，，则，则至多有一个零点，不合题意； 当时，，则，而，则在上有唯一零点； 由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 当时，，即， 当时，，在上有唯一零点； 因此当时，有两个不同零点， 所以实数的取值范围为. 20．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程即可； （2）利用给定条件求出，再转化为交点问题求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 令，则，. 故，，即切点为， 所求切线方程为，即. （2）由题意得， 当时，，故函数没有零点； 当时，令，得. 令，则，， 因为有2个零点，所以和有2个交点， 令，. 令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，当时，；当时，； 当时，；当时，且. 实数的取值范围为. 21．（2025·湖南·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性. （2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，即， ①当时，，恒成立，在R上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在R上单调递减，在R上至多一个零点，不满足条件， 当时，，令， 则， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 于是，函数在R上单调递增，而， 则当时，，当时，，当时，， ①若，则，故恒成立，无零点； ②若，则，仅有一个实根，不满足条件； ③若，则， 注意到，， 于是在上有一个实根，又， 且 ， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 则，又，即，则有， 即，于是在上有一个实根， 又在上单调递减，在上单调递增，因此在R上至多两个实根， 又在及上均至少有一个实根，则在R上恰有两个实根， 所以时，在R上恰有两个实根. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 22．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论曲线与曲线的交点个数． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程， （2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解. 【详解】（1）依题意，，故， 而，故所求切线方程为，即． （2）令，故， 令， ，令， ． ①当时，， 在上为减函数，即在上为减函数， 又， 在上有唯一的零点，设为，即． 在上为增函数，在上为减函数． 又 ， 在上有且只有一个零点，在上无零点； ②当时，单调递减， 又， 在内恰有一零点； ③当时，为增函数， ， 单调递增，又，所以存在唯一， 当时，递减；当时，递增，， 在内无零点．综上所述，曲线与曲线的交点个数为2． 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 23．（2025·湖南长沙·一模）已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）将代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值； （2）（i）化简函数的解析式，令，问题可转化为在有2个零点，，再利用导数研究函数的性质即可得出答案； （ii）等价于证明，再利用极值点偏移法即可得证． 【详解】（1）时，， ， 令， ，；，， 在单调递减，单调递增， 时，，，则， ，，时，， 时，；，， 在单调递减，在单调递增， 的极小值为，无极大值. （2）（i），， 令，， ，在单调递增， 令，即在有2个零点，，且，， ， 时，，在单调递增，不存在2个零点， ， 时，；时，， 在单调递减，在单调递增， 时，；时，， ，. （ii）设，，， 由（i）知，，即证：，即证：， ，，在单调递增， 即证：， ，， 令，， 即证：，， 令，， ，在单调递减，， ，在单调递增，， 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 24．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，当时，求的极值点个数； (3)令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)两个极值点. (3)或 【分析】（1）求导，利用一次型含参讨论求得单调性； （2）求导，求的极值点个数即为求的变号零点个数； （3）求导，整理得，易知，为一个零点， 分和分类讨论. 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上单调递增 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）， 令 当时，时单调递减， 时，单调递增，， 又时，， 所以分别在和上存在唯一的变号零点， 即有两个极值点. （3）， 又为一个零点， ①若，则在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点. ②若，令 又，则，即单调递增， i.当时，即，当时，单调递减； 当时，单调递增，的最小值为，函数只有一个零点. ii.当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增. 又时，，所以有两个零点. iii.当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 又时，，所以有两个零点. 所以，有且仅有两个零点时，或. 【点睛】思路点睛：研究函数的零点问题，可以通过转换、求导研究函数的单调性、最值，借助零点存在定理求解. 六、多选题综合 25．（2025·湖南益阳·一模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．若时，，则t的最大值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 【答案】BCD 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，以及时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确. 故选：BCD. 26．（2025·湖南益阳·一模）已知函数，对于任意实数，，下列结论成立的有（    ） A． B．函数在定义域上单调递增 C．曲线在点处的切线方程是 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对函数求导，判断其单调性，再求出最值，以及在某点处的切线方程,判定ABC,构造新函数，借助导数研究最值判定D即可. 【详解】对A，对求导， 令，即，解得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 所以函数在处取得最小值，即，所以，A选项正确. 对B，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B选项错误. 对C，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C选项正确. 对D，因为，则. 则. 令则， 则在单调递增.故. 即，即.D选项正确. 故选：ACD 27．（2025·湖南·一模）已知函数是的导函数，则（    ） A．“”是“为奇函数”的充要条件 B．“”是“为增函数”的充要条件 C．若不等式的解集为且，则的极小值为 D．若是方程的两个不同的根，且，则或 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确． 【详解】对于A中，当时，函数，则满足， 所以为奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则， 则恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确； 对于B中，当时， ，可得，所以为增函数； 由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，由，若不等式的解集为且， 则在上先增后减再增，则，解得， 故，可得， 令，解得或， 当内，，单调递增； 当内，，单调递减； 当内，，单调递增， 所以的极小值为，所以C正确． 对于D中，由，因为是方程的两个不同的根， 所以，即，且， 由，可得，所以，即， 联立方程组，可得，解得或，所以D正确． 故选：ACD． 七、高阶背景与新定义 28．（2025·湖南邵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（   ） A． B．（精确到小数点后两位） C． D．当时， 【答案】BD 【分析】利用特殊角的函数可以估算并判断AC选项，利用泰勒展开式可以计算并估计B选项，利用导数可以来证明并判断D选项. 【详解】由，，则有，故A选项错误． 由，则， 又（精确到小数点后两位），故B选项正确． ，，则有，故C选项错误． 当时，令，则，， 所以在上为增函数，则， 所以在上为增函数，则， 故当时，恒成立，即．故D选项正确． 故选：BD. 29．（2025·湖南·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图像上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. (1)若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； (2)设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； (3)已知，若函的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 【答案】(1)是函数的“类数”，不是函数的“类数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合题目给的新定义，判断是否满足点在导函数图像上，且满足即可； （2）结合题目给的条件有存在，使得且，分析出当不成立，结合零点存在定理知，必存在使，从而得到存在零点，得到； （3）对求导，然后先证明，再证明，从而得到时，函数的“类集”为，同时得到也成立，从而得到的最大值是. 【详解】（1）， 是函数的“类数”； ， ， 不是函数的“类数”. （2）函数的“类集”为集合，且， 存在，使得且， 若，则， 函数的图像是连续不断的， 不妨设，由零点存在定理知，必存在使， 存在零点，即； （3）， ， 先证明； 函数的“类集”为， 对任意， 令，则， 函数的值域为， 当时，必有， 即对于恒成立， 函数的最小正周期应有，即，则. 再证明，此时，对于任意， 当时，，则， 当时，，则， 时，函数的“类集”为，即， 我们不难发现，上述过程中令也成立， 因此的最大值是. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题． 第一、准确转化．解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义，紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化． 第二、方法的选取．对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的角度进行转化，理解题目定义的本质并进行推广、运算． 第三、应该仔细审读题目．严格按新信息的要求运算．解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$