专题02 函数及其基本性质与函数应用（十大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（湖南专用）

专题02 函数及其基本性质与函数应用（十大题型） 一、函数的定义域及值域 1．（2025·湖南·一模）设集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求函数的值域和函数的定义域，即得集合，从而可确定选项. 【详解】由，，可得，则，故， 又由有意义，可得，即得，故， 则显然有. 故选：C. 2．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】. 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 二、函数的单调性 3．（2025·湖南永州·一模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次函数性质结合题意列出关于的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以. 故选：A. 4．（2025·湖南·一模）已知则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断在上的单调性，将不等式等价于，由一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】，可得当时，单调递减，当时，单调递减，且时函数连续，则在上单调递减， 不等式，可化为，即， 解得：，则原不等式的解集为：， 故选：A 5．（2025·湖南衡阳·一模）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，再由可得答案. 【详解】∵在上单调递增，∴，∴， 所以， ∵，， ∴，，∴. 故选：B. 三、函数的奇偶性 6．（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以. 故选：B. 四、函数的单调性、奇偶性综合 7．（2025·湖南·一模）已知函数，若，，且，则的最小值是 【答案】8 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 8．（2025·湖南·一模）（多选）已知函数满足对任意，都有，则（    ） A． B．可能是增函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】取计算可判断AB；用代换可得，进而可得可判断D；取，可求得可判断D. 【详解】令，得，解得， 代入，得，所以A正确，B错误； 用替换中的，得， 用替换中的，得， 所以，故D正确； 中，取得，取得， 所以，故C正确. 故选：ACD. 五、函数的奇偶性、对称性、周期性综合 9．（2025·湖南永州·一模）函数是定义在上的偶函数，且，若，，则 ． 【答案】 【分析】推导出函数为周期函数，且为该函数的一个周期，再利用周期性可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且， 则，即， 所以，函数为周期函数，且为该函数的一个周期， 当时，，则. 故答案为：. 10．（2025·湖南·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和. 【详解】根据题意，定义在上的函数满足 则，故函数为周期函数，4是函数的一个周期. 因是上的奇函数，则，的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 六、函数的图象及其应用 11．（2025·湖南邵阳·一模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件结合函数的不等式求解即可. 【详解】绘制出的图像， 当时，，当时，. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 12．（2025·湖南·一模）函数的图象大致为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 七、函数的零点及方程的根 13．（2025·湖南·一模）已知函数与的图象恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】构造函数并探讨奇偶性，由有唯一零点求出，再验证即可. 【详解】令函数，其定义域为R， ，函数为偶函数， 由函数与的图象恰有一个交点，得有唯一零点， 因此，即，解得，， 当时，， 令函数，，函数在上单调递增， ，则当时，，函数在上递增，在上递减， 所以函数有唯一零点，. 故选：A 14．（2025·湖南·一模）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得分别为函数与的交点，作出三个函数的图象，由图象可得，再由，可得，即可得答案. 【详解】令，则， 令，则， 则由题意得分别为函数与的交点， 作出三个函数图象如图所示，    由图可得，所以， 由题意得，则， 所以，即， 所以. 故选：A 八、恒成立问题 15．（2025·湖南·一模）对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用分离常数法求出，然后求出最值，再根据恒成立条件即可得 【详解】由题意可知，恒成立， 当时，恒成立， 当时，， 而，当且仅当时，等号成立，所以； 综上所述：. 故答案为： 16．（2025·湖南·一模）已知函数，若对 恒成立，则（    ） A． B．16 C． D．4 【答案】B 【分析】分别代入解析式，求出即可. 【详解】当，则， ， 由于，则，则；经检验适合题意. 故. 故选：B 17．（2025·湖南邵阳·一模）（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．当时，为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．当时，， D．若，，则 【答案】ACD 【分析】利用奇函数、轴对称的定义判断AB；取值计算判断C；分离参数构造函数，结合不等式性质判断D. 【详解】对于A，当时，， ，函数是奇函数，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，，C正确； 对于D，由，得， 令，， 而，，且均在时取等号，则，， 因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 九、函数与解析几何综合 18．（2025·湖南·一模）（多选）设，已知函数（    ） A．在上单调递减 B．当时，存在最小值 C．设，则 D．设，若存在最小值，则 【答案】BCD 【分析】对于A：取，画图即可判断，对于B，由函数单调性即可判断；对于C,数形结合即可判断，对于D：先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，分析可解. 【详解】对于A，取，画出函数图象， 可知在不是单调递减；故A错误； 对于B：对于B，当时， 当时，； 当时，显然取得最小值； 当时，， 综上：取得最小值，故B正确； 对于C，结合图像， 易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，，故C正确； 依题意，， 当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线； 当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴下方的图象（即半圆）； 当时，，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线； 因为， 结合图象可知，要使取得最小值，则点在上， 点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则， 故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然要保证在上，才能满足取得最小值， 所以只需，即都可满足题意，保证， 否则无最小值，故.D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D选项，解决的关键求出，且上，从而可得的取值范围. 十、函数新定义 19．（2025·湖南·一模）对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数的定义可得可取，即可得到的取值范围. 【详解】由题知：可取， 若.则， 即集合，得，即的取值范围为. 故答案为： 20．（2025·湖南·一模）设表示不大于的最大整数，如，，若正数a满足，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据的定义进行分析，由此列不等式来求得的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】因为， 所以该式的前15项都为0，后4项都为1， 所以， 所以，即， 得， 因为，所以， 所以，故. 故选：C. 【点睛】思路点睛： 首先根据和式的结果分析每一项的取值情况，列出关于变量的不等式，然后解不等式得到变量的取值范围，若取值范围涉及到指数形式，通过计算近似值进一步精确范围，最后根据变量的取值范围求出所求式子的值. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数及其基本性质与函数应用（十大题型） 一、函数的定义域及值域 1．（2025·湖南·一模）设集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 二、函数的单调性 3．（2025·湖南永州·一模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·一模）已知则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南衡阳·一模）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 三、函数的奇偶性 6．（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 四、函数的单调性、奇偶性综合 7．（2025·湖南·一模）已知函数，若，，且，则的最小值是 8．（2025·湖南·一模）（多选）已知函数满足对任意，都有，则（    ） A． B．可能是增函数 C． D． 五、函数的奇偶性、对称性、周期性综合 9．（2025·湖南永州·一模）函数是定义在上的偶函数，且，若，，则 ． 10．（2025·湖南·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 六、函数的图象及其应用 11．（2025·湖南邵阳·一模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·湖南·一模）函数的图象大致为（    ）. A． B． C． D． 七、函数的零点及方程的根 13．（2025·湖南·一模）已知函数与的图象恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 14．（2025·湖南·一模）已知函数的零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 八、恒成立问题 15．（2025·湖南·一模）对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 16．（2025·湖南·一模）已知函数，若对 恒成立，则（    ） A． B．16 C． D．4 17．（2025·湖南邵阳·一模）（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．当时，为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．当时，， D．若，，则 九、函数与解析几何综合 18．（2025·湖南·一模）（多选）设，已知函数（    ） A．在上单调递减 B．当时，存在最小值 C．设，则 D．设，若存在最小值，则 十、函数新定义 19．（2025·湖南·一模）对于非空集合，定义函数已知集合，若存在，使得，则实数的取值范围为 . 20．（2025·湖南·一模）设表示不大于的最大整数，如，，若正数a满足，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 19 学科网（北京）股份有限公司 $$