专题01 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量（十五大题型）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（湖南专用）

专题01 集合与常用逻辑用语、 复数与平面向量（十五大题型） 一、交集 1．（2025·湖南岳阳·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由，得，所以， 故选：D. 2．（2025·湖南邵阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再应用交集的定义计算即可. 【详解】因为集合，集合， 则. 故选：B. 3．（2025·湖南·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 4．（2025·湖南常德·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再由交集运算求解可得. 【详解】因为集合， ， 所以， 即. 故选：A 5．（2025·湖南·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解对数不等式得集合，然后由交集定义计算． 【详解】由已知，所以． 故选：C． 6．（2025·湖南·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解绝对值不等式得到集合，由真数为正得到集合，从而得到. 【详解】由，或， 所以. 故选：D. 7．（2025·湖南·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，利用集合交集的概念可得结果. 【详解】集合. 由得，等价于，故， 由得. 故选：B. 二、补集 8．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据集合补集的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，则， 故答案为： 9．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出各个集合，再由集合的补集和交集的定义求解即可 【详解】解不等式，则其解为. 又因为，所以. 求解集合：解不等式，则，得，所以. 那么或. 所以. 故选：B. 三、集合的基本关系 10．（2025·湖南·一模）设集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求函数的值域和函数的定义域，即得集合，从而可确定选项. 【详解】由，，可得，则，故， 又由有意义，可得，即得，故， 则显然有. 故选：C. 四、充分条件与必要条件 11．（2024·湖南郴州·模拟预测）设，向量，，则是的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可. 【详解】当时，向量，， 此时有，所以，故是充分条件； 当时，，解得，故不是必要条件； 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 12．（2025·湖南邵阳·一模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件结合函数的不等式求解即可. 【详解】绘制出的图像， 当时，，当时，. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 13．（2025·湖南长沙·一模）设数列的前n项和为，若命题“数列为等差数列”，命题“对任意的，成等差数列”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】运用等差数列定义性质证明充分性，构造满足但不满足的数列，说明不是必要条件. 【详解】若数列为等差数列，设其首项为，公差为. 则 ； ； 所以， 故对任意的，成等差数列， 即，所以p是q的充分条件； 构造数列： 即数列的通项， 该数列不是等差数列. 下面证明此数列满足对任意的，成等差数列. 当时，即，也即成等差数列，满足题意； 当，对任意时， ， 故当，对任意时，成等差数列； 当时，对任意时， ，， ， 由上可知 则 ，故， 故当时，成等差数列； 当，对任意时， ，， ， 由， 则 ，故， 当，对任意时，成等差数列； 综上所述，对任意正整数， 数列满足成等差数列，但不是等差数列. 故，所以p不是q的必要条件， 综上可知，是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是利用题意条件构造特殊数列，进而判断不必要性. 五、复数的四则运算 14．（2025·湖南·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用复数乘法求复数. 【详解】由 ． 故选：C 15．（2025·湖南衡阳·一模）若复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数除法运算法则计算，然后求虚部即可. 【详解】， 所以的虚部为. 故选：D. 六、复数的模长 16．（2025·湖南邵阳·一模）已知复数满足：（，i为虚数单位），则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用复数的除法求得复数，从而求出其模长. 【详解】∵， ∴，∴， ∴. 故选：C. 七、共轭复数 17．（2025·湖南·一模）若（为虚数单位），则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出，再求出，最后计算的值. 【详解】已知，则. 化简得到，轭复数. 可得： 故选：C. 八、复数的几何意义 18．（2025·湖南·一模）（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD. 【详解】对于A，设，显然， 但，故A错； 对于B，设， 则， ， ， 所以，故B对； 对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量， 复数对应向量，复数加减法对应向量加减法， 故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度， 所以，，故C对，D对. 故选：BCD. 九、复数的三角表示 19．（2025·湖南·一模）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【答案】B 【分析】根据已知条件设出，化简，由此确定正确答案. 【详解】依题意，复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上， 设圆的半径为，则可设， 则 ， 的对应点均在半径为的圆上. 故选：B 十、平面向量平行与垂直 20．（2025·湖南·一模）设向量．若，则实数 . 【答案】 【分析】由向量的垂直关系列方程求解即可. 【详解】由得，即， 由向量的坐标，得，解得. 故答案为：. 21．（2025·湖南岳阳·一模）已知向量.若，则 . 【答案】 【分析】用向量平行的坐标表示计算即可； 【详解】，， 因为，所以，即. 故答案为：. 22．（2025·湖南·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 十一、平面向量的模长 23．（2025·湖南·一模）已知非零向量满足，且，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用给定条件结得到，再结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】由题意得，两边平方得， 整理得，由向量数量积的公式得， 而，故， 因为，所以，即，故B正确. 故选：B 24．（2025·湖南常德·一模）已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可. 【详解】设， 因为， 又，即， 解得， 所以，所以， 故选：B. 十二、平面向量的基本定理 25．（2025·湖南·一模）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 26．（2025·湖南·一模）在中，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为的中点得到，再由，即可求解； 【详解】因为，所以为的中点，所以． 又，所以，所以， 所以， 所以，所以． 故选：C 十三、投影向量 27．（2025·湖南长沙·一模）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 【答案】 【分析】表示出投影向量，即可求得，进而利用求得结果. 【详解】由题知，在上的投影向量为， 即，则，， 所以. 故答案为： 十四、平面向量的其他综合 28．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果. 【详解】根据向量数量积公式. 先求，. 再求.. 所以. 根据三角函数诱导公式，所以. 故选：C. 29．（2025·湖南·一模）（多选）已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是双曲线 B．是三角形的内心 C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，根据双曲线的定义，结合三角形内心的向量表达式、切线长定理、投影向量的定义进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 由，可设，，    所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（不含右顶点），故A错误； 因为是的角平分线，且， 所以，又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 则在的角平分线上，所以也为的角平分线，为的内心，故B正确； 如图，设， 则，， 则由双曲线与内切圆的性质可得，，故C正确； 又，所以，在上的投影长为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 十五、平面向量中的最值问题 30．（2025·湖南永州·一模）在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，由，可得是以为直径的圆， 所以的轨迹方程为， 取的中点为，设， 可得，所以，所以， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为， 由，所以，所以， 所以， 所以. 故选：A. 31．（2025·湖南邵阳·一模）已知分别为三个内角的对边，且，则 ；若，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 // 【分析】第一空是由正弦定理角化边，再由余弦定理求角即可；第二空是利用先向量的线性运算，再计算数量积，从而求出取值范围. 【详解】由及正弦定理，得，由余弦定理可知， 又，． ，，由余弦定理得，， 与的夹角的余弦值为． 又，， 且， ，， ， 故答案为：， 32．（2025·湖南·一模）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长，取线段的中点，取线段的中点，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得，且再由三角形三边关系列不等式得结论. 【详解】依题意，设的外接圆的半径为，则，故， 在等边中由正弦定理得，则； 取线段的中点，连接，则， 所以； 取线段的中点，连接，则在线段上，且，所以， 则又， 故，则． 故答案为：. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语、 复数与平面向量（十五大题型） 一、交集 1．（2025·湖南岳阳·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南常德·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 二、补集 8．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，则 ． 9．（2025·湖南长沙·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 三、集合的基本关系 10．（2025·湖南·一模）设集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 四、充分条件与必要条件 11．（2024·湖南郴州·模拟预测）设，向量，，则是的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·湖南邵阳·一模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·湖南长沙·一模）设数列的前n项和为，若命题“数列为等差数列”，命题“对任意的，成等差数列”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 五、复数的四则运算 14．（2025·湖南·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·湖南衡阳·一模）若复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 六、复数的模长 16．（2025·湖南邵阳·一模）已知复数满足：（，i为虚数单位），则（   ） A．5 B． C． D． 七、共轭复数 17．（2025·湖南·一模）若（为虚数单位），则（   ） A． B．4 C． D． 八、复数的几何意义 18．（2025·湖南·一模）（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 九、复数的三角表示 19．（2025·湖南·一模）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 十、平面向量平行与垂直 20．（2025·湖南·一模）设向量．若，则实数 . 21．（2025·湖南岳阳·一模）已知向量.若，则 . 22．（2025·湖南·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 十一、平面向量的模长 23．（2025·湖南·一模）已知非零向量满足，且，则（ ） A． B． C．1 D． 24．（2025·湖南常德·一模）已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（    ） A． B． C． D． 十二、平面向量的基本定理 25．（2025·湖南·一模）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·湖南·一模）在中，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 十三、投影向量 27．（2025·湖南长沙·一模）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 十四、平面向量的其他综合 28．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 29．（2025·湖南·一模）（多选）已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是双曲线 B．是三角形的内心 C． D．在上的投影向量为 十五、平面向量中的最值问题 30．（2025·湖南永州·一模）在中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·湖南邵阳·一模）已知分别为三个内角的对边，且，则 ；若，，，，则的取值范围是 ． 32．（2025·湖南·一模）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$