专题01 空间向量与立体几何（11大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（内蒙古专用）

专题01 空间向量与立体几何 题型概览 题型01 空间向量及其线性运算 题型02空间向量的数量积运算 题型03 空间向量的基本定理 题型04 空间向量及其运算的坐标表示 题型05 法向量、方向向量 题型06 向量法证平行 题型07 向量法证垂直 题型08 线线角 题型09 线面角 题型10 面面角 题型11 求空间距离 ( 题型01 ) 空间向量及其线性运算 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则 . 4．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . ( 题型02 ) 空间向量数量积运算 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正四面体中，为棱的中点，，则（    ） A． B．3 C． D．6 3．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·湖北咸宁·期末）如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 . ( 题型0 3 ) 空间向量的基本定理 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）正四面体的棱长为3，点为棱靠近点的三等分点，点为的重心，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D．3 2．（多选）（24-25高二上·广东中山·期中）如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 3．（多选）（24-25高二上·河南开封·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 4．（24-25高二上·广西·期中）在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． ( 题型0 4 ) 空间向量及其运算的坐标表示 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知向量，向量，若，则实数（    ） A．3 B． C． D．6 2．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 ( 题型0 5 ) 法向量、方向向量 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·山东济宁·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 4．（24-25高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 ；边上的中线长为 . ( 题型0 6 ) 向量法证平行 1．（24-25高二上·吉林·期中）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知正方体中，，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . ( 题型0 7 ) 向量法证垂直 1．（多选）（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在正方体中，分别为棱的中点，点是正方形的中心，则下列结论正确的是（   ） A．四点共面 B．//平面 C．平面平面 D．正方体被平面截得的截面是等腰梯形 2．（24-25高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，M是的中点，点Q在上，且． (1)证明：平面； (2)求直线与的夹角． 4．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. ( 题型0 8 ) 线线角 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是 . 4．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. (1)求二面角的余弦值； (2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. ( 题型0 9 ) 线面角 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D．两个不同的平面的法向量分别是，，则 3．（24-25高三上·山西大同·期中）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．（24-25高三上·河南周口·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． ( 题型 10 ) 面面角 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为 . 2．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，正四棱柱中，，点在上且．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面DEB夹角的余弦值． 3．（24-25高二上·湖南·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，点E在以为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面为矩形，. (1)求证：平面； (2)当四棱锥体积最大时，求平面与平面所成夹角的正弦值. ( 题型 11 ) 求空间距离 1．（24-25高三上·河南周口·期中）已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南商丘·期中）在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是 4．（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 5．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 6．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 1．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二下·湖南·期末）如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（   ） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A．为质数 B．为直角三角形 C．与所成角的正弦值为 D．几何体的体积为 4．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线，所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．当，，，四点共面时， 5．（23-24高二上·广东·期末）如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ． 6．（23-24高二上·广东江门·期末）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，点E是的中点，. (1)证明：平面. (2)求点B到平面的距离. 8．（23-24高二下·河南·阶段练习）如图，三棱柱的所有棱长均相等为的中点．    (1)证明：AB⊥平面CDC1； (2)设·，求二面角的正弦值． 9．（23-24高二下·河南·期中）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点. (1)证明:平面. (2)求二面角的正弦值. 10．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体，平面，，，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 11．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.    (1)若P是的中点，证明：； (2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 12．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且，，分别为和的中点，为棱上的点. (1)证明：； (2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 题型概览 题型01 空间向量及其线性运算 题型02空间向量的数量积运算 题型03 空间向量的基本定理 题型04 空间向量及其运算的坐标表示 题型05 法向量、方向向量 题型06 向量法证平行 题型07 向量法证垂直 题型08 线线角 题型09 线面角 题型10 面面角 题型11 求空间距离 ( 题型01 ) 空间向量及其线性运算 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 2．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 3．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则 . 【答案】-1 【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论． 【详解】∵2x•3y•4z•， ∴2x•3y•4z•， ∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面 ∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1 ∴2x+3y+4z＝﹣1 故答案为﹣1 【点睛】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，属于基础题． 4．（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】/ 【分析】用表示，根据四点共面的向量表达关系，即可求得参数的值. 【详解】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. ( 题型02 ) 空间向量数量积运算 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 2．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正四面体中，为棱的中点，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】根据图形，由向量的加法和向量的数量积计算即可； 【详解】    因为为棱的中点，所以， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 4．（22-23高二上·湖北咸宁·期末）如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为 . 【答案】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得到，, 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. ( 题型0 3 ) 空间向量的基本定理 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）正四面体的棱长为3，点为棱靠近点的三等分点，点为的重心，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，求出，得到答案. 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：A． 2．（多选）（24-25高二上·广东中山·期中）如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 【答案】CD 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得：， 故选：CD. 3．（多选）（24-25高二上·河南开封·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 4．（24-25高二上·广西·期中）在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 【答案】3 【分析】根据空间向量的基本定理建立方程，解之即可. 【详解】由题意知，， 根据四点共面的充要条件可得，解得． 故答案为： ( 题型0 4 ) 空间向量及其运算的坐标表示 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知向量，向量，若，则实数（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出与，再根据计算可得. 【详解】因为， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为. 故选：B 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量模的意义求解即得. 【详解】由，得， ， 所以在方向上的投影向量的模为. 故选：B 4．（多选）（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】由空间向量的坐标运算可知选项A正确；求向量的模长可得选项B错误；由可知选项C正确；根据投影向量的公式可知选项D正确. 【详解】，A正确； ，，，B错误； 由得，C正确； 在方向上的投影向量为，D错误. 故选：AC. ( 题型0 5 ) 法向量、方向向量 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的一个法向量为，由法向量的求法可得满足的关系式，即可判断． 【详解】设平面的一个法向量为， ∵， ∴，则， 对比各选项，可知ABD不符合，C符合． 故选：C． 2．（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解平面法向量得，即可根据共线得，进而根据垂直关系即可求解. 【详解】，，设平面的法向量为， 由，可知，且， 令，则， 所以，为平面的一个法向量， 因为在线段上， 设， 所以， 由可得： 所以，，即，所以， 故选：B. 3．（多选）（23-24高二上·山东济宁·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【分析】求出即可判断的正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误. 【详解】由题意，,,,,, ∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确； 设平面的法向量为， 则, 由，得， 令得，则正确; 设平面的法向量为，则， 由，得， 令得，则不正确. 故选：. 4．（24-25高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为 ；边上的中线长为 . 【答案】 【分析】直接利用中点坐标公式和两点间的距离公式求出结果. 【详解】由于三角形ABC的三个顶点分别为，，， 则的中点坐标为，即. 由于，， 故. 故答案为：；. ( 题型0 6 ) 向量法证平行 1．（24-25高二上·吉林·期中）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【答案】C 【分析】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值. 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知正方体中，，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得与和均平行的平面的法向量，再逐项计算对应向量与法向量的数量积即可判断得解． 【详解】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，    不妨设正方体的棱长为2， 则,0,，,0,，,0,，,2,， ,2,，,2,，,1,，,1,， 所以，， 设与和均平行的平面的法向量为,,， 则有，令，则,1,， 对于A，，则， 所以与和共面，故A正确； 对于B，，则， 所以不与和共面，故B错误； 对于C，，则， 所以不与和共面，故C错误； 对于D，，则， 所以不与和共面，故D错误． 故选：A． 3．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知，分别是平面，的法向量，若，则 【答案】 【分析】根据平面的位置关系可知法向量的位置关系，列方程，解方程即可. 【详解】由，可知， 则， 解得， 故答案为：. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： ( 题型0 7 ) 向量法证垂直 1．（多选）（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在正方体中，分别为棱的中点，点是正方形的中心，则下列结论正确的是（   ） A．四点共面 B．//平面 C．平面平面 D．正方体被平面截得的截面是等腰梯形 【答案】CD 【分析】对于ABC：建系，分别求平面，平面的法向量，利用空间向量判断位置关系；分别连接和，截面是等腰梯形，判断D. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设棱长为，    则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得. 对于选项A：显然不共线，所以四点不共面，故A错误； 对于选项B：因为，即与不垂直， 所以不平行于平面，故B错误； 对于选项C：因为，即， 所以平面平面，故C正确； 对于选项D：分别连接和，则平面即平面，    可得，且，， 所以截面是等腰梯形，故D正确； 故选：CD． 二、填空题 2．（24-25高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】根据平面ABC，转换为的方向向量与平面ABC的法向量平行即可. 【详解】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，M是的中点，点Q在上，且． (1)证明：平面； (2)求直线与的夹角． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设构建空间直角坐标系，应用向量法证明、，再由线面垂直的判定证结论； （2）由（1）有，即可确定异面直线夹角大小. 【详解】（1）由平面，截面为矩形， 以D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，故， 又，即，则， 所以， ，， ，且平面，所以平面． （2）由（1）知：，即直线与的夹角为. 4．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及模长公式计算即可； （2）将也用，，表达出来，再根据向量垂直判定定理即可求解. 【详解】（1）在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； （2）由（1）知，， 则 ， 根据向量垂直判定定理可知，所以. ( 题型0 8 ) 线线角 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线强制性成的角． 【详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为2， 则，，，， ， ， 所以和所成角的余弦值为， 故选：B．    2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系求异面直线，所成角的余弦值即可. 【详解】解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 【点睛】 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是 . 【答案】/ 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】因为空间三点，，，所以， 则，又，所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·内蒙古包头·期末）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. (1)求二面角的余弦值； (2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点M位置为 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值； （2）设，利用向量法求异面直线的夹角，得到，解方程即得解. 【详解】（1）设是中点，为正三角形，则. 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面PAD，所以面ABCD. 又因为，， 所以为正三角形，所以， 以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，. 设平面PEC的法向量为， 由即可取. 平面EBC的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则 由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为. （2）设，则， ，， 所以， 解得或0（舍），所以存在点M使得. ( 题型0 9 ) 线面角 1．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间坐标系，利用空间向量法求解线面角，从而求解. 【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，， 从而，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 故选：A 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D．两个不同的平面的法向量分别是，，则 【答案】AD 【分析】对于A，利用向量共线即可判断；对于B，利用向量垂直判断直线与平面的两种位置关系排除；对于C和D，利用空间向量夹角的坐标公式计算结果即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 又是两条不重合直线，故，即A正确； 对于B，因，可得，即或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，则， 因，故有，故C错误； 对于D，由，可得， 则，故，即D正确. 故选：AD. 3．（24-25高三上·山西大同·期中）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，从再由线面垂直的定义可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得直线的方向向量及平面法向量，即可得所求. 【详解】（1）平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面． （2）如图，过作交于点，作于点． 由（1）得平面平面， 两两垂直， 故以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由条件可得，， ． 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以为平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 4．（24-25高三上·河南周口·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明出，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量垂直的坐标表示证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）设点，其中，利用空间向量法可求得的值，然后利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取线段的中点，连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，且平面， 则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 所以，，，， 所以，，， 所以，，， 因为，、平面，所以，平面. （2）设点，其中，， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 因为线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，即， 因为，解得，则，， 设平面的一个法向量为， 则，可得，取可得， 则， 所以，平面与平面夹角的余弦值为. ( 题型 10 ) 面面角 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为 . 【答案】/ 【分析】平面与平面夹角的余弦值即两个平面法向量夹角余弦值的绝对值. 【详解】因为，所以与的夹角为. 故答案为：或 2．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，正四棱柱中，，点在上且．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面DEB夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中坐标系，求出平面与平面DEB的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）在正四棱柱中，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， . ， ，即，又平面， 所以平面. （2）由（1）知为面的一个法向量， 设向量是平面的法向量，则，令，得， 则， 所以平面与平面DEB夹角的余弦值为． 3．（24-25高二上·湖南·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出结论； （2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可. （3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 （3）若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，点E在以为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面为矩形，. (1)求证：平面； (2)当四棱锥体积最大时，求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直得平面，再结合圆的性质得即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解. 【详解】（1）∵点E在上且为直径， ∴， 又平面平面，平面平面，且平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 又∵，平面， 故平面. （2）当四棱锥体积最大时，是的中点， 此时，. 取中点，连接，则，即平面， 又∵， ∴以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴及z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，，， 设平面的一个法向量为，则 取，可得， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 设平面与平面所成夹角为，则， 即平面与平面所成夹角的余弦值为. ∴平面与平面夹角的正弦值为. ( 题型 11 ) 求空间距离 1．（24-25高三上·河南周口·期中）已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】设外接圆圆心为，外接圆圆心为，则正三棱柱的外接球球心为中点， 由题意，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 因为边长为，高为， 所以，故， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，平面的法向量为， 所以到平面的距离. 故选：C 2．（23-24高二上·河南商丘·期中）在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可. 【详解】    如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示： 易知，，; 取， ， 则， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 3．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是 【答案】/0.5 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】连接，如下图，     由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 4．（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 5．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 6．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 1．（23-24高二下·山东青岛·开学考试）在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系，借助空间向量线面角的求法，求出与底面所成角的正弦值. 【详解】 如图分别以所在直线为轴､轴､轴建立直角坐标系， 由已知，得， 则重心，因而， 设与底面所成的角为，则 . 故选：A. 2．（多选）（23-24高二下·湖南·期末）如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（   ） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，故A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，故B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，故C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，故D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A．为质数 B．为直角三角形 C．与所成角的正弦值为 D．几何体的体积为 【答案】BCD 【分析】对于ABC：根据空间向量的坐标运算分析求解即可；对于D：分析可知几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 所以不是质数，A错误； 对于选项B：因为，则， 所以为直角三角形，B正确； 对于选项C：因为， 所以与所成角的正弦值为，C正确； 对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台， 且与该三棱台的底面垂直，， 所以几何体的体积为，D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线，所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．当，，，四点共面时， 【答案】AC 【分析】以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求点Q到平面的距离，然后可得三棱锥的体积，可判断A；利用向量法求，即可判断B；利用两点间距离公式和二次函数性质可判断C；根据四点共面求出点Q坐标，然后由向量数量积即可判断D. 【详解】以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 设，则， 设为平面的法向量， 则，取得， 所以，点Q到平面的距离， 易知，所以， 所以，A正确； 因为， 所以直线，所成角的余弦值为，B错误； 由上可知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为，C正确； 当，，，四点共面时，则有， 因为， 所以， 即，解得， 此时，，又，所以， 因为， 所以与不垂直，D错误. 故选：AC 5．（23-24高二上·广东·期末）如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 /0.25；． / 【分析】利用已知条件结合向量法即可求解；利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解． 【详解】连接，如下图， 由题意，，，正方形中，， 正方形中，平面，平面，平面平面， 就是二面角的平面角，则， 向量与向量夹角为，且， ①，，， ， ， 直线和夹角的余弦值为； ②设，则， 且由题意， ， ， 令，,，图象开口向上，且对称轴为， 当时，取得最小值，又， ，即的最小值是． 故答案为：；． 6．（23-24高二上·广东江门·期末）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离的最小值，即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因动点在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为， 又因为， 所以面积的最小值. 【点睛】关键点点睛：求出点到直线的距离的最小值是解决本题的关键. 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，点E是的中点，. (1)证明：平面. (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示各点坐标，求与平面的法向量，利用可得结论. （2）利用点到平面的距离公式可求结果. 【详解】（1）证法一:以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 设是平面的法向量， 则令，得. 因为，所以， 所以平面. 证法二： 设，的中点为，连接，，. 在和中，有，. 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面. 因为平面，，所以平面. （2）由题意得，， 点B到平面的距离. 8．（23-24高二下·河南·阶段练习）如图，三棱柱的所有棱长均相等为的中点．    (1)证明：AB⊥平面CDC1； (2)设·，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据数量积公式计算可得进而可得，通过等腰三角形性质，能证明结合线面垂直的判定定理即可证明AB⊥平面CDC1； （2）以为原点OB，OB1，OC所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，求，再根据公式求解即可. 【详解】（1）证明：由， 得由余弦定理，得 因为为的中点，所以又 所以又平面所以平面 （2）由（1）知，平面又平面所以 又所以则四边形为正方形． 由得 又所以 则所以四棱锥为正四棱锥． 连接则设连接易证平面 以为原点OB，OB1，OC所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则 所以 设平面的法向量为 由取解得 所以设平面的法向量为 由取解得所以 所以故二面角的正弦值为    9．（23-24高二下·河南·期中）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点. (1)证明:平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由平行四边形的性质得到即可证明； （2）分别找到平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的余弦公式，再利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 建系， 【详解】（1）证明:如图，设为在底面的射影，连接，则平面. 因为平面ABC，所以 又为BC的中点，，所以 因为平面平面， ∴平面. 又为的中点，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， ∴平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系. 在三棱柱中，， 所以， 则. 由（1）知平面，则是平面的一个法向量， 因为，且，所以. 设平面的法向量为， 则即 设，得， 所以， 则， 所以二面角的正弦值为. 10．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体，平面，，，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 【分析】由题意可求出所在圆的半径为，所在圆的半径为，再以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，继而可得各点坐标，再利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值即可. 【详解】设所在圆的半径为，则， 则,. 设所在圆的半径为，则， 则,. 因为平面，平面，则, 由题意可以以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示， 则，， 又为的中点,则， 则，,， 设平面的法向量， 则, 令，则，则. 设直线与平面所成角为， 则 . 即直线与平面所成角的正弦值为. 11．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.    (1)若P是的中点，证明：； (2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直； （2）求平面法向量，由二面角的余弦值为和平面，解得P点坐标，可求四面体的体积. 【详解】（1）以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 设，其中，， 若P是的中点，则，，， 于是，∴，即. （2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量. 设是平面的一个法向量， 则取，得. 又平面的一个法向量是， ∴， 而二面角的余弦值为，因此， 解得或（舍去），此时. 设（），而，由此得点，， ∵平面，且平面的一个法向量是， ∴，即，解得，从而. 将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高， 故四面体的体积. 12．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，且，，分别为和的中点，为棱上的点. (1)证明：； (2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值，利用二次函数求解最大值，利用同角三角函数关系即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，平面， 所以，，又，故以B为坐标原点， 分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系. 则，，， 由题设（），因为， 所以，所以； （2）设平面的法向量为， 因为，所以，即， 令，则，又平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则. 当时，取最小值为，此时取最大值为， 所以，此时. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$