6.2.4 向量的数量积 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积 学业标准 素养目标 1.掌握平面向量的数量积的定义．(重点) 2．理解平面向量的数量积的几何意义．(难点) 3．了解向量的数量积与实数的乘法的区别. 1.通过力做功抽象出数量积，培养数学抽象和逻辑推理等核心素养． 2．借助数量积的运算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 导学1 平面向量的数量积 一个物体在力F的作用下产生位移s，如图． 如何计算这个力所做的功？ [提示]　W＝|s||F|cos θ. 力F在位移方向上的分力是多少？ [提示]　|F|cos θ. 力做功的大小与哪些量有关？ [提示]　与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． ◎结论形成 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向； ②当θ＝π时，向量a，b反向； ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定零向量与任何向量的数量积等于0. 导学2 投影向量 　设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 导学3 平面向量数量积的性质和运算律 已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角． 若a·b＝0，则a与b有什么关系？ [提示]　∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b. a·a等于什么？ [提示]　a·a＝|a|2cos 0°＝|a|2. 在什么条件下可求cos θ？ [提示]　已知a·b及|a||b|时，可得cos θ＝. ◎结论形成 1．设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(　　) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知向量a与b的夹角θ＝120°，＝3，＝4，则a·b＝(　　) A．－6　　　　　　 B．－6 C．6 D．6 解析　根据平面向量数量积的定义可得a·b＝cos120°＝3×4×＝－6，故选B. 答案　B 3．下列命题不正确的是(　　) A．|a|＝ B．λ(a·b)＝a·(λb) C．(a－b)c＝a·c－b·c D．a与b共线⇔a·b＝|a||b| 答案　D 4．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是______． 解析　a·b＝|a||b|cos θ＜0， ∵cos θ＜0，又θ∈[0，π]，∴θ∈. 答案　 (1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，求b1·b2； (2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a. [解析]　(1)由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6. (2)如图，因为|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°， 所以a·b＋b·c＋c·a ＝××cos 120°×3＝－3. 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 [触类旁通] 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．0 解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B. 答案　B 2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________. 解析　·＝·＝(＋)·＝()2＋·＝a2＋a2 cos 60°＝a2. 答案　a2 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|. (1)[解析]　|a＋2b|2＝(a＋2b)2 ＝|a|2＋2|a||2b|cos 60°＋(2|b|)2 ＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12， 所以|a＋2b|＝＝2. [答案]　2 (2)[解析]　因为|2a＋b|＝， 所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)． 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．　 [触类旁通] 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A B. C. D．1 解析　由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝，故选B. 答案　B 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________. 解析　a2＋b2－2a·b＝3，a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，∴a2－2a·b＝0，∴b2＝3，即|b|＝. 答案　 (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________． (2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． (1)[解析]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0，∴k＞0. 当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k＞0且k≠1. [答案]　(0,1)∪(1，＋∞) (2)[解析]　由已知条件得 即 ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2， ∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. [母题变式] 将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． 解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＜0， ∴k＜0. 当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1. [素养聚焦]　通过夹角、垂直等问题，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 求向量a与b夹角的思路 (1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．　 [触类旁通] 5．(多选题)已知正方形ABCD的边长为1，向量a，b满足＝a，＝b－a，则(　　) A.＝1 B．cos〈a，b〉＝ C.＝1 D.⊥b 解析　∵＝a，＝b－a， ∴＝＋＝b，又正方形ABCD的边长为1， ∴＝＝1，＝＝，〈a，b〉＝，故A错误； ∴cos〈a，b〉＝，a·b＝1××＝1，即＝1，故B，C正确； ∴·b＝2a·b－b2＝2－2＝0，即⊥b，故D正确． 故选BCD. 答案　BCD 知识落实 技法强化 (1)向量数量积及运算律． (2)投影向量． (3)向量数量积的性质. 注意：①向量夹角共起点；②a·b>0不能推断两向量夹角为锐角，a·b<0不能推断两向量夹角为钝角；③向量数量积不满足结合律. 学科网（北京）股份有限公司 $$