6.2.3 向量的数乘运算 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算 学业标准 素养目标 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点) 3．理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点) 1.借助数乘运算的运算律，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 2．借助向量共线定理，培养数学运算与逻辑推理等核心素养. 导学1 向量数乘的定义 按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与|a|的关系怎样？ [提示]　按三角形法则，|a＋a|＝2|a|. 我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？ [提示]　可以． 3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？ [提示]　3a与a方向相同．－3a与a方向相反． ◎结论形成 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)λa＝λa. (2)λa(a≠0) 　 的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 导学2 数乘运算的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 导学3 共线向量定理 如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？ [提示]　方向相同或方向相反或其中一者为零向量． 根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？ [提示]　相同或相反． 向量a与λa(λ为常数)共线吗？ [提示]　共线． ◎结论形成 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　) (2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(　　) (3)若ma＝mb，则a＝b.(　　) (4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列等式正确的是(　　) A.＝3　　　　 B.＝2 C.＝ D.＝2 解析　由题意，AC＝2CB，故＝2. 答案　D 3．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是(　　) A．平行四边形 B．菱形　　 C．梯形　 D．矩形 答案　C 4．4(a－b)－3(a＋b)－b＝(　　) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b 答案　D 化简下列各式： (1)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)； (2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n为实数)． [解析]　(1)原式＝a＋－－＋b＝0. (2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b) ＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb ＝ma－nb. 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　 [触类旁通] 1．化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)(3a＋2b)－－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 解析　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝－a－b ＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又＝，＝，试用a，b表示，，. [解析]　∵＝＝ ＝(－)＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋a－b＝a＋b. ∵＝＝， ∴＝＋＝＋ ＝＝(＋)＝(a＋b)． ∴＝－ ＝(a＋b)－a－b＝a－b. [母题变式] 若将例2改为：平行四边形对角线AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，设＝a，＝b，试用a，b表示. 解析　因为DG∥AB， 所以△DFG∽△BFA， 又因为DF＝OD＝×BD＝BD， 所以＝＝， 所以＝＋＝＋＝a＋b. 用已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．　 [触类旁通] 2．(2022·新高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　　 B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析　因为＝＋，＝－，又3＝，所以＝－2＋3，即＝－2m＋3n.故选B. 答案　B 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想． [解析]　分别作向量，，，过点A，C作直线AC，如图， 观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线． 证明如下： 因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b， ＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 所以＝2. 因此，A，B，C三点共线． [母题变式] 若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y，求证：x＋y＝1. 证明　∵A，B，C三点共线， ∴存在实数λ，使得＝λ， 即－＝λ(－)， ∴＝(1＋λ)－λ， 令x＝1＋λ，y＝－λ， ∴x＋y＝1. [素养聚焦]　通过共线向量定理及其应用，把直观想象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．　 [触类旁通] 3．设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝2a＋kb，＝a－b.若P，Q，R三点共线，则实数k的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 解析　∵a，b是不共线的两个平面向量，∴a≠b，即≠0，∵P，Q，R三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴2a＋kb＝λa－λb，即(2－λ)a＝(－k－λ)b，由a，b不共线，得2－λ＝－k－λ＝0，解得λ＝2，k＝－2. 答案　B 知识落实 技法强化 (1)向量的数乘及运算律． (2)向量的线性运算． (3)用已知向量表示其他向量． (4)向量共线定理. 忽视零向量这一个特殊向量. 学科网（北京）股份有限公司 $$