6.2.2 向量的减法运算 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．2.2　向量的减法运算 学业标准 素养目标 1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点) 2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点、难点) 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算. 1.类比实数减法运算的定义，导出向量减法运算，培养逻辑推理和数学抽象等核心素养． 2．通过向量减法运算的三角形法则，提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 导学1 相反向量 一个数a的相反数是什么？ [提示]　－a. 一个向量有相反向量吗？ [提示]　有，向量a的相反向量是－a. ◎结论形成 1．定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 导学2 向量的减法 两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？ [提示]　不是，是零向量． 根据向量加法，如何求作a－b? [提示]　①先作出－b；②再按三角形法则或平行四边形法则进行． ◎结论形成 1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 2．几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示． 3．文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于0.(　　) (2)两个相反向量之差等于0.(　　) (3)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a　　　　　　 B．a＋b C．b－a D．a－b 解析　＝－＝a－b.故选D. 答案　D 3．(多选题)非零向量m与n是相反向量，下列叙述正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n是方向相反 解析　∵m与n是相反向量， ∴m＝－n，|m|＝|n|，m与n方向相反． 故选BCD. 答案　BCD 4．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则|－|＝________. 解析　由题意，得|－|＝||＝. 答案　 (1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0　　　　　　　 B. C. D. (2)化简：①－－－； ②(－)－(－)． (1)[解析]　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0. [答案]　A (2)[解析]　①原式＝＋－＝＋＝－＝0. ②原式＝－－＋ ＝(－)＋(－)＝＋＝0. 向量减法运算的常用方法 　 [触类旁通] 1．化简：(1)－＋； (2)＋＋－－. 解析　(1)解法一　－＋＝＋＝0. 解法二　－＋＝＋－＝－＝0. (2)＋＋－－ ＝＋＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝0＋＝. 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解析]　解法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，则＝b－c.过点A作ADBC，连接OD，则＝b－c，所以＝＋＝a＋b－c. 解法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，则＝a＋b－c. 解法三　如图③，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　 [触类旁通] 2.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解析　在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量a－b＝，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. (1)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形　　　　　　 B．矩形 C．正方形 D．不确定 (2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围． (1)[解析]　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，∵|－|＝|－|，∴||＝||.∴四边形ABCD为矩形． [答案]　B (2)[解析]　∵|||－|||≤|－|≤||＋||， 且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15. 当与同向时，|－|＝3； 当与反向时，|－|＝15. ∴|－|的取值范围为[3,15]． [母题变式] 将例3(2)的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围． 解析　因为＝－，||＝8，||＝5， ≤|－|≤||＋||， 所以3≤||≤13， 当与同向时，||＝3， 当与反向时，||＝13， 所以||的取值范围是[3,13]． [素养聚焦]　利用向量减法的几何意义，把直观想象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 1．用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量． (2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题． 2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 (1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可． (2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．　 [触类旁通] 3．(1)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则必有(　　) A.＝0 B.＝0或＝0 C．平行四边形ABCD是矩形 D．平行四边形ABCD是正方形 (2)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a－b|的最小值为________，最大值为________． 解析　(1)在平行四边形ABCD中， |＋|＝|－|， 即||＝||，可得四边形ABCD是一个特殊的四边形——矩形． (2)≤|a－b|≤|a|＋|b|. 答案　(1)C　(2)4　20 知识落实 技法强化 (1)向量的减法运算． (2)向量减法的几何意义． (3)向量加减法的混合运算． (4)向量加减法的综合应用. 忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 学科网（北京）股份有限公司 $$