6.1 平面向量的概念 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

　平面向量的概念 学业标准 素养目标 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念． 2．理解向量的几何表示，理解单位向量、零向量的概念．(重点、难点) 3．理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念．(重点) 1.通过平面向量的引入，培养数学抽象等核心素养． 2．借助平面向量的几何表示、平行向量和共线向量等知识，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. 导学1 向量的实际背景与概念 1.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移． 2．汽车向东北方向行驶了60 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是东北． 3．起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用． 上述三个实例中涉及哪些物理量？ [提示]　分别涉及位移、速度和力． 这些量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？ [提示]　面积、质量等只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向． ◎结论形成 1．向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 导学2 向量的有关概念和几何表示 1.有向线段 (1)有向线段的概念：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||. (2)有向线段的三要素：起点、方向、长度． 2．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量的大小称为向量的长度，记作||. (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．向量的表示 导学3 相等向量与共线向量 如图所示，向量，，有什么关系？ [提示]　∥，∥，∥，||＝||＝||且它们的方向也相同． 向量，与向量共线是显然的，那么能否得到向量也与它们共线呢？ [提示]　只要两个向量模相等，方向相同，两个向量就是相等的，即向量可以平移，最后概括出平行向量即共线向量． ◎结论形成 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． (1)记法：向量a平行于向量b，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行． 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 3．共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，在此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线平行和重合相混淆． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．(　　) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．(　　) (3)向量的模是一个正实数．(　　) (4)向量就是有向线段．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.如图，在⊙O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案　C 3．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有________． 答案　， 4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________. 解析　因为正方形的对角线长为2， 所以||＝. 答案　 (多选题)下列说法错误的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 [解析]　A项，向量不能比较大小，不正确；B项，同向的向量也不能比较大小，不正确；C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确；D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确． [答案]　ABC [素养聚焦]　利用向量的概念的识别，把数学抽象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 向量是既有大小，又有方向的量，两个向量不能比较大小，但向量的长度(模)是一个数量，可以比较大小．　 [触类旁通] 1．(多选题)下列说法正确的有(　　) A．单位向量的长度大于零向量的长度 B．零向量与任一单位向量平行 C．向量和向量长度相等 D．向量就是有向线段 解析　单位向量的长度为1，零向量的长度为0，故A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量与向量是方向相反、模相等的两个向量，故C正确；向量可用有向线段来表示，不能把两者等同起来，D不正确． 答案　ABC (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量． (2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： ①，使||＝4，点A在点O北偏东45°； ②，使||＝4，点B在点A正东； ③，使||＝6，点C在点B北偏东30°. (1)[答案]　12 (2)[解析]　①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又因为||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示． ②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示． ③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示． 用有向线段表示向量的步骤 　 [触类旁通] 2．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解析　(1)由题意，作出向量，，，，如图所示． (2)依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.又因为∠ACD＝45°，CD＝1 000，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1 000 km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1 000 km. 如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量) [解析]　如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个． [母题变式] 1．例3中，与向量同向且长度为2的向量有几个？ 解析　与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个． 2.例3中，如图，与向量相等的向量有多少个？ 解析　题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量方向相同的向量与其相等，共有8个． 相等向量与共线向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.　 [触类旁通] 3.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解析　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. 知识落实 技法强化 (1)向量的概念及表示． (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)． (3)向量的应用. 解决问题中常借助数形结合，其中零向量和单位向量的方向容易混淆. 学科网（北京）股份有限公司 $$