第6章 数学探究 用向量法研究三角形的性质(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 数学探究　用向量法研究三角形的性质 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍. 一、“四心”的概念与性质 1．重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1；在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有eq \o(GA,\s\up17(→))＋eq \o(GB,\s\up17(→))＋eq \o(GC,\s\up17(→))＝0或eq \o(PG,\s\up17(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(PC,\s\up17(→)))(其中P为平面内任意一点)；反之，若eq \o(GA,\s\up17(→))＋eq \o(GB,\s\up17(→))＋eq \o(GC,\s\up17(→))＝0，则点G是△ABC的重心． 在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝eq \f(x1＋x2＋x3,3)，y＝eq \f(y1＋y2＋y3,3). 2．垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则eq \o(HA,\s\up17(→))·eq \o(HB,\s\up17(→))＝eq \o(HB,\s\up17(→))·eq \o(HC,\s\up17(→))＝eq \o(HC,\s\up17(→))·eq \o(HA,\s\up17(→))或eq \o(HA,\s\up17(→))2＋eq \o(BC,\s\up17(→))2＝eq \o(HB,\s\up17(→))2＋eq \o(CA,\s\up17(→))2＝eq \o(HC,\s\up17(→))2＋eq \o(AB,\s\up17(→))2，反之，若eq \o(HA,\s\up17(→))·eq \o(HB,\s\up17(→))＝eq \o(HB,\s\up17(→))·eq \o(HC,\s\up17(→))＝eq \o(HC,\s\up17(→))·eq \o(HA,\s\up17(→))，则H是△ABC的垂心． 3．内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等． 4．外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等；在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→)))·eq \o(BA,\s\up17(→))＝(eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \o(OC,\s\up17(→)))·eq \o(CB,\s\up17(→))＝(eq \o(OC,\s\up17(→))＋eq \o(OA,\s\up17(→)))·eq \o(AC,\s\up17(→))＝0或|eq \o(OA,\s\up17(→))|＝|eq \o(OB,\s\up17(→))|＝|eq \o(OC,\s\up17(→))|，反之，若|eq \o(OA,\s\up17(→))|＝|eq \o(OB,\s\up17(→))|＝|eq \o(OC,\s\up17(→))|，则点O是△ABC的外心． 二、向量法探究“四心”证明问题 探究1　探究三角形三边的垂直平分线交于一点 [证明]　如图，在△ABC中，取三边AB，BC，CA的中点D，E，F，作OD⊥AB，OE⊥BC交于点O，连接OF，只要证明OF⊥CA. 因为OD⊥AB，OE⊥BC， 所以eq \o(OD,\s\up17(→))·eq \o(AB,\s\up17(→))＝0，eq \o(OE,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝0， 即(eq \o(OF,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→)))·eq \o(AB,\s\up17(→))＝0， (eq \o(OF,\s\up17(→))＋eq \o(FC,\s\up17(→))＋eq \o(CE,\s\up17(→)))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝0， 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OF,\s\up17(→))＋\f(1,2)\o(CA,\s\up17(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up17(→))))·eq \o(AB,\s\up17(→))＝0， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OF,\s\up17(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up17(→))＋\f(1,2)\o(CB,\s\up17(→))))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝0， 得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OF,\s\up17(→))＋\f(1,2)\o(CB,\s\up17(→))))·eq \o(AB,\s\up17(→))＝0，① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OF,\s\up17(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up17(→))))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝0.② 由①＋②，得eq \o(OF,\s\up17(→))·eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(OF,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝0， 即eq \o(OF,\s\up17(→))·(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))＝0，所以eq \o(OF,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))＝0， 于是OF⊥CA，得证． 探究2　探究三角形的三条高线交于一点 [证明]　如图，在△ABC中， 作高线AH⊥BC，BH⊥AC， 连接CH，只要证明CH⊥AB. 因为AH⊥BC，BH⊥AC， 所以eq \o(AH,\s\up17(→))⊥eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(BH,\s\up17(→))⊥eq \o(AC,\s\up17(→))， 得eq \o(AH,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝0， eq \o(BH,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))＝0. 于是eq \o(AH,\s\up17(→))·(eq \o(BH,\s\up17(→))＋eq \o(HC,\s\up17(→)))＝0，① eq \o(BH,\s\up17(→))·(eq \o(AH,\s\up17(→))＋eq \o(HC,\s\up17(→)))＝0.② 由①－②，得 eq \o(AH,\s\up17(→))·eq \o(HC,\s\up17(→))－eq \o(BH,\s\up17(→))·eq \o(HC,\s\up17(→))＝0， (eq \o(AH,\s\up17(→))－eq \o(BH,\s\up17(→)))·eq \o(HC,\s\up17(→))＝0， 得eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(HC,\s\up17(→))＝0，所以CH⊥AB，得证． 三、“四心”的应用 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的_______心． [解析]　由原等式，得eq \o(OP,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→))＝λ(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))， 即eq \o(AP,\s\up17(→))＝λ(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))， 根据平行四边形法则，知eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))是△ABC的中线所对应向量的2倍， 所以点P的轨迹必过△ABC的重心． [答案]　重 [变式训练] 1．若动点P满足eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的_______心． 解析　由条件，得eq \o(OP,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|)))， 即eq \o(AP,\s\up17(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|)))，而eq \f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|)和eq \f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|)分别表示平行于eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(AC,\s\up17(→))的单位向量， 知eq \f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|)＋eq \f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|)平分∠BAC，即eq \o(AP,\s\up17(→))平分∠BAC， 所以点P的轨迹必过△ABC的内心． 答案　内 2．若动点O满足eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋λeq \f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|cos B)＋eq \f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|cos C)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的_______心． 解析　由条件，得eq \o(AP,\s\up17(→))＝λeq \f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|cos B)＋eq \f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|cos C)， 从而eq \o(AP,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up17(→))·\o(BC,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|cos B)＋\f(\o(AC,\s\up17(→))·\o(BC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|cos C))) ＝λ×eq \f(|\o(AB,\s\up17(→))|·|\o(BC,\s\up17(→))|cos180°－∠B,|\o(AB,\s\up17(→))|cos B)＋λ×eq \f(|\o(AC,\s\up17(→))|·|\o(BC,\s\up17(→))|cos C,|\o(AC,\s\up17(→))|cos C)＝0， 得eq \o(AP,\s\up17(→))⊥eq \o(BC,\s\up17(→))，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心． 答案　垂 3．若动点P满足eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \f(\o(OB,\s\up17(→))＋\o(OC,\s\up17(→)),2)＋λeq \f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|cos B)＋eq \f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|cos C)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的_______心． 解析　由条件，得 eq \o(OP,\s\up17(→))－eq \f(\o(OB,\s\up17(→))＋\o(OC,\s\up17(→)),2)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|cos B)＋\f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|cos C)))， 即eq \f(\o(BP,\s\up17(→))＋\o(CP,\s\up17(→)),2)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|cos B)＋\f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|cos C)))， 所以eq \f(\o(BP,\s\up17(→))＋\o(CP,\s\up17(→)),2)·eq \o(BC,\s\up17(→))＝λeq \f(\o(AB,\s\up17(→))·\o(BC,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|cos B)＋eq \f(\o(AC,\s\up17(→))·\o(BC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|cos C)＝0， 即eq \f(\o(BP,\s\up17(→))＋\o(CP,\s\up17(→)),2)·(eq \o(BP,\s\up17(→))－eq \o(CP,\s\up17(→)))＝0， 得eq \o(BP,\s\up17(→))2＝eq \o(CP,\s\up17(→))2，|eq \o(BP,\s\up17(→))|＝|eq \o(CP,\s\up17(→))|， 所以动点P的轨迹一定通过△ABC的外心． 答案　外 已知△ABC内一点O满足关系eq \o(OA,\s\up17(→))＋2eq \o(OB,\s\up17(→))＋3eq \o(OC,\s\up17(→))＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB的值． [解析]　延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，如图所示． 则eq \o(OB1,\s\up17(→))＝2eq \o(OB,\s\up17(→))，eq \o(OC1,\s\up17(→))＝3eq \o(OC,\s\up17(→))，由条件， 得eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB1,\s\up17(→))＋eq \o(OC1,\s\up17(→))＝0， 所以点O是△AB1C1的重心， 从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝eq \f(1,3)S， 其中S表示△AB1C1的面积， 所以S△COA＝eq \f(1,9)S，S△AOB＝eq \f(1,6)S， S△BOC＝eq \f(1,2)S△B1OC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)S△B1OC1＝eq \f(1,18)S， 于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝eq \f(1,18)∶eq \f(1,9)∶eq \f(1,6) ＝1∶2∶3. 本例可推广为：已知△ABC内一点O满足关系λ1eq \o(OA,\s\up17(→))＋λ2eq \o(OB,\s\up17(→))＋λ3eq \o(OC,\s\up17(→))＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3.　 设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使eq \o(MA1,\s\up17(→))＋eq \o(MA2,\s\up17(→))＋eq \o(MA3,\s\up17(→))＋eq \o(MA4,\s\up17(→))＋eq \o(MA5,\s\up17(→))＝0成立的点M的个数为(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．5 D．10 [解析]　对于空间两点A，B来说，满足eq \o(MA,\s\up17(→))＋eq \o(MB,\s\up17(→))＝0的点M是线段AB的中点；对于空间三点A，B，C来说，满足eq \o(MA,\s\up17(→))＋eq \o(MB,\s\up17(→))＋eq \o(MC,\s\up17(→))＝0，可认为是先取AB中点G，再连接CG，在CG上取点M，使MC＝2MG，则M满足条件，且唯一；对于空间四点A，B，C，D来说，满足eq \o(MA,\s\up17(→))＋eq \o(MB,\s\up17(→))＋eq \o(MC,\s\up17(→))＋eq \o(MD,\s\up17(→))＝0，可先取△ABC的重心G，再连接GD.在GD上取点M，使DM＝3MG，则M满足条件，且唯一，不妨也称为重心G；与此类似，对于空间五点A，B，C，D，E来说，满足eq \o(MA,\s\up17(→))＋eq \o(MB,\s\up17(→))＋eq \o(MC,\s\up17(→))＋eq \o(MD,\s\up17(→))＋eq \o(ME,\s\up17(→))＝0，可先取空间四边形ABCD的重心G，再连接GE，在GE上取点M，使EM＝4MG，则M满足条件，且唯一． [答案]　B [变式训练] 4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \f(1－λ\o(OA,\s\up17(→))＋1－λ\o(OB,\s\up17(→))＋1＋2λ\o(OC,\s\up17(→)),3)(λ∈R)，则P的轨迹一定过△ABC的(　　) A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 解析　设AB边的中点为D， 则eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \f(1－λ,3)(eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→)))＋eq \f(1＋2λ,3) eq \o(OC,\s\up17(→)) ＝eq \f(21－λ,3) eq \o(OD,\s\up17(→))＋eq \f(1＋2λ,3) eq \o(OC,\s\up17(→))， 而eq \f(21－λ,3)＋eq \f(1＋2λ,3)＝1， 所以得到P，D，C三点共线， 所以P的轨迹一定过△ABC的重心．故选C. 答案　C 5．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋λeq \f(\o(AB,\s\up17(→)),|\o(AB,\s\up17(→))|sin B)＋eq \f(\o(AC,\s\up17(→)),|\o(AC,\s\up17(→))|sin C)，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的_______心． 解析　由正弦定理，得|eq \o(AB,\s\up17(→))|sin B＝|eq \o(AC,\s\up17(→))|sin C＝k， 所以原等式即为eq \o(AP,\s\up17(→))＝eq \f(λ,k)(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)))， 所以P点的轨迹一定通过△ABC的重心． 答案　重 6．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \f(\o(OB,\s\up17(→))＋\o(OC,\s\up17(→)),2)＋λeq \o(AP,\s\up17(→))，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的_______心． 解析　设BC的中点为M，则eq \f(\o(OB,\s\up17(→))＋\o(OC,\s\up17(→)),2)＝eq \o(OM,\s\up17(→))，结合已知条件，得eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \o(OM,\s\up17(→))＋λeq \o(AP,\s\up17(→))，即eq \o(MP,\s\up17(→))＝λeq \o(AP,\s\up17(→))， ∴P点的轨迹一定通过△ABC的重心． 答案　重 7．在△ABC中，O为外心，H为△ABC所在平面内一点，且eq \o(OH,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \o(OC,\s\up17(→))，则点H为△ABC的_______心． 解析　因为eq \o(AH,\s\up17(→))＝eq \o(AO,\s\up17(→))＋eq \o(OH,\s\up17(→))＝eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \o(OC,\s\up17(→))， 所以eq \o(AH,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝(eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \o(OC,\s\up17(→)))·(eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \o(OB,\s\up17(→)))＝0， 所以eq \o(AH,\s\up17(→))⊥eq \o(BC,\s\up17(→))，同理eq \o(BH,\s\up17(→))⊥eq \o(AC,\s\up17(→))，eq \o(CH,\s\up17(→))⊥eq \o(AB,\s\up17(→))， 则点H为△ABC的垂心． 答案　垂 $$