第6章 教考衔接1 解三角形中的热点问题(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 教考衔接1　解三角形中的热点问题 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 一、真题展示 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝eq \r(2)cos B，a2＋b2－c2＝eq \r(2)ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋eq \r(3)，求c. 解析　(1)由余弦定理得cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(2),2)， 又0<C<π，∴C＝eq \f(π,4). ∴eq \r(2)cos B＝sin C＝eq \f(\r(2),2)，∴cos B＝eq \f(1,2)， 又0<B<π，∴B＝eq \f(π,3). (2)由(1)得A＝π－B－C＝eq \f(5π,12)， 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得eq \f(a,\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq \f(c,\f(\r(2),2))， ∴a＝eq \f(1＋\r(3),2)c. ∴△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1＋\r(3),4)c2×eq \f(\r(3),2)＝3＋eq \r(3)， 得c＝2eq \r(2). 二、真题溯源 [教科书第54页习题6.4第22题] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋eq \r(3)asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，则△ABC的面积为eq \r(3)，求b，c. 三、类法探究 解三角形依赖于内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，在三角形三个角、三条边、三个心、三定理之间建立联系，挖掘关系，一旦对给定关系式的结构判断不准确，转化不到位，求解思维痛点就会产生，卡壳点增加．解三角形问题时需要对其进行以下分析：一是从“形”上分析；二是从“数”上分析．三角形中基本元素有六个(三边、三角)，相关元素有四线 (中线、角平分线、中垂线、高) 及其性质有三定理(内角和定理、正弦定理、余弦定理)，有多个公式(三角形面积公式、海伦公式等)，还有多种三角变换(倍角公式等)，它们之间有着千丝万缕的联系． eq \x(类型一　利用正余弦定理解三角形) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bsin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))). (1) 求角A的大小； (2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长． [解析]　(1)因为asin B＝bsin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))，由正弦定理得sin Asin B＝sin Bsin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3))). 因为sin B≠0，所以sin A＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))， 所以sin A＝eq \f(1,2)sin A＋eq \f(\r(3),2)cos A， 即eq \f(1,2)sin A＝eq \f(\r(3),2)cos A， 所以tan A＝eq \r(3). 因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3). (2)在△ABD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin ∠BAD)＝eq \f(AB,sin ∠ADB)， 在△ADC中，由正弦定理得 eq \f(DC,sin ∠DAC)＝eq \f(AC,sin ∠ADC). 因为sin ∠BAD＝sin ∠DAC，sin ∠ADB＝sin ∠ADC， 所以eq \f(BD,DC)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,1)， 所以eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(3,4) eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(3,4)(eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→)))＝eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up17(→))， 所以|eq \o(AD,\s\up17(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up17(→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up17(→))))2＝eq \f(1,16)|eq \o(AB,\s\up17(→))|2＋eq \f(9,16)|eq \o(AC,\s\up17(→))|2＋eq \f(3,8) eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \f(1,16)×9＋eq \f(9,16)×1＋eq \f(3,8)×3×1×eq \f(1,2)＝eq \f(27,16)， 所以AD＝eq \f(3\r(3),4). 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a＝eq \f(bsin A,sin B)等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A等求解； (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝eq \f(asin B,b)等或余弦定理变形公式cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)等求解； (3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．　 eq \x(类型二　三角形中与面积有关的问题) (2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． [解析]　(1)由余弦定理可得 BC2＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7， 则BC＝eq \r(7)， cos ∠ABC＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(7＋4－1,2×2×\r(7))＝eq \f(5\r(7),14)， sin ∠ABC＝eq \r(1－cos2 ∠ABC)＝eq \r(1－\f(25,28))＝eq \f(\r(21),14). (2)由三角形面积公式可得eq \f(S△ABD,S△ACD)＝eq \f(\f(1,2)×AB×AD×sin90°,\f(1,2)×AC×AD×sin30°)＝4， 则S△ACD＝eq \f(1,5)S△ABC＝eq \f(1,5)×eq \f(1,2)×2×1×sin120°＝eq \f(\r(3),10). 求三角形面积的方法 (1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．　 eq \x(类型三　解三角形中的最值范围问题) 在△ABC中，sin 2A－sin 2B－sin 2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． [解析]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．② 由①②得cos A＝－eq \f(1,2). 因为0＜A＜π，所以A＝eq \f(2π,3). (2)由正弦定理及(1)得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝2eq \r(3)，从而AC＝2eq \r(3)sin B，AB＝2eq \r(3)sin (π－A－B)＝3cos B－eq \r(3)sin B． 故BC＋AC＋AB＝3＋eq \r(3)sin B＋3cos B＝3＋2eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3))). 又0＜B＜eq \f(π,3)，所以当B＝eq \f(π,6)时，△ABC周长取得最大值3＋2eq \r(3). 先利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理和辅助角公式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的性质求解．　 $$