8.6.2 直线与平面垂直(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第八章　立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.2　直线与平面垂直 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学1 直线与平面垂直的判定 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面 垂足 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 l⊥α 一条 垂足间 长度 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 两条相交直线 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学2 直线与平面所成的角 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 斜线 斜足 垂足O和斜足A 射影 锐角 ∠PAO 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 90° 0° 0°≤θ≤90° 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学3 直线与平面垂直的性质定理 平行 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 平行 任意一点 平行 距离 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.了解直线与平面垂直的定义． 2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点) 3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(重点、难点) 1.通过直线与平面垂直的定义的学习，培养数学抽象和直观想象等核心素养． 2．借助直线与平面垂直的判定定理，提升逻辑推理等核心素养． 3．通过直线与平面所成角的求解，培养数学运算素养. 鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直． 若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？ [提示]　不一定． 用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ [提示]　不能． 上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ [提示]　直线垂直于平面内的两条相交直线． ◎结论形成 1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面α内的__________直线都_____，就说直线l与平面α互相垂直，记作________.直线l叫做平面α的_____，平面α叫做直线l的________.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做________. (2)图形语言：如图． 画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． (3)符号语言：任意a⊂α，都有 l⊥a⇒________. (4)结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有________. 2．点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与________的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的_____叫做这个点到该平面的距离． 3．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的_______________都垂直，则该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 __________________________________________⇒l⊥α 作用 由线线垂直证明线面垂直 斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系．其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁．其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料．斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成． 图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？ [提示]　不同． 能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？ [提示]　能． 直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗？ [提示]　能． ◎结论形成 1．射影 一条直线l与一平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的_____，斜线与平面的交点A叫做________.过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO，过__________________的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影． 2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的_____叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，_________就是斜线AP与平面α所成的角． (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是________. (3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是_____. (4)线面角θ的范围：__________________. 1.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____ 图形语言 符号语言 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b 作用 由线面垂直证明线线平行 2.直线到平面的距离 一条直线与一个平面_____时，这条直线上__________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．平面与平面间的距离 如果两个平面_____，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的_____都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(　　) (2)直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.(　　) (3)如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线．(　　) (4)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 解析　直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边． 答案　B 3．直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与平面α的位置关系是(　　) A．a∥α B．a⊥α C．a⊂α D．a⊂α或a∥α 解析　a⊥b，b⊥α，则a⊂α或a∥α，故选D. 答案　D 4．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝eq \r(2)，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成角的大小为_______． 解析　如图，由长方体的性质可知，B1D1为斜线BD1在底面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角． 在Rt△BD1B1中， tan∠BD1B1＝eq \f(BB1,B1D1)＝eq \f(\r(3),3)，∴∠BD1B1＝eq \f(π,6). 答案　eq \f(π,6) eq \x(题型一　直线与平面垂直的判定) 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC. [证明]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直径， ∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC. 1．使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决． 2．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义． (2)线面垂直的判定定理．　 [触类旁通] 1.如图，在三棱锥S ­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC. 一题多变)eq \x(题型二　直线与平面所成的角 ) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求直线A1B和平面AA1D1D所成的角； (2)求直线A1B和平面A1DCB1所成的角． [解析]　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B和平面AA1D1D所成的角是45°. (2)连接BC1，B1C，BC1与B1C相交于点O，连接A1O，如图所示．设正方体的棱长为a. ∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1， ∴A1B1⊥平面BCC1B1， ∴A1B1⊥BC1， 又BC1⊥B1C， ∴BC1⊥平面A1DCB1， ∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角． 在Rt△A1BO中，A1B＝eq \r(2)a，BO＝eq \f(\r(2),2)a， ∴BO＝eq \f(1,2)A1B. ∴∠BA1O＝30°. ∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. [母题变式] 条件不变，求A1B和平面BB1D1D所成的角． 解析　连接A1C1交B1D1于点M，连接BM，如图所示． ∵A1M⊥B1D1，BB1⊥A1M，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1M⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BM就是A1B与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为1，则A1B＝eq \r(2)，A1M＝eq \f(\r(2),2). 又∵∠A1MB＝90°， ∴sin ∠A1BM＝eq \f(A1M,A1B)＝eq \f(1,2)， 又0°≤∠A1BM≤90°， ∴∠A1BM＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. [素养聚焦]　通过直线与平面所成角的求解，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 (1)确定斜线与平面的交点(斜足)． (2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角． (3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．　 [触类旁通] 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 解析　如图由题意可知∠B1DB和∠DB1A分别是B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，所以∠B1DB＝∠DB1A＝30°，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，根据题意有eq \f(b,\r(a2＋c2))＝tan 30°，即a2＋c2＝3b2①，同理有a2＋b2＝3c2②，由①和②可得a＝eq \r(2)b，所以AB＝eq \r(2)AD，A错误；所以AC＝eq \r(3)b，CB1＝eq \r(2)b，C错误；过B做BM⊥AB1于M，则BM⊥平面AB1C1D，∠BAB1是AB与平面AB1C1D所成的角，sin∠BAB1＝eq \f(c,\r(a2＋c2))＝eq \f(\r(3),3)，所以B错误；∠DB1C是B1D与平面BB1C1C所成的角，sin∠DB1C＝eq \f(DC,B1D)＝eq \f(\r(2)b,2b)＝eq \f(\r(2),2)，∠DB1C＝eq \f(π,4)，故选D. 答案　D eq \x(题型三　直线与平面垂直的性质定理的应用) 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. [证明]　因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D， 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 证明线线平行常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．　 [触类旁通] 3．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l. 证明　因为EA⊥α，α∩β＝l， 即l⊂α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB.又EA∩EB＝E， 所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l. 知识落实 技法强化 (1)直线与平面垂直的定义． (2)直线与平面垂直的判定定理． (3)直线与平面所成的角. 判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直. $$