8.4.1 平面(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第八章　立体几何初步 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8．4.1　平面 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学1 平面 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 无限延展 平行四边形 45° 2 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 虚线 平面α 平面AC 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学2 平面的基本性质 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 不在一条直线上 两个点 l⊂α 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 公共直线 α∩β＝l且P∈l 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 一条直线 这条直线外一点 两条相交直线 两条平行直线 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第八章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法． 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用．(难点) 1.通过掌握平面的画法及用符号语言表示点、线、面的位置关系，培养数学抽象和直观想象等核心素养． 2．根据三个基本事实，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养. 几何里的“平面”有边界吗？ [提示]　没有． 在几何里，用什么图形来表示平面？ [提示]　平行四边形． ◎结论形成 1．平面的概念 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等类似这样的一些物体中抽象出来的，类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周__________的． 2．平面的画法 我们常用矩形的直观图，即_____________表示平面，它的锐角通常画成________，且横边长等于其邻边长的___倍，如图1. 图1　　　　　　　　图2　　 如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用_____画出来，如图2. 3．平面的表示法 图1的平面可表示为________、平面ABCD、__________或平面BD. 两张纸面相交有几条直线？ [提示]　一条． 若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？ [提示]　在桌面上． 为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？ [提示]　撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上． 　点A在直线l上，点B在直线外，点A在平面α内，点P在平面α外分别怎样表示？ [提示]　A∈l，B∉l；A∈α，P∉α ◎结论形成 1．平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过__________________的三点，有且只有一个平面(可以简单地说成“不共线的三点确定一个平面”) A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒________ 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________ P∈α，P∈β⇒________________ 2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论： 推论1　经过__________和__________________，有且只有一个平面． 推论2　经过_______________，有且只有一个平面． 推论3　经过_______________，有且只有一个平面． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．(　　) (2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．(　　) (3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A.(　　) (4)过三点A，B，C有且只有一个平面．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　) A．A∈l，l∉α　　　　　 B．A∈l，l⊄α C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∉α 答案　B 3．(多选题)下列说法中，不正确的有(　　) A．书桌面是平面 B．8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚 C．有一个平面的长是100 m，宽是90 m D．平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念 解析　A错误，因为平面具有延展性；B错误，平面无厚度；C错误，因为平面无厚度、大小之分；D正确，符合平面的概念． 答案　ABC 4．下列图形中，不一定是平面图形的是(　　) A．三角形 B．菱形 C．梯形 D．四边相等的四边形 解析　三角形有两条相交直线，梯形和菱形中都有两条平行直线，所以它们均为平面图形，而四边相等的四边形不一定是平面图形． 答案　D eq \x(题型一　平面的概念与基本事实) (1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001 cm (2)若点A在直线b上，直线b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作(　　) A．A∈b∈β　　　　　　 B．A∈b⊂β C．A⊂b⊂β D．A⊂b∈β [解析]　(1)平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，A，B两种说法是正确的；C，D两种说法是错误的． [答案]　(1)AB　(2)B 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．　 [触类旁通] 1．(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作(　　) A．A∈b∈β　　　　　 B．A∈b⊂β C．A⊂b⊂β D．A⊂b∈β (2)如图所示，用符号语言可表述为(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 答案　(1)B　(2)A 一题多解)eq \x(题型二　点线共面问题 ) 求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内． [证明]　已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B， AC∩BC＝C. 求证：直线AB，BC，AC共面． 证法一　因为AC∩AB＝A， 所以直线AB，AC可确定一个平面α. 因为B∈AB，C∈AC， 所以B∈α，C∈α，故BC⊂α. 因此直线AB，BC，AC都在平面α内， 所以直线AB，BC，AC共面． 证法二　因为A不在直线BC上， 所以点A和直线BC可确定一个平面α. 因为B∈BC，所以B∈α， 又A∈α，所以AB⊂α. 同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面． 证法三　因为A，B，C三点不在同一条直线上， 所以A，B，C三点可以确定一个平面α. 因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α， 同理BC⊂α，AC⊂α， 故直线AB，BC，AC共面． 多线共面的证明方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内． (2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．　 [触类旁通] 2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面． 证明　如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面． eq \x(题型三　点共线与线共点问题) 如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线． [证明]　∵MN∩EF＝Q， ∴Q∈直线MN，Q∈直线EF， 又∵M∈直线CD，N∈直线AB， CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD. ∴M、N∈平面ABCD， ∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD. 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1 又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线． [素养聚焦]　通过点共线、线共点的证明，把直观想象和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 点共线与线共点的证明方法 (1)点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上． (2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．　 [触类旁通] 3．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点． 证明　因为梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰， 所以AB，CD必定相交于一点， 如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α，且M∈β， 又因为α∩β＝l， 所以M∈l.即AB，CD，l共点． 知识落实 技法强化 (1)平面的概念． (2)基本事实及应用． (3)共面、共线、共点问题. 三种语言要会相互转换. $$