6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学 测量中的术语 线段 越高 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 1.基线 在测量过程中，把根据测量的需要而确定的_____叫做基线．基线越长，测量的精确度________. 2．仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图． 3．方位角和方向角 从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角．如图，目标A的方位角为135°. 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如图，北偏东30°，南偏东45°. 4．视角 观察物体的两端视线张开的角度．如图． 5．坡角与坡度 坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝\f(h,l))).如图． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　) (2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．(　　) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　) (4)为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为(30＋10eq \r(3))m.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α＞β　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B. 答案　B 3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　) A.eq \r(2)a km B.eq \r(3)a km C．a km D．2a km 解析　△ABC中，AC＝BC＝a (km)，∠ACB＝90°， 所以AB＝eq \r(2)a (km)． 答案　A 4．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为(　　) A．α＋β B．α－β C．β－α D．α 解析　如图所示，AB表示为建筑物，从地面上C点观察，由已知得∠BCA＝α，∠BCO＝β，则山顶的仰角为∠OCA， ∴∠OCA＝∠BCO－∠BCA＝β－α. 答案　C 一题多解)eq \x(题型一　距离问题 ) 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距eq \f(\r(3),2)a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离． [解析]　解法一　∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°. ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°， ∴AD＝CD＝eq \f(\r(3),2)a (km)． 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠DBC)，得 BD＝CD·eq \f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq \f(\r(3),2)a·eq \f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2)) ＝eq \f(3＋\r(3),4)a(km)． 在△ADB中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB ＝eq \f(3,4)a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))2－2·eq \f(3＋\r(3),4)a·eq \f(\r(3),2)a·eq \f(\r(3),2) ＝eq \f(3,8)a2， ∴AB＝eq \f(\r(6),4)a (km)． 故蓝方这两支精锐部队间的距离为eq \f(\r(6),4)a km. 解法二　在△BCD中， ∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理，得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(CD,sin 45°)， 则BC＝eq \f(CDsin 30°,sin 45°)＝eq \f(\r(6),4)a (km)， 在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ACD为等边三角形． 因为∠ADB＝∠BDC， 所以BD为正△ACD的AC边上的中垂线， 所以AB＝BC＝eq \f(\r(6),4)a (km)． 测量不能到达的两点间的距离的方法及关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方法． (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算．　 [触类旁通] 1.如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点之间的距离是(　　) A．20eq \r(2) m　　　　　　 B．20eq \r(3) m C．40eq \r(2) m D．20eq \r(6) m 解析　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40 (m)，BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝40eq \r(2)(m)． 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC＝eq \f(CDsin 30°,sin 45°)＝20eq \r(2) (m)． 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝BC2＋AC2－2BC×AC×cos∠BCA ＝(40eq \r(2))2＋(20eq \r(2))2－2×40eq \r(2)×20eq \r(2)cos 60° ＝2 400， ∴AB＝20eq \r(6) (m)， 故A，B两点之间的距离为20eq \r(6) m. 答案　D eq \x(题型二　高度问题) 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m) [解析]　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端． 依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 (m)， 则∠ABD＝100°， 故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°. 在△ABD中，根据正弦定理，得eq \f(BD,sin 60°)＝eq \f(AB,sin∠ADB). ∴BD＝eq \f(AB·sin 60°,sin 20°)＝eq \f(15.2·sin 60°,sin 20°)≈38.5(m)． 在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)， 即泉城广场上泉标的高约为38 m. [素养聚焦]　通过正弦定理解决高度问题，把数学建模和数学运算等核心素养体现在解题过程中． (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形． (2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．　 [触类旁通] 2．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交会处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构．现在在塔底共线三点A，B，C处分别测得塔顶的仰角为30°，45°，60°，且AB＝BC＝eq \f(70\r(6),9) m，则文星塔高为(　　) A．20 m B.eq \f(70,3) m C.eq \f(80,3) m D．30 m 解析　设建筑物的高为PO＝h (m)，用h表示PA，PB，PC，利用cos∠PBA＋cos∠PBC＝0结合余弦定理求出h的值，即可得解． 如图所示： 设建筑物的高为PO＝h (m)，则PA＝eq \f(h,sin 30°)＝2h，PB＝eq \f(h,sin 45°)＝eq \r(2)h，PC＝eq \f(h,sin 60°)＝eq \f(2\r(3),3)h， 由余弦定理可得 cos∠PBA＝eq \f(PB2＋AB2－PA2,2PB·AB)＝eq \f(AB2－2h2,2AB×\r(2)h)， cos∠PBC＝eq \f(PB2＋BC2－PC2,2PB·BC)＝eq \f(\f(2,3)h2＋AB2,2\r(2)h×AB)， 因为∠PBA＋∠PBC＝π， 故cos∠PBA＋cos∠PBC＝cos∠PBA＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠PBA))＝0， 即eq \f(AB2－2h2,2AB×\r(2)h)＋eq \f(\f(2,3)h2＋AB2,2\r(2)h×AB)＝0， 可得h＝eq \f(\r(6),2)AB＝eq \f(\r(6),2)×eq \f(70\r(6),9)＝eq \f(70,3) (m)． 故选B. 答案　B eq \x(题型三　角度问题) 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq \r(3)) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq \r(3) n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？ [解析]　由题意，知AB＝5(3＋eq \r(3))(n mile)， ∠DBA＝90°－60°＝30°， ∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得eq \f(BD,sin∠DAB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)， 即BD＝eq \f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝eq \f(53＋\r(3)sin 45°,sin 105°) ＝eq \f(53＋\r(3)sin 45°,sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°)＝10eq \r(3)(n mile)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°， BC＝20eq \r(3)(n mile)， ∴在△DBC中，由余弦定理，得 CD＝eq \r(BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC) ＝ eq \r(300＋1 200－2×10\r(3)×20\r(3)×\f(1,2)) ＝30(n mile)， 则救援船到达D点需要的时间为eq \f(30,30)＝1(h)． 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．　 [触类旁通] 3．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解析　设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图， 则有CD＝10eq \r(3)t (n mile)，BD＝10t(n mile)， 在△ABC中，∵AB＝(eq \r(3)－1) (n mile)，AC＝2(n mile)，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2·(eq \r(3)－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC＝eq \r(6)(n mile)， 且sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)， ∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角． ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)， ∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船． 知识落实 技法强化 (1)不可到达的距离问题． (2)不可到达的高度问题． (3)不可到达的角度问题. 方位角是易错点. $$