6.4.3 第2课时 正弦定理(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学 正弦定理 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 正弦 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2. 求△ABC的其他边和角． [提示]　B＝60°，C＝90°，a＝1，b＝eq \r(3). 试计算eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)的值，三者有何关系？ [提示]　eq \f(a,sin A)＝2，eq \f(b,sin B)＝eq \f(\r(3),sin 60°)＝2，eq \f(c,sin C)＝2，三者的值相等． 对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ [提示]　是．如图，∵sin A＝eq \f(a,c)， ∴eq \f(a,sin A)＝c.∵sin B＝eq \f(b,c)，∴eq \f(b,sin B)＝c. ∵sin C＝1，∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). 　在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝eq \r(3)，试求其他边和角． [提示]　如图，△ACD为直角三角形，C＝30°，AC＝eq \r(3)， 则AD＝eq \f(\r(3),2)，CD＝eq \f(3,2)， BC＝3，AB＝eq \r(3)，∠BAC＝120°. 　问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径 符号语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＝______＝________＝2R eq \f(b,sin B) eq \f(c,sin C) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　) (2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．(　　) (3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　) (4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　　　　　 B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2) 解析　由于eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，故eq \f(15,\f(\r(3),2))＝eq \f(10,sin B)， 解得sin B＝eq \f(\r(3),3). 答案　A 3．在△ABC中，a＝5，b＝3，则eq \f(sin A,sin B)＝(　　) A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7) 解析　根据正弦定理，得eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,b)＝eq \f(5,3). 答案　A 4．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则eq \f(a,sin A)＝_______. 解析　eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,\f(1,2))＝4. 答案　4 eq \x(题型一　已知三角形两角及一边解三角形) (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝120°，a＝2，则b的值为(　　) A．2eq \r(2)　　　　　　　　　 B.eq \r(6) C．2eq \r(3) D．3eq \r(2) [解析]　由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(2,\f(\r(2),2))＝eq \f(b,\f(\r(3),2))⇒b＝eq \r(6)，故选B. [答案]　B (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝(　　) A．1 B．2 C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(5) [解析]　由sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，得B＝eq \f(π,6)，则A＝eq \f(2π,3). 根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝1. [答案]　A 已知两角及一边类型的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．　 [触类旁通] 1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝eq \f(3,5)，cos B＝eq \f(5,13)，b＝3，则c＝_______. 解析　在△ABC中，∵cos A＝eq \f(3,5)＞0， ∴sin A＝eq \f(4,5). ∵cos B＝eq \f(5,13)＞0，∴sin B＝eq \f(12,13). ∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(56,65). 由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(14,5). 答案　eq \f(14,5) 一题多变)eq \x(题型二　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形 ) 在△ABC中，已知c＝eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解这个三角形． [解析]　由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)， 得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(6)sin 45°,2)＝eq \f(\r(3),2)， ∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°， b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 75°,sin 60°)＝eq \r(3)＋1； 当C＝120°时，B＝15°， b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 15°,sin 120°)＝eq \r(3)－1. ∴b＝eq \r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq \r(3)－1，B＝15°，C＝120°. [母题变式] 把例2中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 解析　由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)， 得sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(2×\f(\r(2),2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3). ∵c＝eq \r(6)>2＝a，∴C>A. ∴A为小于45°的锐角，且正弦值为eq \f(\r(3),3)，这样的角A只有一个，即A只有1个值． [素养聚焦]　利用解三角形时解的个数的判断，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中． 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．　 [触类旁通] 2．(多选题)在△ABC中，a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，则c＝(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3) 解析　由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2). ∵a<b，∴B>A＝30°.∴B为60°或120°. ①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(1＋3)＝2. ②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c＝a＝1. 答案　AB 一题多解)eq \x(题型三　判断三角形的形状 ) 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状． [解析]　解法一　由已知得eq \f(a2sin B,cos B)＝eq \f(b2sin A,cos A)， 由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)， 得eq \f(4R2sin2Asin B,cos B)＝eq \f(4R2sin2Bsin A,cos A)， sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，即2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法二　由已知得eq \f(a2sin B,cos B)＝eq \f(b2sin A,cos A)， 由正弦定理sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)(R为△ABC的外接圆半径)， 得acos A＝bcos B， 即sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，即2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． (1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断． (2)判断三角形的形状，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．　 [触类旁通] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－c))＝3ab，且sin2C＝sin A·sin B，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰且非等边三角形 D．等腰直角三角形 解析　由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b－c))＝3ab得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理的推论得cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，又0°<C<180°，则C＝60°， 由正弦定理及sin2C＝sin Asin B得c2＝ab，于是得a2＋b2－2ab＝0，整理得a＝b，所以△ABC是等边三角形．故选B. 答案　B 知识落实 技法强化 (1)正弦定理及推论． (2)利用正弦定理解三角形． (3)三角形解的个数的判断． (4)利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状. 已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论. $$