6.4.3 第1课时 余弦定理(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 第1课时　余弦定理 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学1 余弦定理 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 其他两边的平方的和减去这两 边与它们夹角的余弦的积的两倍 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学2 解三角形 元素 解三角形 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握余弦定理、正弦定理的形式及证明方法． 2．会运用余弦定理、正弦定理解决基本的解三角形问题．(重点、难点) 3．能够利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状．(重点) 4．能利用余弦定理、正弦定理解决生活中的实际问题．(重点) 1.通过余弦定理、正弦定理的推导，培养数学抽象等核心素养． 2．根据余弦定理、正弦定理解三角形，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 3．通过实际问题转化为数学问题，培养学生数学建模等核心素养. 在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°. 这个三角形确定吗？ [提示]　确定． 能否利用平面向量求边BC？如何求得？ [提示]　能． ∵eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→))， ∴|eq \o(BC,\s\up17(→))|2＝|eq \o(AB,\s\up17(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up17(→))|2－2eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝|eq \o(AB,\s\up17(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up17(→))|2－2|eq \o(AB,\s\up17(→))||eq \o(AC,\s\up17(→))|cos A ＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7. ∴|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝eq \r(7). 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，利用问题2的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a? [提示]　能． ◎结论形成 余弦定理 公式 表达 a2＝_____________________________， b2＝_____________________________， c2＝_____________________________ 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于____________________________ _________________________________ 推论 cos A＝_________，cos B＝___________，cos C＝__________ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(a2＋c2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_____________. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(　　) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．(　　) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，a＝5，b＝7，c＝8，则角B＝(　　) A．90°　　　　　　　 B．120° C．60° D．30° 解析　由余弦定理，得 cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(52＋82－72,2×5×8)＝eq \f(1,2)， 又∵0°<B<180°， ∴B＝60°. 答案　C 3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A＝(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 解析　由cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，∴A＝120°. 答案　C 4．在△ABC中，已知a＝2，b＝2eq \r(2)，C＝15°，则A＝_______. 解析　由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4eq \r(3)， 所以c＝eq \r(6)－eq \r(2). 由余弦定理，得cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2)， 又A为△ABC的内角，所以A＝eq \f(π,6). 答案　eq \f(π,6) eq \x(题型一　已知两边及一角解三角形) (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则c＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．8 [解析]　因为C＝60°，a＝5，b＝8， 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋82－2×5×8×eq \f(1,2)＝49， 解得c＝7(负值舍去)．故选A. [答案]　A (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cos A＝eq \f(\r(3),2)，且b<c，则b＝(　　) A.eq \r(3) B．2 C．2eq \r(2) D．3 [解析]　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得22＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)))2－2×b×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)， 化简得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4， 因为b<c，所以b＝2. [答案]　B 解决“已知两边及一角”解三角形问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　 [触类旁通] 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq \f(1,3)，则c＝(　　) A．4　　　　　　　　　 B.eq \r(15) C．3 D.eq \r(17) 解析　cos C＝－cos (A＋B)＝－eq \f(1,3). 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝9＋4－2×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17， 所以c＝eq \r(17). 答案　D 一题多变)eq \x(题型二　已知三角形的三边解三角形 ) 在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C. [解析]　根据余弦定理，得 cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝eq \f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,26＋2\r(3)4\r(3))＝eq \f(\r(3),2). ∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6)， cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(2),2)， ∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4). ∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)＝eq \f(7,12)π， ∴A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(7,12)π，C＝eq \f(π,4). [母题变式] 已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，求△ABC中各角的度数． 解析　已知a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq \r(6)k，c＝(eq \r(3)＋1)k(k＞0)， 由余弦定理的推论，得 cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(6)2＋\r(3)＋12－22,2×\r(6)×\r(3)＋1)＝eq \f(\r(2),2)， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(22＋\r(3)＋12－\r(6)2,2×2×\r(3)＋1)＝eq \f(1,2)， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． (2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．　 [触类旁通] 2．(1)在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则C＝(　　) A．60° B．45°或135° C．120° D．30° (2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos B＝(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),3) 解析　(1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2－c2＋b2＝2abcos C．∴ab＝2abcos C. ∴cos C＝eq \f(1,2).∴C＝60°. (2)cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq \f(3,4). 答案　(1)A　(2)B 一题多变)eq \x(题型三　判断三角形的形状 ) 在△ABC中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC的形状． [解析]　(角化边)∵(a－c·cos B)·b ＝(b－c·cos A)·a， ∴由余弦定理可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a， 整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2. ∴a2＋b2＝c2或a＝b. 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． [母题变式] 将例3中的条件“(a－ccos B)·b＝(b－ccos A)·a”换为“acos A＋bcos B＝ccos C”，其他条件不变，试判断三角形的形状． 解析　由余弦定理知cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)， cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)，cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)， 代入已知条件，得 a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq \f(c2－a2－b2,2ab)＝0， 通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2， 即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形． [素养聚焦]　利用三角形形状的判断，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：一是化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；二是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式．　 [触类旁通] 3．(1)在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形　　　　　 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 (2)在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))2＝0，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析　(1)在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理可得， a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°，可得△ABC一定是等边三角形． (2)因为eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))2＝0， 所以accos (π－B)＋c2＝0， 所以accos B＝c2， 由余弦定理的推论可得ac×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝c2， 所以b2＋c2＝a2， 所以△ABC是直角三角形． 答案　(1)D　(2)B 知识落实 技法强化 (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)利用余弦定理判断三角形的形状. 解三角过程中易忽略三角形中的隐含条件. $$