7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．如下图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B. C．2 D．3 解析　由题图可知z1＝－2－2i，z2＝i， 所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝. 答案　B 2．(多选题)下列运算结果为2＋4i的是(　　) A．(1＋i)＋(1－3i) B．(2＋i)＋(2－3i) C．(1＋i)－(－1－3i) D．(3＋2i)－(1－2i) 解析　(1＋i)＋(1－3i)＝2－2i； (2＋i)＋(2－3i)＝4－2i； (1＋i)－(－1－3i)＝2＋4i； (3＋2i)－(1－2i)＝2＋4i. 答案　CD 3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 解析　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i ＝5＋(1＋a)i. ∵z1＋z2所对应的点在实轴上， ∴1＋a＝0，解得a＝－1. 答案　D 4．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是(　　) A．2＋14i B．1＋7i C．2－14i D．－1－7i 解析　依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i. 答案　D 5．设复数z满足z＋i＝3－2i，则z与其共轭复数在复平面内对应点间的距离为________． 解析　由z＋i＝3－2i，得z＝3－3i，＝3＋3i， 所以z与在复平面内的对应点分别为(3，－3)，(3,3)，可得两点间的距离为6. 答案　6 6．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________. 解析　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i. 由题意知 ∴或∴z＝2±i. 答案　2±i 7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________. 解析　因为z＋2i是实数，所以可设z＝a－2i(a∈R)， 由|z|＝4，得a2＋4＝16， 所以a2＝12，所以a＝±2， 所以z＝±2－2i. 答案　±2－2i 8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2. 解析　z＝z1－z2 ＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i] ＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i ＝(5x－3y)＋(x＋4y)i， 又∵z＝13－2i，且x，y∈R， ∴解得 ∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i， z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题为真命题的是(　　) A．z＋∈R B．z－是纯虚数 C．若z＝cos ＋isin ，则|z|＝1 D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2 解析　因为复数z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋∈R，A为真命题； 当z为实数时，也为实数，则z－是实数，B为假命题； 若z＝cos ＋isin ， 则|z|＝≠1，C为假命题； |z－i|＝1表示以点(0,1)为圆心，1为半径的圆，结合图形(图略)知，|z|的最大值为圆心到原点的距离与半径之和，即为1＋1＝2，D为真命题． 答案　AD 10．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　) A．3－2 B.－1 C．3＋2 D.＋1 解析　|z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)| ＝ ＝ ＝≤＝＋1. 答案　D 11．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)，则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限． 解析　因为z1－z2＝－2＋2i，所以对应点(－2,2)在第二象限． 答案　二 12．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________． 解析　＝－＝－(＋) ＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i. 答案　4－4i 13．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解析　∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi， ∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i， ∴解得 ∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. [学科素养·探索创新] 14．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析　根据复数加(减)法的几何意义，可知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形． 答案　B 15．设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(a2－10)i，z2＝＋(2a－5)i(其中a∈R)，若z1＋z2可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设Z1Z2中点为Z，求||. 解析　(1)z1＋z2＝＋(a2－10＋2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i； ∵z1＋z2可与任意实数比较大小， ∴z1＋z2为实数， ∴解得a＝3. ∴z1＝－i，z2＝－1＋i， ∴向量对应的复数为 (－1＋i)－＝－＋2i. (2)Z1Z2的中点Z对应的复数为 z＝＝－， ∴||＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$