6.2.2 向量的减法运算(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.2　平面向量的运算 6．2.2　向量的减法运算 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及变换 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学1 相反向量 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 相等 相反 相反 －a 零向量 0 0 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学2 向量的减法 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 相反 差 起点 起点 终点 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点) 2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点、难点) 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算. 1.类比实数减法运算的定义，导出向量减法运算，培养逻辑推理和数学抽象等核心素养． 2．通过向量减法运算的三角形法则，提升直观想象和逻辑推理等核心素养. 一个数a的相反数是什么？ [提示]　－a. 一个向量有相反向量吗？ [提示]　有，向量a的相反向量是－a. ◎结论形成 1．定义：与向量a长度_____，方向_____的向量，叫做a的_____向量，记作_____. 2．性质 (1)零向量的相反向量仍是__________. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝___. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝___. 两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？ [提示]　不是，是零向量． 根据向量加法，如何求作a－b? [提示]　①先作出－b；②再按三角形法则或平行四边形法则进行． ◎结论形成 1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量，相当于加上这个向量的_____向量，求两个向量___的运算，叫做向量的减法． 2．几何意义：在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，则向量a－b＝eq \o(BA,\s\up17(→))，如图所示． 3．文字叙述：如果把两个向量的_____放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为_____，被减向量的终点为_____的向量． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于0.(　　) (2)两个相反向量之差等于0.(　　) (3)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，若eq \o(BA,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，则eq \o(CA,\s\up17(→))＝(　　) A．a　　　　　　 B．a＋b C．b－a D．a－b 解析　eq \o(CA,\s\up17(→))＝eq \o(BA,\s\up17(→))－eq \o(BC,\s\up17(→))＝a－b.故选D. 答案　D 3．(多选题)非零向量m与n是相反向量，下列叙述正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．m与n是方向相反 解析　∵m与n是相反向量， ∴m＝－n，|m|＝|n|，m与n方向相反． 故选BCD. 答案　BCD 4．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|＝_______. 解析　由题意，得|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|＝|eq \o(DB,\s\up17(→))|＝eq \r(2). 答案　eq \r(2) eq \x(题型一　向量减法运算) (1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且eq \o(BP,\s\up17(→))＝eq \o(QC,\s\up17(→))，则化简eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(AP,\s\up17(→))－eq \o(AQ,\s\up17(→))的结果为(　　) A．0　　　　　　　 B.eq \o(BP,\s\up17(→)) C.eq \o(PQ,\s\up17(→)) D.eq \o(PC,\s\up17(→)) (2)化简：①eq \o(NQ,\s\up17(→))－eq \o(PQ,\s\up17(→))－eq \o(NM,\s\up17(→))－eq \o(MP,\s\up17(→))； ②(eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(CD,\s\up17(→)))－(eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(BD,\s\up17(→)))． (1)[解析]　eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(AP,\s\up17(→))－eq \o(AQ,\s\up17(→))＝(eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AP,\s\up17(→)))＋(eq \o(AC,\s\up17(→))－eq \o(AQ,\s\up17(→)))＝eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(QC,\s\up17(→))＝eq \o(QC,\s\up17(→))－eq \o(BP,\s\up17(→))＝0. [答案]　A (2)[解析]　①原式＝eq \o(NP,\s\up17(→))＋eq \o(MN,\s\up17(→))－eq \o(MP,\s\up17(→))＝eq \o(NP,\s\up17(→))＋eq \o(PN,\s\up17(→))＝eq \o(NP,\s\up17(→))－eq \o(NP,\s\up17(→))＝0. ②原式＝eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(CD,\s\up17(→))－eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→)) ＝(eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AC,\s\up17(→)))＋(eq \o(DC,\s\up17(→))－eq \o(DB,\s\up17(→)))＝eq \o(CB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝0. 向量减法运算的常用方法 　 [触类旁通] 1．化简：(1)eq \o(OA,\s\up17(→))－eq \o(OD,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))； (2)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))－eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(CA,\s\up17(→)). 解析　(1)解法一　eq \o(OA,\s\up17(→))－eq \o(OD,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＝0. 解法二　eq \o(OA,\s\up17(→))－eq \o(OD,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(OD,\s\up17(→))＝eq \o(OD,\s\up17(→))－eq \o(OD,\s\up17(→))＝0. (2)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))－eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(CA,\s\up17(→)) ＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(CB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→)))＋(eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CB,\s\up17(→)))＋eq \o(DA,\s\up17(→)) ＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→)) ＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝0＋eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→)). 一题多解)eq \x(题型二　已知向量作差向量 ) 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解析]　解法一　如图①，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a， eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，eq \o(OC,\s\up17(→))＝c，连接BC，则eq \o(CB,\s\up17(→))＝b－c.过点A作ADeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，连接OD，则eq \o(AD,\s\up17(→))＝b－c，所以eq \o(OD,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＝a＋b－c. 解法二　如图②，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(→))＝b，连接OB，则eq \o(OB,\s\up17(→))＝a＋b，再作eq \o(OC,\s\up17(→))＝c，连接CB，则eq \o(CB,\s\up17(→))＝a＋b－c. 解法三　如图③，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(→))＝b，连接OB，则eq \o(OB,\s\up17(→))＝a＋b，再作eq \o(CB,\s\up17(→))＝c，连接OC，则eq \o(OC,\s\up17(→))＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　 [触类旁通] 2.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解析　在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b， 则向量a－b＝eq \o(BA,\s\up17(→))，再作向量eq \o(BC,\s\up17(→))＝c，则向量eq \o(CA,\s\up17(→))＝a－b－c. eq \x(题型三　向量减法的几何意义的应用 一题多变) (1)在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))，若|eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(BA,\s\up17(→))|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形　　　　　　 B．矩形 C．正方形 D．不确定 (2)已知|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝6，|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝9，求|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|的取值范围． (1)[解析]　∵eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))，∴四边形ABCD为平行四边形，∵|eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(BA,\s\up17(→))|，∴|eq \o(BD,\s\up17(→))|＝|eq \o(AC,\s\up17(→))|.∴四边形ABCD为矩形． [答案]　B (2)[解析]　∵||eq \o(AB,\s\up17(→))|－|eq \o(AD,\s\up17(→))||≤|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|≤|eq \o(AB,\s\up17(→))|＋|eq \o(AD,\s\up17(→))|， 且|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝9，|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝6，∴3≤|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|≤15. 当eq \o(AD,\s\up17(→))与eq \o(AB,\s\up17(→))同向时，|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|＝3； 当eq \o(AD,\s\up17(→))与eq \o(AB,\s\up17(→))反向时，|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|＝15. ∴|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|的取值范围为[3,15]． [母题变式] 将例3(2)的条件改为“|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝8，|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝5”，求|eq \o(BD,\s\up17(→))|的取值范围． 解析　因为eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→))，|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝8，|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝5， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AD,\s\up17(→))|－|\o(AB,\s\up17(→))|))≤|eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→))|≤|eq \o(AD,\s\up17(→))|＋|eq \o(AB,\s\up17(→))|， 所以3≤|eq \o(BD,\s\up17(→))|≤13， 当eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(AD,\s\up17(→))同向时，|eq \o(BD,\s\up17(→))|＝3， 当eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(AD,\s\up17(→))反向时，|eq \o(BD,\s\up17(→))|＝13， 所以|eq \o(BD,\s\up17(→))|的取值范围是[3,13]． [素养聚焦]　利用向量减法的几何意义，把直观想象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 1．用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量． (2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题． 2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 (1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可． (2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．　 [触类旁通] 3．(1)在平行四边形ABCD中，若|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))|＝|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|，则必有(　　) A.eq \o(AD,\s\up17(→))＝0 B.eq \o(AB,\s\up17(→))＝0或eq \o(AD,\s\up17(→))＝0 C．平行四边形ABCD是矩形 D．平行四边形ABCD是正方形 (2)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a－b|的最小值为_______，最大值为_______． 解析　(1)在平行四边形ABCD中， |eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))|＝|eq \o(AB,\s\up17(→))－eq \o(AD,\s\up17(→))|， 即|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝|eq \o(DB,\s\up17(→))|，可得四边形ABCD是一个特殊的四边形——矩形． (2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a|－|b|))≤|a－b|≤|a|＋|b|. 答案　(1)C　(2)4　20 知识落实 技法强化 (1)向量的减法运算． (2)向量减法的几何意义． (3)向量加减法的混合运算． (4)向量加减法的综合应用. 忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. $$