6.2.1 向量的加法运算(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.2　平面向量的运算 6．2.1　向量的加法运算 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学1 向量加法的定义及运算法则 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 两个向量和 a＋b 三角形 0＋a a 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 平行四边形 位移 力 等号 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 导学2 向量加法的运算律 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 b＋a a＋(b＋c) 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第六章　平面向量及其应用 数学•必修　第二册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1.理解并掌握向量的加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律． 2．掌握向量的加法运算法则，能熟练地进行加法运算．(重点、难点) 3．数的加法与向量的加法的联系与区别. 1.通过向量的加法运算的三角形法则和平行四边形法则，培养逻辑推理、直观想象等核心素养． 2．根据向量的加法的运算和运算律，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 利用向量的方法表示，从景点O到景点A的位移为eq \o(OA,\s\up17(→))，从景点A到景点B的位移为eq \o(AB,\s\up17(→))，那么经过两次位移后的合位移是eq \o(OB,\s\up17(→))(如图所示)，这里向量eq \o(OA,\s\up17(→))，eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(OB,\s\up17(→))三者之间有什么关系？ [提示]　前两次位移的结果与合位移相同． 如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋中“马”的走法，如果“马”从A点分别经过B点和C点到D点，那么在图中的向量eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(AC,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→))三者之间有什么关系？ [提示]　eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(BD,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)). ◎结论形成 1．向量加法的定义 求_____________的运算，叫做向量的加法． 2．向量求和的法则 向量求和的法则 三角形 法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，则向量eq \o(AC,\s\up17(→))叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝___. 这种求向量和的方法，称为向量加法的________法则． 对于零向量与任意向量a，规定有a＋0＝________＝_____ eq \o(AC,\s\up17(→)) 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线___就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的_____________法则 (1)_____的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，___的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型． (2)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时_____成立. 向量 求和 的法 则 eq \o(OC,\s\up17(→)) 数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？ [提示]　是． 你能验证向量加法也满足结合律吗？ [提示]　如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． ◎结论形成 交换律 a＋b＝________ 结合律 (a＋b)＋c＝__________________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．　(　　) (4)|a＋b|＝|a|＋|b|.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.eq \o(CB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(BA,\s\up17(→))＝(　　) A.eq \o(DB,\s\up17(→))　　　　　　　　 B.eq \o(CA,\s\up17(→)) C.eq \o(CD,\s\up17(→)) D.eq \o(DC,\s\up17(→)) 答案　C 3．在四边形ABCD中，若eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))，则四边形是(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 答案　D 4．在正方形ABCD中，|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝1，则|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))|＝_______. 答案　eq \r(2) 一题多解)eq \x(题型一　已知向量作和向量 ) 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c. [解析]　解法一　可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，接着作向量eq \o(AB,\s\up17(→))＝c，则得向量eq \o(OB,\s\up17(→))＝a＋c，然后作向量eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，则向量eq \o(OC,\s\up17(→))＝a＋b＋c为所求． 解法二　三个向量不共线，用平行四边形法则来做．如图，(1)在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b； (2)作平行四边形AOBC，则eq \o(OC,\s\up17(→))＝a＋b； (3)再作向量eq \o(OD,\s\up17(→))＝c； (4)作平行四边形CODE， 则eq \o(OE,\s\up17(→))＝eq \o(OC,\s\up17(→))＋c＝a＋b＋c. 即eq \o(OE,\s\up17(→))即为所求． 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．　 [触类旁通] 1．如图，已知a，b，c，求作和向量a＋b＋c. 解析　作法：在平面内任取一点O，如图所示， 作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(→))＝b，eq \o(BC,\s\up17(→))＝c，则eq \o(OC,\s\up17(→))＝a＋b＋c. eq \x(题型二　向量加法运算及运算律的应用) (1)向量(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→)))＋(eq \o(BO,\s\up17(→))＋eq \o(BM,\s\up17(→)))＋eq \o(OP,\s\up17(→))化简后为(　　) A.eq \o(BC,\s\up17(→))　　　　　　　 B.eq \o(AB,\s\up17(→)) C.eq \o(AC,\s\up17(→)) D.eq \o(AM,\s\up17(→)) (2)(多选题)设a＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→)))＋(eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→)))，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b| [解析]　(1)向量(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→)))＋(eq \o(BO,\s\up17(→))＋eq \o(BM,\s\up17(→)))＋eq \o(OP,\s\up17(→)) ＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BO,\s\up17(→))＋eq \o(OP,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(BM,\s\up17(→))＝eq \o(AM,\s\up17(→)). (2)a＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→)))＋(eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))) ＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＝0， 所以0∥b，A正确；0＋b＝b，C正确； |0＋b|＝|0|＋|b|，D正确． [答案]　(1)D　(2)ACD 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.　 [触类旁通] 2．设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))； (2)eq \o(DB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(CA,\s\up17(→))； (3)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→)). 解析　(1)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))＋eq \o(CD,\s\up17(→)) ＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→)). (2)eq \o(DB,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(CA,\s\up17(→)) ＝(eq \o(DB,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→)))＋(eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CA,\s\up17(→))) ＝0eq \a\vs4\al(＋)0eq \a\vs4\al(＝)0. (3)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→)) ＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→)) ＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→)) ＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→))＝eq \o(AF,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→))＝0. eq \x(题型三　向量加法的实际应用) 在某地抗震救灾时，一架飞机先从A 地按北偏东35° 方向飞行800 km到达B地接受伤人员，然后从B地按南偏东55°方向飞行800 km将受伤人员送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移之和． [解析]　如图所示，设eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))分别表示飞机从A 地按北偏东35° 方向飞行800 km到达B地，从B地按南偏东55° 方向飞行800 km到达C 地． 则飞机飞行的路程是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up17(→))))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up17(→)))) ，两次飞行的位移的和是eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→)). 依题意，有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up17(→))))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up17(→))))＝800＋800＝1 600eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(km))， 因为∠ABC＝35°＋55°＝90° ， 所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up17(→))))＝eq \r(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up17(→))))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up17(→))))2))＝eq \r(8002＋8002)＝800eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(km)). 由题可知∠BAC＝45° ，所以方向为北偏东35°＋45°＝80° ， 故飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移之和的大小为800eq \r(2) km，方向为北偏东80°. [素养聚焦]　利用向量加法的实际应用，把数学建模等核心素养体现在解题过程中． 向量加法的实际问题的解题步骤 (1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量． (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和． (3)利用直角三角形知识解决问题．　 [触类旁通] 3．在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 解析　作出图形如图： 船速v船与岸的方向所成角度为α，由图示可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，可知四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ABC中， eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＝v水＝10 (m/min)，eq \o(AD,\s\up17(→))＝v船＝20 (m/min)， 所以cos α＝eq \f(|\o(CD,\s\up17(→))|,|\o(AD,\s\up17(→))|)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)， 所以α＝60°，即船行进的方向与水流方向成120°角． 知识落实 技法强化 (1)向量加法的三角形法则． (2)向量加法的平行四边形法则． (3)向量三角不等式． (4)向量加法的运算律． (5)向量加法的实际应用. 使用向量加法的三角形法则时要注意向量首尾相接，使用平行四边形法则时要注意把向量移到共同起点. $$