6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．2 D．6 解析　依题意得6－m＝0，m＝6，选D. 答案　D 2．设向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)⊥c，则λ＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 解析　由题得a－λb＝(1＋λ，1－3λ)，由(a－λb)⊥c， 从而2×(1＋λ)＋1×(1－3λ)＝0， 解得λ＝3.故选A. 答案　A 3．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析　由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，所以·＝8×2＋(－4)×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形． 答案　A 4．(多选题)已知向量a＝，b＝，则(　　) A．a⊥b B．a与a－b夹角的余弦值为 C．向量a在向量b上的投影向量的模为 D．若c＝，则a⊥c 解析　对于A，由题意得，a·b＝－5≠0，故A不正确； 对于B，由题意得，a－b＝， 所以a与a－b夹角的余弦值为＝，故B正确； 对于C，易知＝＝＝－，所以向量a在向量b上的投影向量的模为，故C正确； 对于D，因为a＝，c＝，所以a·c＝2×＋1×＝0，所以a⊥c，故D正确． 故选BCD. 答案　BCD 5．已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________. 解析　∵a＋2b＝(1,5)， ∴a·(a＋2b)＝－1×1＋1×5＝4. 答案　4 6．已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________. 解析　由题意得(a－λb)·b＝0，即15－25λ＝0.解得λ＝. 答案　 7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________. 解析　∵a＝(3,1)，b＝(1,0)，∴c＝a＋kb＝(3＋k,1)， ∵a⊥c，∴a·c＝3(3＋k)＋1×1＝0， 解得k＝－， 故答案为－. 答案　－ 8．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解析　(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x) ＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0， 即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)， |a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， |a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2. [关键能力·综合提升] 9．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得 故b＝(－5,12)， 所以cos〈a，b〉＝＝. 答案　C 10．(多选题)已知a，b是平面内夹角为的两个单位向量，向量c在该平面内，且a·＝0，则下列结论正确的是(　　) A.＝1 B.＝1 C.⊥b D.的最小值为 解析　因为a，b是平面内夹角为的两个单位向量，所以设a＝(1,0)，b＝，设c＝(x，y)，又因为a·＝0，所以－x＝0，则x＝，y∈R， |a＋b|＝＝≠1，故A错误； |a－b|＝＝1，故B正确； a－c＝，·b＝－y＝－y，所以·b不一定等于0，故C错误； |c|＝＝≥，故D正确．故选B，D. 答案　BD 11．已知向量a＋b＋c＝0，＝1，＝＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. 解析　由已知可得(a＋b＋c)2＝0，展开化简后可得结果． 由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， 因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.故答案为－. 答案　－ 12．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________． 解析　以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． ∵AB＝，BC＝2， ∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)， ∵点E在边CD上， 且＝2， ∴E. ∴＝，＝， ∴·＝－＋4＝. 答案　 13．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解析　(1)由a＝(1,2)，得|a|＝＝， 又|c|＝2，所以|c|＝2|a|. 又因为c∥a，所以c＝±2a， 所以c＝(2,4)或c＝(－2，－4)． (2)因为a＋2b与2a－b垂直， 所以(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0， 将|a|＝，|b|＝代入，得a·b＝－. 所以cos θ＝＝－1， 又由θ∈[0，π]，得θ＝π， 即a与b的夹角为π. [学科素养·探索创新] 14．已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 解析　因为△ABC是锐角三角形， 所以A＋B>， 即0<－B<A<， 因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以sin A>sin ＝cos B， 所以p·q＝sin A－cos B>0， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝>0， 因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角． 答案　A 15．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)·＋λ(λ2≠λ)． (1)求·及在上的投影向量； (2)证明A，B，C三点共线，并在＝时，求λ的值； (3)求||的最小值． 解析　(1)·＝8，设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 设e为与同向的单位向量，则e＝， 所以在上的投影向量为 ||cos θe＝4×e＝2e＝(1，)． (2)＝－＝(－2,2)， ＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)，因为与有公共点B，所以A，B，C三点共线． 当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝162＋12. 所以当λ＝时，||取到最小值2. 学科网（北京）股份有限公司 $$