6.3.1 平面向量基本定理(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．若{e1，e2}是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A．{e1－e2，e2－e1}　　　 B. C．{2e2－3e1,6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1－e2} 解析　选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底． 答案　D 2．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E为BC的中点，则(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 解析　如图所示： 在三角形ABE中，＝＋＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＝＋. 故选A. 答案　A 3．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析　因为A，B，D三点共线， 所以存在实数t，使＝t， 则－＝t(－)． 所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t. 所以解得λ＝－. 答案　C 4．(多选题)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　) A．||＝||＝|| B.＋＋＝0 C.＝＋ D．S△MBC＝S△ABC 解析　如图，M为△ABC的重心，则＋＋＝0，A错误，B正确； ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，C错误； 由DM＝AM＝AD得S△MBC＝S△ABC，D正确． 答案　BD 5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________. 解析　因为a，b是一组基底，所以a与b不共线， 因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b， 所以解得 所以x－y＝3. 答案　3 6．如图，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设＝a，＝b，若用a，b表示向量，则＝________. 解析　以＝a，＝b作为以A点为公共起点的一组基底， 则＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b. 答案　a＋b 7．已知向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________. 解析　由条件可知解得 答案　　－ 8．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，求a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标． 解析　因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)， 所以a＝－2p＋2q＝(2,4)， 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)， 所以即 所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)如要e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题不正确的是(　　) A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 解析　选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对． 答案　BCD 10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 解析　连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧的两个三等分点， ∴＝， ∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°， ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO， ∴四边形ACDO为平行四边形， ＝＋. ∵＝＝a，＝b， ∴＝a＋b. 答案　D 11．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________. 解析　因为＝－＝x－y， 由∥，可设＝λ， 即x－y＝λ(－)＝λ－＋ ＝－＋λ，所以则＝. 答案　 12．如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用a和b表示)． 解析　设＝λ(λ∈R)， 则＝λ(＋)＝λ ＝λ＋λ. 因为D，O，B三点共线，所以λ＋λ＝1， 所以λ＝， 所以＝＋＝a＋b. 答案　a＋b 13.如图所示，▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线． (1)解析　＝－＝＋－ ＝a＋b－b＝a－b. (2)证明　连接AC，BD交于O，则＝， ∵E，F分别是BC，DC的中点， ∴G是△CBD的重心， ∴＝＝×＝， 又C为公共点，∴A，G，C三点共线． [学科素养·探索创新] 14．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. 解析　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作▱OMCN，使得M在射线OA上，N在射线OB上， ∴＝＋，又＝λ＋μ， ∴＝λOA，＝μ. 在Rt△OCM中， ∵||＝2， ∠COM＝30°，∠OCM＝90°， ∴||＝2，||＝4，∴＝4， 又||＝||＝2，∴＝2， ∴λ＝4，μ＝2， ∴λ＋μ＝6. 答案　6 15．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明{a，b}可以作为一组基底； (2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． (1)证明　若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底． (2)解析　设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2， 所以⇒ 所以c＝2a＋b. (3)解析　由4e1－3e2＝λa＋μb， 得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2， 所以⇒ 故所求λ，μ的值分别为3和1. 学科网（北京）股份有限公司 $$