6.2.4 向量的数量积(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　a·b＝1×2×cos ＝1，故选A. 答案　A 2．设单位向量a，b满足〈a，b〉＝60°，则＝(　　) A. B. C. D. 解析　∵＝＝1，〈a，b〉＝60°， ∴2＝2＝a24a·b＋4b2＝1＋4×＋4＝7， ∴＝. 故选D. 答案　D 3．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，e是与a同向的单位向量，则向量b在a方向上的投影向量为(　　) A．4e B．－4e C．2e D．－2e 解析　向量b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉e ＝4×cos 120°e＝－2e. 答案　D 4．(多选题)对于任意向量a，b，c，下列命题不正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ 解析　a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 所以|a|＝，所以D正确． 答案　AB 5．设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝， 又|a|＝1，|b|＝3， 所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11. 答案　11 6．已知平面向量a，b满足＝，＝1，a与b的夹角为45°，⊥a，则实数λ的值为________． 解析　由⊥a，得·a＝0， 即λb·a－a2＝0. 又＝，＝1，a，b的夹角为45°， 所以a·b＝cos 45°＝×1×＝1， 所以λ－2＝0，解得λ＝2. 答案　2 7．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________． 解析　设a与b的夹角为θ， ∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5， ∴|a|cos θ＝，＝， 即a在b上的投影向量为b. 答案　b 8．已知＝1，＝2，·＝－3. (1)求a与b的夹角θ； (2)求. 解析　(1)由题意：·＝2a2＋3a·b－2b2＝2＋3×1×2×cos θ－8＝－3， 得cos θ＝，又0≤θ≤π，因此θ＝. (2)∵2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2×＋4＝12，因此＝2. [关键能力·综合提升] 9．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·＝(　　) A. B．6 C．12 D．18 解析　如图，过点O作OD⊥AB于D，可知AD＝AB＝3， 则·＝(＋)· ＝·＋· ＝3×6＋0＝18，故选D. 答案　D 10．(多选题)若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且＝1，＝2，＝3，则＝(　　) A. B．3 C．5 D．6 解析　由平面向量a，b，c两两的夹角相等，得夹角为0°或120°， 当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝6，选项D正确； 当夹角为120°时，|a＋b＋c|＝＝ ＝＝，选项A正确．故选A，D. 答案　AD 11．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________. 解析　因为3a＋mb＋7c＝0， 所以3a＋mb＝－7c， 所以(3a＋mb)2＝(－7c)2得 9＋m2＋6ma·b＝49， 又a·b＝|a||b|cos 60°＝， 所以m2＋3m－40＝0， 解得m＝5或m＝－8. 答案　5或－8 12．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是________． 解析　因为a，b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且a，b不共线， 当a·b>0时， (3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝3te＋(6＋2t)e1·e2＋4e＝3t＋(6＋2t)＋4>0， 得t>－. 当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb， 即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以 解得 所以当t≠3时，a，b不共线， 综上，t的取值范围为t>－且t≠3，即∪(3，＋∞)． 答案　∪(3，＋∞) 13．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9. (1)求a与b之间的夹角θ； (2)向量e是与a＋b同向的单位向量，求向量a在a＋b上的投影． 解析　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9， 即16－4a·b－3＝9， ∴a·b＝1，∴cos θ＝＝. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7， 即|a＋b|＝. 设a与a＋b的夹角为α，e是与a＋b同向的单位向量， 则向量a在a＋b上的投影向量为 |a|cos αe＝|a|×e＝e ＝e＝e＝e. [学科素养·探索创新] 14．在△ABC中，∠C＝90°，＝6，点P满足＝2，则P·P的最大值为(　　) A．9 B．16 C．18 D．25 解析　取AB的中点D，连接CD(图略)， 因为∠C＝90°，＝6， 所以＝＝3. 设P与C的夹角为α， 则P·P＝· ＝P2＋P·＋C·C ＝P2＋P· ＝22＋P·2C ＝4＋2cos α ＝4＋2×2×3cos α＝4＋12cos α， 当α＝0°时，P·P取得最大值，为16.故选B. 答案　B 15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2. (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值． 解析　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以·＝0， 由＝2，得＝，＝＝－. 所以·＝· ＝· ＝2－·－2 ＝36－×81＝18. (2)由题意，＝＋＝＋ ＝＋， ＝＋＝＋＝－， 所以·＝· ＝2－·－2 ＝36－·－18＝18－·. 又·＝6， 所以18－·＝6， 所以·＝36. 又·＝||||cos θ＝9×6×cos θ ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝. 所以与夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$