6.2.3 向量的数乘运算(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1.＝(　　) A．2a－b　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b 解析　原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b. 答案　B 2．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析　＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线． 答案　B 3．(多选题)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值可以是(　　) A．－1 B. C．4 D．3 解析　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3. 答案　AD 4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 解析　解法一　由题意设＝＋m， ＝＋m(－)， ＝(1－m)＋m 则1－m＝， ∴m＝λ＝. 解法二　由A，B，D三点共线可知，＋λ＝1， ∴λ＝. 答案　B 5．已知点C在线段AB上，且＝，则＝________. 解析　如图，因为＝，且点C在线段AB上， 则与同向，且||＝||，故＝. 答案　 6．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________.(用，表示) 解析　利用向量的三角形法则，可得＝－，＝＋， ∵E为BC的中点，F为AE的中点， ∴＝，＝， ∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－. 又∵＝， ∴＝－. 答案　－ 7．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________. 解析　因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反， 所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)． 答案　－4 8．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋. (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． (1)证明　因为＝λ＋， 所以＝λ＋O－λ， 所以－＝λ－λ，即＝λ， 又λ∈R，λ≠1，λ≠0，且，有公共点A， 所以A，B，M三点共线． (2)解析　由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则，同向，且>(如图所示)，所以λ>1. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析　对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AC∥BD，故a与b不一定共线． 答案　AB 10．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则3x＋6y等于(　　) A. B．－ C．－6 D．6 解析　＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋－＝＋. ∵＝x＋y， ∴x＋y＝＋， ∴＝， 又与不共线， ∴x－＝0且－y＝0，故x＝，y＝. ∴3x＋6y＝6. 答案　D 11．若||＝2||，且＝λ，则λ＝________. 解析　(1)当点C在线段的延长线上时，如图． 则＝2，则λ＝2. (2)当点C在线段上时，如图． 则＝－2，即λ＝－2.综上，λ＝±2. 答案　±2 12．在△OAB中，已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，则|a－b|＝________. 解析　∵|a|＝|b|，∴OA＝OB. 又∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形， ∴BA＝4， ∴|a－b|＝|－|＝||＝4. 答案　4 13．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. (1)用e，f表示； (2)证明：四边形ABCD为梯形． (1)解析　＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f. (2)证明　因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的模为的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形． [学科素养·探索创新] 14．(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半．”这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(　　) A.＝2 B.＋＋＝0 C.＝＋＋ D.＝＝ 解析　如图所示，根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且GH＝2OG. 对于A，因为GH＝2OG，所以＝2，故A正确； 对于B，取BC的中点为D，则＋＋＝＋2＝0，故B正确； 对于C，＝3＝3(－)＝3＝2－3＝2(＋)－3＝2－＝＋＋，故C正确； 对于D，＝＝显然不正确．故选ABC. 答案　ABC 15.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求λ的值． 解析　(1)由A是BC的中点， 则有＝(＋)， 从而＝2－＝2a－b； 由D是将OB分成2∶1的一个内分点， 得＝， 从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. (2)由于C，E，D三点共线，则＝μ， 又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b， ＝2a－b， 从而(2－λ)a－b＝μ， 又a，b不共线，则解得λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$