2.2.2 直线的两点式方程教材例题变式-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.2.2 直线的两点式方程 本专题为：教材P63页例4的变式 教材P63页例4： 例4、已知的三个顶点,求边所在直线的方程,以及这条边上的中线所在直线的方程. 【答案】；． 【分析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可. 【详解】过的两点式方程为，整理得． 即边所在直线的方程为，边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为，即．              过，的直线的方程为，即． 整理得．所以边上中线所在直线的方程为． 变式1：数据不变，变换问题及题型 1．已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为 . 2．的三个顶点分别为，，求这个三角形的三边及边上的中线所在直线的方程． 变式2：变换数据，题型不变 1．的三个顶点为．求： (1)所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程． 2．如图，已知三角形的三个顶点为，，． (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 变式3：变换数据及题型 1．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．△ABC的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为. A． B． C． D． 3．（多选）已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（    ） A．直线BC的倾斜角不存在 B．直线AB的斜率为-2 C．边AB上的高所在直线的方程为 D．边AB上的中线所在直线的方程为 4．三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 5．已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 6．的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程. 7．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0). (1)分别求边AC和AB所在直线的方程； (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程； (3)求AC边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程． 8．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程. 9．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.2.2 直线的两点式方程 本专题为：教材P63页例4的变式 教材P63页例4： 例4、已知的三个顶点,求边所在直线的方程,以及这条边上的中线所在直线的方程. 【答案】；． 【分析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可. 【详解】过的两点式方程为，整理得． 即边所在直线的方程为，边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为，即．              过，的直线的方程为，即． 整理得．所以边上中线所在直线的方程为． 变式1：数据不变，变换问题及题型 1．已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为 . 【答案】 【分析】本题首先可以通过以及、求出，然后通过直线的点斜式方程以及即可得出直线方程，并化简为斜截式方程． 【详解】设边上的高为，因为,所以，，解得， 所以边上的高所在直线的点斜式方程是，整理可得斜截式方程. 【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查直线垂直的相关性质，考查直线的点斜式方程以及斜截式方程，若两直线垂直且都不与轴平行，则有，是中档题． 2．的三个顶点分别为，，求这个三角形的三边及边上的中线所在直线的方程． 【答案】边直线：，边直线：，边直线：，边上的中线所在直线的方程： 【分析】根据直线的两点式，点斜式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可. 【详解】直线过两点，由两点式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 直线过两点，由两点式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 直线过两点，斜率，由点斜式得，整理得，这就是边所在直线的方程． 因为，所以边的中点的坐标为， 即，于是边上的中线所在直线的方程即为所在直线的方程． 由直线的两点式方程得，即， 所以，即． 变式2：变换数据，题型不变 1．的三个顶点为．求： (1)所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据两点斜率公式以及点斜式即可求解， （2）根据中点坐标以及斜截式即可求解. 【详解】（1）依题意，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）由中点坐标公式可得中点坐标为，所以边上的中线所在直线的斜率为，故直线方程为. 2．如图，已知三角形的三个顶点为，，． (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由直线两点式方程可整理得到边所在直线方程； （2）利用中点坐标公式求得中点坐标，由直线两点式方程可整理得到结果. 【详解】（1），的直线的两点式方程为：， 整理得：，即边所在直线方程为：. （2）中点的坐标为， 过，的直线的两点式方程为：， 整理得：，即边上的中线所在直线方程为：. 变式3：变换数据及题型 1．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为，设边的中点为，则，即， 又，所以，故边上的中线所在直线的方程为，即． 2．△ABC的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出线段中点坐标，由两点式写出直线方程，再化简即得． 【详解】，，∴边中点为，∴中线方程为，即． 3．（多选）已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（    ） A．直线BC的倾斜角不存在 B．直线AB的斜率为-2 C．边AB上的高所在直线的方程为 D．边AB上的中线所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】直线BC的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误；直线AB的斜率为，B选项正确；边AB上的高线与AB垂直，斜率，又高线过点C， 边AB上的高所在直线的方程为，即，C选项正确；边AB上的中点坐标为，则边AB上中线所在直线斜率为，所以中线方程为，即，D选项正确. 4．三角形的三个顶点是． (1)求直线方程； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由两点式即可求解； （2）由垂直关系确定斜率，再由点斜式即可求解； （3）确定中点坐标，再由两点式即可求解. 【详解】（1）根据题意可知，则根据直线两点式方程可得，即； （2）设高BD所在的直线方程的斜率为，直线斜率为，由（1）知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为，即，则可得，再由直线点斜式方程可得，即，这就是所求的直线方程； （3）由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为，即. 5．已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程； （2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程； （3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）首先求BC中点坐标，已知，根据中点坐标公式，BC中点，已知中线过和两点，根据两点式，即，化简得，整理得. （2）先求BC边的斜率，已知，根据斜率公式， 因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得，又因为高过点，根据点斜式，整理得. （3）先求AB边的斜率，BC边的斜率，设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简，交叉相乘得，继续化简，即或，继续化简（舍去），或，即， 因为角平分线的斜率应该在和之间，所以， 又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得. 6．的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据中点坐标公式求出点的中点坐标，从而可得边上的中线所在直线的斜率，然后根据点斜式即可写出直线方程； （2）求出点的中点坐标，求出直线的斜率可得其垂直平分线的斜率，然后根据点斜式即可写出直线方程. 【详解】（1）点的中点，直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即； （2）点的中点坐标为，直线的斜率为， 则边上的垂直平分线的斜率为，所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. 7．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0). (1)分别求边AC和AB所在直线的方程； (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程； (3)求AC边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程． 【答案】（1）x－2y＋8＝0. x＋y－4＝0.（2）2x－y＋10＝0.（3）2x＋y＋6＝0. （4）2x＋y－2＝0.（5）x－y＋6＝0 【分析】（1）利用截距式得AC方程，利用两点式得AB方程；（2）先确定AC边中点坐标，再由两点式得BD的方程；（3）由中垂线几何性质可知：AC的中垂线斜率及AC的中点的坐标，再由点斜式得直线方程；（4）由高的定义得高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程；（5）得到两边的中点坐标，再由两点式得直线的方程. 【详解】(1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0. 由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0. (2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为＝，即2x－y＋10＝0. (3)由直线AC的斜率为kAC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4,2)，所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0. (4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0. (5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)，∴直线DM方程为＝， 即x－y＋6＝0. 点睛：直线方程共五种形式，合理选择方程形式求直线方程．当知道定点或斜率时一般选择点斜式，注意点斜式的局限性，不包含过此点垂直x轴的情况；当知道两点时，一般选择两点式，当知道直线的两个截距或求与x，y轴围成三角形面积时，一般选择截距式. 8．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程. 【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为. 【分析】由边上的高所在直线的方程可求得直线的斜率，又直线AC过点，从而根据点斜式即可求解边所在直线方程；由是中线所在直线方程，设中点，则，根据点B在直线上，可得B点坐标，从而即可求解边所在直线的方程. 【详解】因为边上的高所在直线的方程为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以，又直线AC过点，所以边所在直线方程为，即；因为是中线所在直线方程， 所以设中点，则，所以， 因为点B在直线上，所以，解得，所以， 因为所在的直线的斜率为，所以边所在直线方程为， 即. 9．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解； （2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程. 【详解】（1）由题知，，在直线上，设，则，解得， 即点坐标为. （2）设，则，解得，即， 所以直线的方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $$