山东省聊城市中职学校2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试题

2024一2025学年聊城市中职学校2022级第二次模拟考试 数学试题 2025-03 1,本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考 生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回， 2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结 果精确到0.01. 卷一（选择题共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上) 1,下列关系正确的是 A.r∈Q B.(2,1)={(2,1) C.{2,1}≤(1,21 D.2∈{(2,1)》 2.已知a>b,ab≠0，c∈R,则下列不等式成立的是 A.lal>61 B.ac>bc c D.a-c>b-c 3.已知复数=(1一)(2十i),其中i为虚数单位，则x的虚部为 A.-1 B.-i C.1 D.i 4.已知二次函数y=一x2十bx十c,若b>0,c<0,则其图像一定不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知向量0A=(0,2),0B-(2,2),则0A·Oi等于 A.0 B.1 C.2 D.4 6.要得到函数y=2sin(:+）的图像，只需把函数y=2sir的图像 A.向上平移个单位 B向下平移个单位 C向左平移平个单位 D.向右平移牙个单位 7.“a=-1"是“直线x十ay十6=0与直线(a-2)x十3y+2a=0平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.在等比数列(a.}中，若公比g=一2，a,=一16，则a1等于 A.-2 B.2 C.-4 D.4 9.在△ABC中，已知点D是BC边上靠近点B的三等分点，则AD用AB,AC表示为 A号AC-A丽B号A丽-号C C.A店+号ACD.A+}AC (数学试题共4页)第1页 10.函数f(x)=√2-1的定义域是 A.[0,+o∞) B.(0,+∞) C.[1,+oo) D.(1,+∞) 11.已知圆C:x2+y2=1和直线1：3x+4y-15=0,则圆C上的点到直线l的最小距离是 A.0 B.1 C.2 D.3 12.已知A∈Z,B∈N+,规定A@B=A+(A+1)十(A+2)+…+(A+B),则(-2)@(2@ 3)等于 A18 B.45 C.75 D.117 13.已知f(x)是奇函数，且在区间[-5，一1]上是增函数，若f(-1)=一2，则函数f(x)在区 间[1,5]上 A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值一2 D.有最大值-2 14.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，二面角D-AC-H的正切值为 第14题图 A.2 号 C.3 15.在(G-一)广的二项展开式中，若各项的二项式系数之和为512，则展开式中的常数项为 A.672 B.84 C.-672 D.-84 16.某学校的元旦晚会节目单中安排了2个小品节目、3个舞蹈节目和4个歌唱节目，要求2 个小品节目既不相邻，又不排在最后，则节目单中各节目不同的排法种数为 A.12700800 B.211680 C.302400 D.15120 17.从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取两个数，则取到的两个数的积是偶数的概率是 A号 B号 c号 n号 18.已知抛物线y2=4x和定点A(2,2),F是抛物线的焦点，P是抛物线上任意一点，则|PA 十|PFI的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 19.已知an(任-。)-号，则n2a+cos2a的值是 A号 B号 c-号 D-号 20.已知偶函数f(x)的定义域为R,当x>0时，满足f(x十4)=f(x),当一2≤x≤0时， f(x)=-x,则f(2025)等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 (数学试题共4页)第2页 卷二（非选择题共60分） 二，填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21.已知函数f(x)=1ogx,若f(M)=3,则M-= 2.已知sina·coa-号，且0<a<受则sina-co- 23.已知离散型随机变量：的分布列如下表所示，则常数m的值为 10 P 3m*-m 2m3-3m 24,如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为 -2- -2 主视图 左视图 俯视图 第24题图 第25题图 25.如图所示，已知F,F:是双曲线后-若-1a>0,6>0)的左：右焦点，点P是双曲线上 点，使得-名且∠P,PF,-的，则该双自线的离心率是 三、解答题（本大题5个小题，共40分请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上）】 26.(本小题7分)已知从小到大排列的7个正数构成等差数列，且正中间的项是44，若最大项 去掉一半得到的数是A,把A与该数列中另外的6个数从小到大重新排成一个新的数列， 则A恰好是新等差数列的最小项，求原等差数列的通项公式。 (数学试题共4页)第3页 27.(本小题8分)已知f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2一3x十1. (1)求函数f(x)的解析式， (2)若f(x)≥5，求x的取值范围， 28.(本小题8分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯 形，且AD∥BC,AB⊥AD,AB=BC,AD=2BC,M是AD的中点.求证 (1)BM∥平面PCD: (2)平面PCD⊥平面PAC C 第28题图 29.(本小题8分)在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a·si2B=√3b· sinA.求： (1)角B的大小： 1 (2)sin(A+B)·cosA的最大值 30.(本小题9分)已知椭圆C的一个焦点与抛物线y2=12V2x的焦点重合，且椭圆C的离心 率为盟 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线1与椭圆C交于A,B两点，且弦AB的中点为M(一2,1)，求直线1的方程. (数学试题共4页)第4页(数学试题答案及评分标准 共4页) 第1 页 2024—2025学年聊城市中职学校2022级第二次模拟考试 数学试题答案及评分标准 卷一(选择题 共60分) 一、选择题(本大题20个小题,每小题3分,共60分) 1.C 【解析】因为{2,1}={1,2},所以{2,1}⊆{1,2},C选项正确. 2.D 【解析】不等式两边同时加上(或减去)同一个数,不等号的方向不变. 3.A 【解析】因为z=(1-i)(2+i)=3-i,所以z的虚部为-1. 4.B 【解析】由题意得,二次函数y=-x2+bx+c的图像开口向下,对称轴x=- b 2×(-1) >0,与y 轴的交点在负半轴上,作图可知图像一定不经过第二象限. 5.D 【解析】OA→·OB→=0×2+2×2=4. 6.C 【解析】将y=2sinx 的图像向左平移 π 4 个单位,可得到y=2sinx+ π 4 æ è ç ö ø ÷ 的图像. 7.C 【解析】当a=-1时,两直线方程分别为x-y+6=0,-3x+3y-2=0,则两直线平 行,充分性成立;若两直线平行,则有 a× (a-2)-1×3=0, 6×(a-2)-1×2a≠0,{ 解得a=-1,必要性成立. 8.B 【解析】由题意得a4=a1·q3=a1×(-2)3=-16,解得a1=2. 9.D 【解析】BC→=AC→-AB→,BD→= 1 3BC →= 1 3 AC →-AB→( ),AD→=AB→+BD→=AB→+ 1 3 (AC→- AB→)= 2 3AB →+ 1 3AC →. 10.A 【解析】要使函数有意义,需满足2x-1≥0,即2x≥20,所以x≥0. 11.C 【解 析】圆 C 的 圆 心 坐 标 为(0,0),半 径 为1,因 为 圆 心 到 直 线l 的 距 离d= |3×0+4×0-15| 32+42 =3>1,所以直线l与圆C 相离,所以圆C 上的点到直线l的最小距离是3 -1=2. 12.C 【解析】2@3=2+3+4+5=14,(-2)@(2@3)=(-2)@14=-2+(-1)+0+…+ 12=15×(-2)+ 15×14 2 ×1=75. 13.A 【解析】作函数的图像可知f(x)在[1,5]上有最小值2. 14.A 【解析】连接BD,设AC∩BD=O,连接OD,OH(图略),则∠DOH 是二面角D AC H 的平面角.在Rt△DOH 中,DH=1,OD= 2 2 ,则tan∠DOH= DH OD = 1 2 2 = 2. 15.D 【解析】由题意得2n=512,所以n=9,所以 x- 1 x æ è ç ö ø ÷ 9 的二项展开式的通项公式为 (数学试题答案及评分标准 共4页) 第2 页 Tr+1=Cr9·x 9-r 2 ·(-x-1)r=(-1)r·Cr9·x 9-3r 2 ,令9-3r=0,则r=3,所以展开式中的常数 项为(-1)3×C39=-84. 16.B 【解析】先排3个舞蹈节目和4个歌唱节目,共有A77 种不同的排法,然后在7个空中 插入2个小品节目,共有A27 种不同的插入方法,所以节目单中各节目不同的排法共有A77· A27=211680种. 17.D 【解析】从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取两个数共有C26 种不同的取法,而取到的两 个数的积是偶数共有C23+C13·C13 种不同的取法,由古典概型概率公式可得P= C23+C13·C13 C26 = 3+9 15 = 4 5. 18.B 【解析】|PF|等于点P 到抛物线准线的距离,抛物线y2=4x 的准线方程为x=-1; 当PA 与x 轴平行时,|PA|+|PF|的值最小,其值为2-(-1)=3. 19.A 【解 析】 因 为tan π4-α æ è ç ö ø ÷= 1-tanα 1+1×tanα= 1 2 ,所 以tanα= 1 3 ;sin2α+cos2α= 2sinα·cosα+cos2α-sin2α sin2α+cos2α = 2tanα+1-tan2α tan2α+1 = 2 3+1- 1 9 1 9+1 = 7 5. 20.C 【解析】f(2025)=f(2021+4)=f(2021)=…=f(1+4)=f(1)=f(-1)=-(-1)=1. 卷二(非选择题 共60分) 二、填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分) 21. 1 2 【解析】因为log2M=3,所以M=23,则M - 1 3=(23)- 1 3=2-1= 1 2. 22.- 3 2 【解析】因为(sinα-cosα)2=1-2sinα·cosα=1-2× 1 8= 3 4 ,所以sinα-cosα= ± 3 2 ;又因为0<α< π 4 ,则sinα<cosα,所以sinα-cosα=- 3 2. 23.- 1 5 【解析】由题意得(3m2-m)+(2m2-3m)=1,即5m2-4m-1=0,解得m=- 1 5 或m=1.因为m=1时,2m2-3m=-1<0,无意义,且m=- 1 5 时,3m2-m∈(0,1),2m2- 3m∈(0,1),所以m=- 1 5. 24.12+42 【解析】该几何体是边长为2的正方体沿一个对角面截成的直三棱柱,则其表 面积为2× 12×2×2 æ è ç ö ø ÷+2×2+2×2+22×2=12+42. 25.7 【解析】因为 |PF1| |PF2|= 3 2 ,设|PF1|=6m,|PF2|=4m,由双曲线的定义可知|PF1|- |PF2|=6m-4m=2m=2a,则|PF1|=6a,|PF2|=4a.在△F1PF2 中,|F1F2|=2c,由余弦 定理得(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×cos60°,化为4c2=28a2,所以e2= c2 a2=7 ,e=7. (数学试题答案及评分标准 共4页) 第3 页 三、解答题(本大题5个小题,共40分) 26.解:设原等差数列为{an},公差为d,最大项为a7, 则a7=44+3d, (2分)…………………………………………………………………………… 由题意可知,新等差数列与原等差数列的公差相同,且44是新等差数列的第5项,则新等差数 列的最小项A=44-4d, (4分)…………………………………………………………………… 因为A= a7 2 ,即a7=2A, 所以44+3d=2(44-4d), (5分)………………………………………………………………… 解得d=4, (6分)………………………………………………………………………………… 所以原等差数列的首项a1=44-3×d=32,公差d=4, 所以原等差数列的通项公式为an=32+(n-1)×4=4n+28,(n∈N+且1≤n≤7). (7分) ……… …………………………………………………………………………………………… 27.解:(1)令x<0,则-x>0, 由题意得f(-x)=(-x)2-3(-x)+1=x2+3x+1, (1分)………………………………… 因为f(x)是偶函数, 所以f(x)=f(-x)=x2+3x+1, (2分)……………………………………………………… 所以f(x)= x2+3x+1,x<0, x2-3x+1,x≥0.{ (3分)………………………………………………………… (2)因为f(x)≥5, 所以 x<0, x2+3x+1≥5{ 或 x≥0, x2-3x+1≥5,{ (5分)………………………………………………… 解得x≤-4或x≥4, (7分)……………………………………………………………………… 所以不等式f(x)≥5的解集为(-∞,-4]∪[4,+∞). (8分)………………………………… 28.证明:(1)由题意得,在底面ABCD 中,MD∥BC,且MD=BC, 所以四边形BCDM 是平行四边形, 所以BM∥CD, (2分)…………………………………………………………………………… 又因为CD⊆平面PCD,BM⊈平面PCD, 所以BM∥平面PCD. (3分)……………………………………………………………………… (2)因为PA⊥底面ABCD,CD⊆底面ABCD, 所以PA⊥CD, (4分)…………………………………………………………………………… 由题意可知四边形ABCM 是正方形,且AC,BM 是正方形ABCM 的对角线, 所以AC⊥BM, (5分)…………………………………………………………………………… 又因为BM∥CD, 所以AC⊥CD, (6分)……………………………………………………………………………… 因为PA⊥CD,AC⊥CD,PA∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC, (7分)……………………………………………………………………… 又因为CD⊆平面PCD, 所以平面PCD⊥平面PAC. (8分)……………………………………………………………… 29.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理 a sinA= b sinB 可得a·sinB=b·sinA, (1分)…………… 又因为a·sin2B= 3b·sinA, 所以2a·sinB·cosB= 3a·sinB, (2分)……………………………………………………… (数学试题答案及评分标准 共4页) 第4 页 因为sinB≠0, 所以化简得cosB= 3 2 , (3分)…………………………………………………………………… 又因为0<B<π,所以B= π 6. (4分)…………………………………………………………… (2)sin(A+B)·cosA =sinA+ π 6 æ è ç ö ø ÷·cosA = sinA· 3 2+cosA ·1 2 æ è ç ö ø ÷·cosA = 1 2 2sinA·cosA· 3 2+2cos 2A· 1 2 æ è ç ö ø ÷ = 1 2 sin2A· 3 2+ (cos2A+1)· 1 2 é ë ê ê ù û ú ú = 1 2 sin2A ·cos π 6+cos2A ·sin π 6+ 1 2 æ è ç ö ø ÷ = 1 2sin2A+ π 6 æ è ç ö ø ÷+ 1 4 , (7分)………………………………………… 又因为0<A< 5π 6 ,π 6<2A+ π 6< 11π 6 ,则sin2A+ π 6 æ è ç ö ø ÷ 的最大值为1, 所以sin(A+B)·cosA 的最大值为 1 2×1+ 1 4= 3 4. (8分)…………………………………… 30.解:(1)因为抛物线y2=122x 的焦点为(32,0), 所以椭圆C 的焦点在x 轴上,且c=32, (1分)……………………………………………… 因为椭圆C 的离心率为 2 2 ,即e= c a= 2 2 ,所以a= c e= 32 2 2 =6, (2分)…………………… 所以b2=a2-c2=36-(32)2=18, (3分)……………………………………………………… 所以椭圆C 的标准方程为 x2 36+ y2 18=1. (4分)…………………………………………………… (2)若直线l的斜率不存在,显然点M 不是弦AB 的中点,此时不成立; (5分)……………… 若直线l有斜率,则设直线l的方程为y=kx+b, 联立方程 y=kx+b, x2 36+ y2 18=1 , ì î í ïï ï 消去y,得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-36=0,① (6分)………………………………………… 由根与系数的关系,得x1+x2=- 4kb 1+2k2=-4 ,所以kb=1+2k2,② (7分)………………… 又因为点M 在直线l上,所以1=-2k+b,③ (8分)…………………………………………… 由②③两式,可得k=1,b=3, 并且当k=1,b=3时,方程①的Δ>0, 综上所述,直线l的方程为y=x+3,即x-y+3=0. (9分)…………………………………