安徽省八下期中真题必刷提升60题（43个考点专练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

期中真题必刷提升60题（43个考点专练） 知识导图 一、二次根式有意义的条件 二、二次根式的乘法 三、二次根式的除法 四、二次根式的乘除混合运算 五、利用二次根式的性质化简 六、最简二次根式的判断 七、化为最简二次根式 八、同类二次根式 九、二次根式的加减运算 十、分母有理化 十一、已知字母的值，化简求值 十二、二次根式的应用 十三、一元二次方程的定义 十四、一元二次方程的一般形式 十五、一元二次方程的解 十六、解一元二次方程——直接开平方法 十七、解一元二次方程——配方法 十八、公式法解一元二次方程 十九、换元法解一元二次方程 二十、配方法的应用 二十一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 二十二、根据一元二次方程根的情况求参数 二十三、一元二次方程的根与系数的关系 二十四、增长率问题(一元二次方程的应用) 二十五、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 二十六、营销问题(一元二次方程的应用) 二十七、动态几何问题(一元二次方程的应用) 二十八、其他问题(一元二次方程的应用) 二十九、用勾股定理解三角形 三十、以直角三角形三边为边长的图形面积 三十一、勾股定理与网格问题 三十二、勾股定理与折叠问题 三十三、已知两点坐标求两点距离 三十四、勾股树（数）问题 三十五、以弦图为背景的计算题 三十六、用勾股定理构造图形解决问题 三十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 三十八、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 三十九、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 四十、解决航海问题(勾股定理的应用) 四十一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 四十二、求最短路径(勾股定理的应用) 四十三、利用勾股定理的逆定理求解 题型强化 一、二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，根据分式有意义的条件：分母不为零和二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】由题意得： ， 解得：， 故答案为：且． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列给出的式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解题意二次根式的定义．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．不是二次根式，故本选项不符合题意； B． 是二次根式，故本选项符合题意； C．∵， ∴不是二次根式，故本选项不符合题意； D．∵， ∴不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、二次根式的乘法 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若两个二次根式m，n满足； ，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”． (1)若m与 是关于的“共轭二次根式”，求m的值． (2)若与 是关于的“共轭二次根式”，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法．熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴m的值为． （2）解：由题意知，， ， ， 解得，， ∴a的值为3． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法法则，合并同类二次根式的定义等知识点，关键在于正确的计算，认真的逐项分析解答．根据二次根式的乘除法法则，合并二次根式的定义逐项进行分析解答． 【详解】 解：A．与不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误， B．与不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误， C．原式，故本选项错误， D．原式，故本选项正确， 故选：D． 3、 二次根式的除法 5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)是的倍 (2)下落的高度是11.25m 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简、二次根式的应用、算术平方根的实际应用 【分析】（1）将代入进行计算即可，将代入，计算与的比值即可得出结论； （2）将代入公式进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，（s， 当时，（s， ， 是的倍． （2）解：当时，， 解得， 下落的高度是11.25m． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的运算，算术平方根的应用，解题关键是掌握二次根式的性质和运算． 4、 二次根式的乘除混合运算 6．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据平方差公式，二次根式的混合运算计算法则，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的混合计算，想到利用平方差公司进行简便计算是解题的关键． 5、 利用二次根式的性质化简 7．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． （1）根据题目提供的规律写出答案即可； （2）根据题目中的规律得到答案，再利用二次根式的性质进行计算证明即可． 【详解】（1）根据题意： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； 则第⑤个等式： 故答案为： （2） 故答案为： 证明如下： 左边 ∵n为大于或等于1的整数， ∴ ∴左边右边. 成立. 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加法，乘法，二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次利用二次根式的性质，二次根式的加法，除法运算法则进行化简计算，即可判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、与不能合并，故本选项不符合题意． 故选：A． 6、 最简二次根式的判断 9．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．逐一验证每个选项是否符合定义即可． 【详解】解：A： 被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B： ，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C： ，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D：是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：D 10．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则 ． 【答案】3 【知识点】同类二次根式、最简二次根式的判断 【分析】利用最简二次根式和同类二次根式的定义得到，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并成一个二次根式， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，也考查了最简二次根式． 7、 化为最简二次根式 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的化简，根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、，与属于同类二次根式，A符合题意； B、，与不属于同类二次根式，B不符合题意； C、与不属于同类二次根式，C不符合题意； D、，与不属于同类二次根式，D不符合题意； 故选：A． 12．（21-22八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】化为最简二次根式、复合二次根式的化简 【分析】（1）将变形为，然后得出，求出结果即可； （2）将变形为，然后得出，求出结果即可； （3）将变形为，然后得出，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意． 8、 同类二次根式 13．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，求一个数的平方根，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得方程组，解方程组求出x、y的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式， ，， 即， 解得， x、y的平方和为， x、y平方和的平方根为． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．化简后为，能与合并的是的同类二次根式，将选项依次化简即可确定． 【详解】解：， A．，被开方数与不同，不是同类二次根式，不能合并，A错误； B．，被开方数与不同，不是同类二次根式，不能合并，B错误； C．，被开方数与相同，是同类二次根式，能合并，C正确； D．，被开方数与相同，不是同类二次根式，不能合并，D错误． 故选：C． 9、 二次根式的加减运算 15．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的顺序和法则是解题的关键． （1）先化简，再根据二次根式加减运算计算即可； （2）运用二次根式混合运算的顺序和法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 16．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 10、 分母有理化 17．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式有意义的条件、分母有理化 【分析】本题考查了非负数的性质，分母有理化，根据非负数之和为零，则每个非负数都是零可得，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11、 已知字母的值，化简求值 18．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，，再利用完全平方公式把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 19．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)11 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求出ab，根据二次根式的减法法则求出，根据提公因式法把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ，， 则 ； （2） 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． 12、 二次根式的应用 20．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）高空物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（为重力加速度，）．若一物体从的高空下落，则落到地面的时间大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，当时即可求出的值，解题的关键是掌握二次根式的化简． 【详解】解：当时，， ∴， ∵ ∴， 故选：． 21．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式的规律性问题、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可得，第4个等式； （2）由题意知，第n个等式为； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式， 故答案为：； （2）解：由题意知，第n个等式为； （3）解： ， ∴． 13、 一元二次方程的定义 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 23．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如果一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程有一个根为0，得到计算即可． 【详解】∵一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及其根，熟练掌握定义即形如的方程，使得方程左右两边相等的未知数的值是方程的根是解题的关键． 14、 一元二次方程的一般形式 24．（22-23八年级下·安徽六安·期中）把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为(   ) A．和3 B．和1 C．和3 D．和1 【答案】C 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】先将变形为，再根据一次项系数及常数项的定义即可得到答案． 【详解】解：根据题意可将方程变形为，则一次项系数为，常数项为3． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一次项系数及常数项的定义． 15、 一元二次方程的解 25．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）若a是方程的根，则的值为 ． 【答案】2027 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2027． 26．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程及其解的定义，首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，取舍得出的值即可，正确计算、根据一元二次方程的定义取舍是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， ∴， ∴； ∵是一元二次方程， ∴， ∴． 综上，的值是， 故选：B． 16、 解一元二次方程——直接开平方法 27．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数对应的，则的值是 ． 【答案】或/或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、新定义下的实数运算 【分析】本题考查解一元二次方程---直接开平方法、以及对新定义的理解，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用解方程的方法解答．根据题目中的新定义，可以得到相应的方程，从而可以求得相应的x的值． 【详解】解：对于函数，规定． 又函数对应的， ， ， 解得，． 故答案为：或． 28．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，； 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，掌握并熟练运用直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题关键． （1）移项得，利用直接开平方法即可求解； （2）分解因式得，利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：由 得， ，． （2）解：由， 得， ，． 17、 解一元二次方程——配方法 29．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 18、 公式法解一元二次方程 30．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元次方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】含乘方的有理数混合运算、公式法解一元二次方程 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识，理解新定义是解题关键． （1）根据定义的新运算即可求解； （2）先解方程得或，再分，和，两种情况分类讨论，根据定义的新运算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：解方程得或， 当，时，∵， ∴； 当，时，∵， ． ∴的值为或． 31．（21-22八年级下·安徽六安·期中）定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号表示a，b中较大值，如，因此，按照这样的规定，若，则x的值是（　　） A．或 B． C．1或 D．0或 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】解：据题意得，等于a、b中较大的值，当时，；当时，，解出方程，即可． 【详解】解：由题意知，等于a、b中较大的值， ∴当时， ， ， 解出，， ∵，不合题意，舍去， 取； 当时，， ， 解得：，， ，不合题意，舍去， ； 综上所述：的值是或． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 19、 换元法解一元二次方程 32．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，． 故选C 33．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】解分式方程、换元法解一元二次方程 【分析】（1）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于的一元二次方程； （2）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可． 【详解】（1）令 ∴ ∴ ∴， ∴（舍去），   ∴； （2）令   ∴ ∴    ∴ ∴， ∴，        ∴， 经检验，，为原方程的解. 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 二十、配方法的应用 34．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 6 【知识点】配方法的应用、加减消元法 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 35．（22-23八年级下·安徽池州·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．    ②求的最小值． 解：原式                    解：原式                                 ．                        ，                            ，     即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______________． (2)因式分解：． (3)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)2 【知识点】配方法的应用、因式分解的应用 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可； （2）将32化成，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）将式子进行配方，再利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ∵， ∴， ∴的最小值为2． 【点睛】本题考查配方法的应用、因式分解的应用，根据完全平方式进行配方和平方的非负性是解题的关键． 二十一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 36．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 二十二、根据一元二次方程根的情况求参数 37．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了根的判别式，解一元一次不等式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0且二次项系数不为0，求出a的范围即可． 【详解】解：由题意得：， 解不等式得：， ∵该方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：D． 38．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根．①求a的取值范围为 ②若关于的方程的解为整数且满足①中条件的所有a值的和为 ， 【答案】 且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 关于一元二次方程，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，再解分式方程得到，接程利用分式方程的解为整数得到，然后确定满足条件的的值，从而得到满足条件的所有整数的和． 【详解】∵关于的方程有两个不相等的实根， 且， 解得且； 把关于的方程去分母得， 解得， ， ∴，解得， ∵为整数， ， ， 而且， ∴的值为， ∴满足条件的所有整数的和是． 故答案为：且；． 二十三、一元二次方程的根与系数的关系 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，将其代入原式中即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故选：． 40．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实数根，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）根的判别式与根的个数，以及根与系数的关系．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键．注意在利用根与系数的关系时，不要忽略判别式的取值范围． （1）根据方程有实数根：，进行计算即可； （2）根据方程两个不相等的实数根：，再利用根与系数的关系得出，进行计算即可； 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． 的取值范围为：． （2）解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ， 解得：． ，即， ， 或，又， ． 二十四、增长率问题(一元二次方程的应用) 41．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种衬衫每次降价的百分率； (2)若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 【答案】(1)该种衬衫每次降价的百分率为 (2)第一次降价至少要销售出件该种衬衫 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】设这种衬衫每次降价的百分率为，由题意：衬衫标价为元件，经过两次优惠降价为元件，并且两次降价的百分率相同．列出方程，解方程即可； 设第一次降价要销售出件该种衬衫，由题意：该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设这种衬衫每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该种衬衫每次降价的百分率为； （2）设第一次降价要销售出件该种衬衫， 由题意得： 解得：， 答：第一次降价至少要销售出件该种衬衫． 二十五、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 42．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 【答案】(1)温室花房的面积为，小路的面积为 (2)道路的宽度为 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内温室花房的面积和小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由温室花房边长和小路宽度间的关系，得出温室花房边长为，再由正方形及长方形的面积公式，即可表示出花园内温室花房的面积和小路面积； （2）根据草坪面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：温室花房边长是小路宽度的倍，小路宽度为， 温室花房边长为， 温室花房的面积为，小路的面积为， 答：温室花房的面积为 ，小路的面积为． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：道路的宽度为． 二十六、营销问题(一元二次方程的应用) 43．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每周的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． (1)求每周的销售量（件）与每件的售价（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） (2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元，那么每件的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)当这种防护品每件的售价定为32元时，该主播每月的总利润可达到3360元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）由题意得关于x的一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系， 设其函数关系式为， 将，代入，得，解得：， ∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 整理得，， 解得，， ∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的， ∴，即， ∴不合题意应舍去， ∴． ∴当这种防护品每件的售价定为32元时，该主播每月的总利润可达到3360元． 二十七、动态几何问题(一元二次方程的应用) 44．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 二十八、其他问题(一元二次方程的应用) 45．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油量的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是______千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 【答案】(1) (2)70千克 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，实际耗油量=用油量×（1-重复利用率），代入数据计算即可． （2）“在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1%”，故若用油量设为x千克，则耗油量为，相乘即得实际耗油量，解出x后即可求的重复利用率． 【详解】（1）（千克）． （2）设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是千克，由题意得 ， 化为， 解得（舍）， 答:乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 二十九、用勾股定理解三角形 46．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，点和点分别为轴与轴上一点，且，为直线上一点，作交轴于点． （）若点的横坐标为，则 ； （）若为线段中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（）先根据题意得出、两点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再由交轴于点得出直线的解析式，故可得出点坐标，据此得出的长； （）根据点和点分别为轴与轴上一点，得出、两点的坐标，再由为线段中点得出点坐标，作轴于点，轴于点，由定理可得出，故可得出，作点关于直线的对称点，连接则的长即为所求，再利用两点间的距离公式即可得出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：（）∵点和点分别为轴与轴上一点，， ，， 为直线上一点，点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 交轴于点， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 故答案为：； （）由（）知，，， 为线段中点， ， 作轴于点，轴于点， 点在直线上，， ， ，， ， 在与中， ， （）， ， 作点关于直线的对称点，连接则的长即为所求， ， ， 故答案为：． 三十、以直角三角形三边为边长的图形面积 47．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，于点D．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为 ． 【答案】7 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ， 三个正方形的面积分别为， ， 在及中，由勾股定理可得： ，， ， ， 即最小的正方形面积为7， 故答案为：7． 三十一、勾股定理与网格问题 48．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到AB的距离是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h， ∵， AB=， ∴， ∴h=， 故点C到AB的距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 三十二、勾股定理与折叠问题 49．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理．利用勾股定理列出方程求解是解题关键．由勾股定理可求出．由折叠可知当是直角时，点E和F重合，且，，从而可求出．设，则．再根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：由折叠可知当是直角时，点E和F重合，如图， ∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． 设，则． ∵是直角， ∴，即， 解得：， ∴． 故选B． 三十三、已知两点坐标求两点距离 50．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限，点的坐标为，．若在轴上有一点，使得为等腰三角形，则点的坐标为 ．    【答案】，， 【知识点】等腰三角形的定义、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形 【分析】分当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质和两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：∵点，点的坐标为， ∴； 如图所示： 当时，， 当时，， 当时，设，则，解得：， ∴， 综上所述：点的坐标为，，．    故答案为：，，． 【点睛】本题考查了点的坐标的求法，综合运用了等腰三角形的定义，两点间的距离公式． 三十四、勾股树（数）问题 51．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，这组数是勾股数， 故本选项不符合题意； 故选：D． 三十五、以弦图为背景的计算题 52．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    【答案】9 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据，，，得出，求出的值即可． 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 三十六、用勾股定理构造图形解决问题 53．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 【答案】（1）①，；②； （2） 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）①根据图形，运用勾股定理即可求解． ②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． （2）运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】和是直角三角形，， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）如图所示，，，，，，设，则， ∴，， 当，，三点共线时，的值最小， ∴由上证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 54．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子斜靠在墙角处，，梯子底端离墙角的距离．    (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？ (3)若梯子顶端A下滑的距离为，底端B向左滑动的距离为，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)小明，理由见解析 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据直角三角形斜边中线的性质解答即可； （3）利用勾股定理在中，求出，继而得到a与b的关系式，再令，求出a值，可得a与b的值相等时的具体值，即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 即这个梯子顶端A距地面有； （2）此定点为梯子的中点， 道理为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）小明说的对，理由是： 设梯子下滑至的位置， 由题意可得：，， 则， 在中，， ∴， 则， 则b可能比a的值大，也可能比a的值小， 令， 解得：（舍）或， ∴只有当下滑的距离为时，a与b的值才相等． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，抓住直角三角形，利用好勾股定理是解题的关键． 三十八、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 55．（22-23八年级下·安徽六安·期中）围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高，树的根部到围墙的距离，树梢着地点到围墙的距离，．求大树折断前的高度．    【答案】大树折断前的高度为 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意，分别应用勾股定理求出，的长度，求和即可． 【详解】解：在中，，， ， ． 在中，，， ， ． 因此，大树折断前的高度为 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数形结合思想，根据题意应用勾股定理是解题的关键． 三十九、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 56．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度， ∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为， 最长时等于杯子斜对角长度是：， ∴a的取值范围是：， 即， 故选：C． 四十、解决航海问题(勾股定理的应用) 57．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）第一艘轮船以的速度离开港口向东南方向航行，第二艘轮船在第一艘轮船出发后在同地以的速度向西南方向航行，在第一艘轮船离开港口后它们相距多远？ 【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意构造直角三角形，利用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键； 根据题意，画出方位图，根据方位角构建，再根据路程、时间、速度之间关系计算出、的长度，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图， 由已知得：第一艘轮船沿向东南方向航行，第二艘轮船沿向东南方向航行， ，， 表示东南方向，表示西南方向， 是直角三角形， 由勾股定理得， ， 在第一艘轮船离开港口后它们相距． 四十一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 58．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【答案】(1)对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； (2)拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）作于，求出的长即可解决问题． （2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间路程速度计算即可． 【详解】（1）解：作于，   ，， ， 答：对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； （2）解：如图以为圆心为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，， ， 重型运输卡车的速度为， 重型运输卡车经过的时间， 答：拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 四十二、求最短路径(勾股定理的应用) 59．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．    【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据两点之间线段最短，用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，    ∵正方体的棱长为，O为的中点， ∴，，， 由勾股定理得， 答：蚂蚁需爬行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查两点之间线段最短，灵活运用所学知识是关键． 四十三、利用勾股定理的逆定理求解 60．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（    ）． A．30 B．130 C．60 D．120 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度 【分析】根据中线，得到，再根据勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，进而得到，再根据三角形中线得到，即可求出的面积． 【详解】解：是边上的中线， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷提升60题（43个考点专练） 知识导图 一、二次根式有意义的条件 二、二次根式的乘法 三、二次根式的除法 四、二次根式的乘除混合运算 五、利用二次根式的性质化简 六、最简二次根式的判断 七、化为最简二次根式 八、同类二次根式 九、二次根式的加减运算 十、分母有理化 十一、已知字母的值，化简求值 十二、二次根式的应用 十三、一元二次方程的定义 十四、一元二次方程的一般形式 十五、一元二次方程的解 十六、解一元二次方程——直接开平方法 十七、解一元二次方程——配方法 十八、公式法解一元二次方程 十九、换元法解一元二次方程 二十、配方法的应用 二十一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 二十二、根据一元二次方程根的情况求参数 二十三、一元二次方程的根与系数的关系 二十四、增长率问题(一元二次方程的应用) 二十五、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 二十六、营销问题(一元二次方程的应用) 二十七、动态几何问题(一元二次方程的应用) 二十八、其他问题(一元二次方程的应用) 二十九、用勾股定理解三角形 三十、以直角三角形三边为边长的图形面积 三十一、勾股定理与网格问题 三十二、勾股定理与折叠问题 三十三、已知两点坐标求两点距离 三十四、勾股树（数）问题 三十五、以弦图为背景的计算题 三十六、用勾股定理构造图形解决问题 三十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 三十八、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 三十九、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 四十、解决航海问题(勾股定理的应用) 四十一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 四十二、求最短路径(勾股定理的应用) 四十三、利用勾股定理的逆定理求解 题型强化 一、二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列给出的式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 二、二次根式的乘法 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若两个二次根式m，n满足； ，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”． (1)若m与 是关于的“共轭二次根式”，求m的值． (2)若与 是关于的“共轭二次根式”，求a的值． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 三、二次根式的除法 5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 四、二次根式的乘除混合运算 6．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）计算： ． 五、利用二次根式的性质化简 7．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 六、最简二次根式的判断 9．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则 ． 七、化为最简二次根式 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 八、同类二次根式 13．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 14．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 九、二次根式的加减运算 15．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）计算： (1)； (2)． 16．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 十、分母有理化 17．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若，则的值是 ． 十一、已知字母的值，化简求值 18．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，，求下列代数式的值． (1) (2) 19．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值． 十二、二次根式的应用 20．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）高空物体下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式：（为重力加速度，）．若一物体从的高空下落，则落到地面的时间大约为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第4个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）． (3)请用（2）中发现的规律计算：． 十三、一元二次方程的定义 22．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如果一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 十四、一元二次方程的一般形式 24．（22-23八年级下·安徽六安·期中）把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为(   ) A．和3 B．和1 C．和3 D．和1 十五、一元二次方程的解 25．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）若a是方程的根，则的值为 ． 26．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（    ） A． B． C． D．或 十六、解一元二次方程——直接开平方法 27．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数对应的，则的值是 ． 28．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 十七、解一元二次方程——配方法 29．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 十八、公式法解一元二次方程 30．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元次方程的两个根，求的值． 31．（21-22八年级下·安徽六安·期中）定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号表示a，b中较大值，如，因此，按照这样的规定，若，则x的值是（　　） A．或 B． C．1或 D．0或 十九、换元法解一元二次方程 32．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 33．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1)； (2)． 二十、配方法的应用 34．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 35．（22-23八年级下·安徽池州·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．    ②求的最小值． 解：原式                    解：原式                                 ．                        ，                            ，     即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______________． (2)因式分解：． (3)求的最小值． 二十一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 36．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 二十二、根据一元二次方程根的情况求参数 37．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 38．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根．①求a的取值范围为 ②若关于的方程的解为整数且满足①中条件的所有a值的和为 ， 二十三、一元二次方程的根与系数的关系 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值是（      ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实数根，，且，求的值． 二十四、增长率问题(一元二次方程的应用) 41．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种衬衫每次降价的百分率； (2)若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 二十五、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 42．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 二十六、营销问题(一元二次方程的应用) 43．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每周的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． (1)求每周的销售量（件）与每件的售价（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） (2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元，那么每件的售价应定为多少元？ 二十七、动态几何问题(一元二次方程的应用) 44．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 二十八、其他问题(一元二次方程的应用) 45．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油量的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是______千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 二十九、用勾股定理解三角形 46．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，点和点分别为轴与轴上一点，且，为直线上一点，作交轴于点． （）若点的横坐标为，则 ； （）若为线段中点，连接，则的最小值为 ． 三十、以直角三角形三边为边长的图形面积 47．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，于点D．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为 ． 三十一、勾股定理与网格问题 48．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到AB的距离是（　） A． B． C． D． 三十二、勾股定理与折叠问题 49．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 三十三、已知两点坐标求两点距离 50．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限，点的坐标为，．若在轴上有一点，使得为等腰三角形，则点的坐标为 ．    三十四、勾股树（数）问题 51．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C． D． 三十五、以弦图为背景的计算题 52．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，，则的值是 ．    三十六、用勾股定理构造图形解决问题 53．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 三十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 54．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子斜靠在墙角处，，梯子底端离墙角的距离．    (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？ (3)若梯子顶端A下滑的距离为，底端B向左滑动的距离为，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由． 三十八、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 55．（22-23八年级下·安徽六安·期中）围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高，树的根部到围墙的距离，树梢着地点到围墙的距离，．求大树折断前的高度．    三十九、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 56．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 四十、解决航海问题(勾股定理的应用) 57．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）第一艘轮船以的速度离开港口向东南方向航行，第二艘轮船在第一艘轮船出发后在同地以的速度向西南方向航行，在第一艘轮船离开港口后它们相距多远？ 四十一、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 58．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 四十二、求最短路径(勾股定理的应用) 59．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．    四十三、利用勾股定理的逆定理求解 60．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（    ）． A．30 B．130 C．60 D．120 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$