2.3.1 向量的数乘运算(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 解析　A正确；B正确；C错误，由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b；D错误，由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n. 答案　AB 2．(2024·河北衡水中学月考)设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是(　　) A．a与λ2a的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．|λa|＝λ|a| D．|－λa|＝－λ|a| 解析　对于A，因为λ2＞0，所以a与λ2a的方向相同，故A正确；对于B，当λ＜0时，a与－λa的方向相同，故B错误；对于C，当λ＜0时，λ|a|＜0，故C错误；对于D，当λ＞0时，－λ|a|＜0，故D错误． 答案　A 3．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式正确的是(　　) A．e＝　　　　　 B．a＝|a|e C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e 解析　对于A，当a＝0时，没有意义，错误；对于B、C、D，当a＝0时，选项B、C、D都对；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选D． 答案　D 4．设a，b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b，那么(　　) A．与同向，且||＞|| B．与同向，且||＜|| C．与反向，且||＞|| D．与反向，且||＜|| 解析　＝＋＋＝(2a＋3b)＋(－8a－2b)＋(－6a－4b)＝－12a－3b＝(－8a－2b)＝，所以与同向，且||＞||. 答案　A 5．已知＝－，若记＝λ，则λ＝___________________. 解析　＝－＝－， ∴＝＋＝－＝， 则有＝－＝－＝， ∴λ＝.故答案为. 答案　 6．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝________. 解析　∵D，E，F分别为△ABC三边的中点， ∴＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3×(＋) ＝＋＋＋＋＋ ＝＋＋＝. 答案　 7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 解析　将原等式变形为 2y－a－c－b＋y＋b＝0， 即y－a－c＋b＝0， y＝a－b＋c， 所以y＝＝a－b＋c. 答案　a－b＋c. 8．已知▱ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． (1)用a，b表示向量，； (2)说明与的关系． 解析　(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴＝＝a. ∵M为AB的中点，∴＝＝b， ∴＝＋＝b＋a. ∵N为BD上靠近B的三等分点， ∴＝， ∴＝＋＝＋ ＝(－)＋＝(b－a)＋a＝a＋b. (2)由(1)知＝， 向量与向量方向相同， 且的长度为长度的. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，点E为BC边上一点，且＝3，点F为AE的中点，则(　　) A．＝－＋ B．＝＋ C．＝－＋ D．＝－ 解析　由题知＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故A正确；因为＝3，所以＝＝－＋，所以＝＋＝＋＝＋，又点F为AE的中点，所以＝＝＋，故B正确；＝＋＝－＋＋＝－＋，故C正确；＝＋＝－＝－＋－＝－－，故D错误．故选ABC． 答案　ABC 10．图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论： ①－＋＝0；②＋＝－；③＋－＝. 其中正确的结论是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析　对于①，－＋＝＋＋＝＋＝，故①错误； 对于②，因为∠AOC＝×2＝90°，所以以OA，OC为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB平分∠AOC，所以＋＝＝－，故②正确； 对于③，因为＋－＝＋＋＝＋，＝， 所以＋－＝＋＝，故③正确．故选C． 答案　C 11．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，则的值等于________． 解析　∵D是BC的中点，∴＋＝2， ∴2＝2，即＝，故＝1. 答案　1 12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________. 解析　△ABC中，D是AB边上一点，＝2，＝＋λ， ∴＝＋＝＋2　①， ＝＋， ∴2＝2＋2＝2－2　②； ①＋②，得3＝＋2， ∴＝＋，∴λ＝. 故答案为. 答案　 13.如图所示，L，M，N是△ABC三边的中点，O是△ABC所在平面内的任意一点，求证：＋＋＝＋＋. 证明　＋＋ ＝＋＋＋＋＋ ＝(＋＋)＋(＋＋) ＝(＋＋)＋(＋＋) ＝(＋＋)＋0 ＝＋＋. 所以原式成立． [核心价值·探索创新] 14．(2024·高平第一中学期中)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析　∵－＝，∴＝λ， 令＋＝，则是以A为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上，∵＝λ，∴，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B． 答案　B 15．设O在△ABC内部，且＋＋2＝0，求△ABC的面积与△AOC的面积之比． 解析　如图所示，以OA和OB为邻边作平行四边形OADB， 设OD与AB交于点E，则E分别是OD，AB的中点，＋＝＝2， 则2＋2＝0，所以＝－. 则O，E，C三点共线，所以O是中线CE的中点． 又△ABC，△AEC，△AOC有公共边AC， 则S△ABC＝2S△AEC＝2(2S△AOC)＝4S△AOC． 所以S△ABC∶S△AOC＝4∶1. 学科网（北京）股份有限公司 $$