2.2 从位移的合成到向量的加减法(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)(2024·河北师大附中高一下期中)下列式子可以化简为的是(　　) A．＋(＋) B．(＋)＋(－) C．＋－ D．＋－ 解析　＋(＋)＝(＋)＋＝＋＝，A正确；(＋)＋(－)＝(＋)＋(＋)＝，B正确；＋－＝－＝，C正确；＋－＝－≠，D错误． 答案　ABC 2．(多选题)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，E为AD的中点，则(　　) A．＋＝ B．||＝|E| C．－＝ D．＋＝0 解析　由题意得||＝||＝||＝1，AE∥BC，ED∥BC，所以＝＝，所以四边形ABCE和四边形BCDE都是平行四边形，所以＝，＝.由平行四边形法则，得＋＝，A正确；||＝||＝1，||＝||＝1，所以||＝||，B正确；－＝－＝＋≠，C错误；＝＝－，所以＋＝0，D正确． 答案　ABD 3．在矩形ABCD中，|AB|＝，||＝1，则向量＋＋的长度等于(　　) A．4 B．2 C．3 D．2 解析　在矩形ABCD中，由||＝，||＝1可得||＝2，又因为＋＝，所以＋＋＝2，故|＋＋|＝4. 答案　A 4．(多选题)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一个非零向量，则下列结论正确的是(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b| 解析　由题意知＋＋＋＝＋＋＋＝0＝a，可得a＝0，再根据b≠0，可得a∥b，且a＋b＝0＋b＝b，故A、C正确．再根据a＋b＝0＋b＝b≠a，可得B不正确．再根据|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，可得D不正确． 答案　AC 5．已知|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝1，则|a－b|＝_________________________. 解析　如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a|＝|b|＝1时，平行四边形ABDC为菱形． 又||＝|a＋b|＝1， 所以△ABD为正三角形，所以∠ABD＝60°. 容易得出|a－b|＝||＝2|| ＝2＝2× ＝. 答案　 6.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________. 解析　－＋＝＋＋＝＋， 因为＋＝0， 所以－＋＝0. 答案　0 7.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为370 N，则该学生的体重(单位：kg)约为________．(参考数据：取重力加速度大小为g≈10 m/s2，≈1.732) 解析　如图，设该学生的体重为G，则G＝F′. 由余弦定理得|F′|2＝3702＋3702－2×370×370×cos＝3×3702， ∴|F′|＝370. 所以|G|＝370(N)． 又|G|＝mg， 则m＝37≈64 (kg)， 则该学生的体重(单位：kg)约为64(kg)． 答案　64 kg 8．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝. 证明　证法一　因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝， 所以b＋c＝＋a， 即b＋c－a＝. 证法二　因为c－a＝－＝－＝，＝＋＝－b， 所以c－a＝－b，即b＋c－a＝. [关键能力·综合提升] 9．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析　设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|＋|＝2||.又|＋|＝，故||＝.又AB＝AC＝1，所以AO⊥BC，所以BO＝CO＝，所以BC＝，所以△ABC是等腰直角三角形． 答案　D 10．已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若|－－|＝1，则||的最大值是(　　) A．2－1 B．2 C．2＋1 D．2＋2 解析　依题意，－－＝－(＋)＝－＝，因为|－－|＝1，所以||＝1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆上，所以||的最大值为＋1＝2＋1. 答案　C 11．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________． 解析　如图，以AB，BC为邻边作菱形ABCD，则－＝－(＋)＝－＝. 由图可知，||等于等边△ABC的边AC上的高的2倍，所以||＝2× ＝， 所以|－|＝. 答案　 12.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c.则 (1)|a＋b＋c|＝________. (2)|a－b＋c|＝________. 解析　(1)如图，由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||. 则a＋b＋c＝，且||＝2. 所以|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，连接CF， 则＝－＝a－b， 所以a－b＋c＝＋＝， 且||＝2，所以|a－b＋c|＝2. 答案　(1)2　(2)2 13．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b. 求证：(1)|a－b|＝|a|； (2)|a＋(a－b)|＝|b|. 证明　因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， 所以CA＝CB．又M是斜边AB的中点， 所以CM＝AM＝BM. (1)因为－＝， 又||＝||，所以|a－b|＝|a|. (2)因为M是斜边AB的中点， 所以＝， 所以a＋(a－b)＝＋(－) ＝＋＝＋＝. 因为||＝||，所以|a＋(a－b)|＝|b|. [核心价值·探索创新] 14．(多选题)(2024·广东佛山高一期末)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一个力F2未知，则下列说法中正确的是(　　) A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N B．当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力大小为0 N C．当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N D．当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋G＋F2|≤7 N 解析　对于A，由题知，当该物体处于平衡状态时，F2的大小等于重力G与水平拉力F1的合力大小，如图1，|F2|＝5 N，A正确；对于B，如图2，记F1与F2的合力为F3，则F3与F2同向，且|F3|＝2 N，所以物体所受合力等于G与F3的合力，大小为＝2 (N)，B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|＝4 N，C正确；对于D，由A知，重力G与水平拉力F1的合力为，||＝5 N，当F2与同向时合力最大，最大值为7 N，反向时合力最小，最小值为3 N，即3 N≤|F1＋G＋F2|≤7 N，D正确． 答案　ACD 15．已知a，b是两个非零向量． (1)若|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|； (2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求. 解析　(1)如图所示，设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|－|＝|a－b|，||＝|＋|＝|a＋b|. 因为(＋1)2＋(－1)2＝42， 即||2＋||2＝||2， 所以△AOB是以∠AOB为直角的直角三角形， 从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等，知||＝||，因此|a＋b|＝4. (2)如图所示，平行四边形AOBC中，设＝a，＝b，则＝－＝a－b，＝＋＝a＋b. 因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以OA＝OB＝BA， 所以△OAB为正三角形． 设△OAB的边长为1，则|a－b|＝||＝1， |a＋b|＝2×＝， 所以＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$