2.1 从位移、速度、力到向量(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)已知▱ABCD中，下列说法正确的是(　　) A．||＝||　　　　 B．||＝|| C．||＝|B| D．||＝|| 解析　如图所示，平行四边形ABCD的两组对边分别相等． 答案　BD 2．(2024·福建永定一中阶段考)对于向量a，b，“a∥b”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为a＝b时一定有a∥b，所以“a∥b”是“a＝b”的必要条件，但a∥b时，两个向量a，b不一定相等，如零向量与任意非零向量都平行，但不相等，所以“a∥b”是“a＝b”的不充分条件．所以“a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件． 答案　B 3．设O是等边三角形ABC的中心，则，，是(　　) A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 解析　因为O是等边三角形ABC的中心，所以||＝||＝|O|＝R(R为△ABC外接圆的半径)，所以向量，，是模相等的向量． 答案　C 4．若||＝|A|且＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析　因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形． 答案　D 5．下列命题正确的个数是________． ①起点相同的单位向量，终点必相同； ②已知向量∥，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ③若a∥b，b∥c，则a∥c； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 答案　0 6．如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形． (1)图中标出的向量中与向量相等的向量有________； (2)若||＝3，则向量的模等于________． 解析　(1)由题意知AB∥EC，且D是EC的中点，所以与向量相等的向量有，. (2)因为||＝3，所以||＝6. 答案　(1)，　(2)6 7．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝______.向量与的夹角为______． 解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°， 设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1. 在Rt△ABO中，易得||＝， 则||＝2||＝2. 由平面几何知识得∠ABD＝30°， 所以向量与的夹角为150°. 答案　2　150° 8．如图，半圆的直径AB＝6，点C是半圆上的一点，点D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3. (1)求证：∥； (2)求||. (1)证明　由题意，知在△DEB中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，所以DE2＋BE2＝BD2， 即△DEB是直角三角形，∠DEB＝90°. 因为点C为半圆上一点，且AB为半圆的直径， 所以∠ACB＝90°， 所以AC∥DE，故∥. (2)解析　因为AC∥DE，所以△ABC∽△DBE， 所以＝，即＝， 故||＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系一定成立的是(　　) A．||＝|| B．与共线 C．与共线 D．与共线 解析　||与||一定相等，和一定共线，和一定共线，与不一定共线，故选ABD． 答案　ABD 10．(多选题)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是(　　) A．＝ B．∥ C．||＝|| D．||＝|| 解析　设正六边形ABCDEF的边长为a，依次分析各选项： 对于A，由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有＝，故A正确； 对于B，由正六边形的性质可得AB与DE平行，即∥，故B正确； 对于C，在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD＝BE＝2a， 即有||＝||，故C正确； 对于D，在正六边形ABCDEF中， AC＝a，BE＝2a，则||≠||，故D错误． 答案　ABC 11.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为__________；与向量共线的向量为__________；与向量的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量) 解析　∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为； 与共线的向量为，； 与的模相等的向量为，，，，. 答案　　，　，，，， 12．如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形． (1)图中所标出的向量与共线的有________； (2)图中所标出的向量与模相等的有________________； (3)向量与向量的夹角为________． 解析　(1)∵AB∥CD，且A，B，E三点共线， ∴与，共线． (2)∵AB＝BC＝CD＝DA＝BE， ∴||＝||＝||＝||＝||. (3)向量与向量的夹角为45°. 答案　(1)，　(2)，，，　(3)45° 13．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解析　(1)画出所有的向量如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝. ∴||的最大值为，最小值为. [核心价值·探索创新] 14．(2024·江苏高一专题练习)下列说法不正确的是________(写序号)． ①若与共线，则点A，B，C，D共线； ②四边形ABCD为平行四边形，则＝； ③四边形ABCD中，＝，||＝||，则四边形ABCD为正方形． 解析　①若与共线，则点A，B，C，D共线，不正确，比如平行四边形的对边；②若四边形ABCD为平行四边形，则＝，不正确；③在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD为正方形或菱形，不正确．故答案为①②③. 答案　①②③ 15．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救援．试求： (1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的最短路程； (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移． 解析　(1)画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70 n mile. (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为||＝＝50 n mile.由于sin∠BAC＝，故方向约为北偏东53°. 学科网（北京）股份有限公司 $$