2024-2025学年题型技巧培优系列（人教版）七年级数学下册《二元一次方程组》10.2 消元-解二元一次方程组十大题型

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《二元一次方程组》 10.2 消元-解二元一次方程组十大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1 、用代入消元法解二元一次方程组 1. 消元思想 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想 2. 代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。简称代入法。 3. 用代入消元法解二元一次方程组一般步骤 （1） 变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数。变形为y=ax+b或x=ay+b的形式。 （2） 代入：把y=ax+b或(x=ay+b)代入另一个方程中 （3） 求解：解消元后的一元一次方程 （4） 同代：把求得的未知数的值代入变形后的方程中，求另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。 知识点2 、用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相同或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 2. 用加减消元法解二元一次方程组的步骤 （1） 变形：根据绝对值较小的同一个未知数的系数的最小公倍数，将方程两边同乘以一个适当的数，使这个未知数系数相等或相反。 （2） 加减：两个方程的同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，当两个方程的同一个未知数系数相反时，将两个方程相加。 （3） 求解：解消元后的一元一次方程。 （4） 回代：把求得的未知数的值代入方程组中系数较简单的方程中，求出另一个未知数的值， （5） 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。 3. 两类加减消元法 （1） 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑加减消元法。 （2） 两个方程同一未知数的系数的绝对值既不相等也不成倍数关系时，应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为绝对值相等关系。 题型归纳 【题型1 用代入消元法解二元一次方程组的步骤】 【题型2 用代入消元法二元一次方程组】 【题型3 用加减消元法解二元一次方程组的步骤】 【题型4 用加减消元法解二元一次方程组】 【题型5 二元一次方程组的特殊解法】 【题型6选择恰当方法解二元一次方程组】 【题型7 二元一次方程组错解复原】 【题型8 由二元一次方程组的解求参数】 【题型9 二元一次方程组的同解问题】 【题型10 二元一次方程组的综合问题】 典例精析专练 【题型1 用代入消元法解二元一次方程组的步骤】 【例1-1】．已知方程，用含的式子表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的知识，代入消元法，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故选：A． 【例1-2】．用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形得． 故选：B． 【变式1-1】．用代入法解二元一次方程组时，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由得， 把③代入得，， 即， 故选：D． 【变式1-2】．解二元一次方程组的最优方法是 的方法．（选填“代入”或“加减”） 【答案】代入 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据“代入法”，“加减法”的意义进行判断即可． 【详解】解：解二元一次方程组的最优方法是代入法， 故答案为：代入． 【变式1-3】．在方程中，用含的代数式表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数，求出即可．看作已知数，表示出即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 【题型2 用代入消元法二元一次方程组】 【例2-1】．若与是同类项，则代数式的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知同类型求指数中字母或代数式的值，解二元一次方程组．根据同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同”，列方程组求出x和y 的值，代入计算即可． 【详解】解：与是同类项， ， 解得， ， 故选D． 【例2-2】．小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解． 【详解】解：由题意可知用整体代入法代入后得：； 故选C． 【变式2-1】．用代入消元法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入法求解是解题的关键．注意整体思想的运用． 把看做成一个整体，用代入法求解即可． 【详解】解：把①代入②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故这个方程组的解是． 【变式2-2】．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，选择合适的方法是快速解题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 因此该方程组的解为； （2）解： ，得：， 将代入，得：， 解得， 因此该方程组的解为． 【变式2-3】．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为________． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． （2）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x值，即可确定出方程组的解． 此题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）由①得：③， 将③代入②得：，即， 将代入③得：， 则方程组的解为 ． 故答案为 ． （2）由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为 【题型3 用加减消元法解二元一次方程组的理解】 【例3-1】．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察方程组中与的系数特点，利用加减消元法判断即可． 【详解】解：要消去可以将①②，故选项A不合题意，C合题意； 要消去，可以将①②，故选项B、D不合题意． 故选：C． 【例3-2】．用加减法解方程组时，消去y应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键． 根据①中y的系数是3，②中y的系数是，判断出要求消去y，则应①的二倍与②的和即可解答． 【详解】解：用加减法解方程组时，若要求消去y，则应． 故选：C． 【变式3-1】．数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据加减消元法逐一进行判断即可． 【详解】解：，得：，不能消去，故A错误； ，得：，不能消去，故B错误； ，得：，不能消去，故C错误； ，得：，可以消去，故D正确； 故选D． 【变式3-2】．用加减法解方程组时，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了加减法解二元一次方程组．根据②①消去未知数y即可得到答案． 【详解】解：时， 由②①消去未知数y得到， 故选：A 【变式3-3】．解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； (2)请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 【答案】(1)甲，解题过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）根据甲二元一次方程组的方法验证甲、乙同学的计算方法即可求解； （2）运用代入法计算即可求解． 【详解】（1）解：②①得，， ∴出错的是甲同学， 正确解题过程：②①得，， 解得，， 把代入①得，， 整理得，， 解得，， ∴原方程组的解为， 故答案为：甲； （2）解：， 由①得，③， 把③代入②得，， 整理得，， 解得，， 把代入③得，， ∴原方程组的解为． 【题型4 用加减消元法解二元一次方程组】 【例4-1】．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得： ， 将代入①得：， 解得：， 原方程组的解为． 【例4-2】．下面是小星同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③………………第一步 ，得，………………第二步 ，………………第三步 将代入①，得， ，………………第四步 ∴原方程组的解为………………第五步 解决下列问题： (1)上述这种求解二元一次方程组的方法叫做______法； (2)小星同学第______步开始出现错误； (3)求该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义“当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法”即可得； （2）根据即可得； （3）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】（1）解：上述这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减消元． （2）解：小星同学第二步开始出现错误，即计算时出现错误， 故答案为：二． （3）解：， ，得③， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 所以原方程组的解为． 【变式4-1】解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴二元一次方程组的解为． 【变式4-2】．解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式4-3】．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 【题型5 二元一次方程组的特殊解法】 【例5-1】．若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了求整式的值，①，②，①②即可求解；会用整体加减运算是解题的关键． 【详解】解：①，②， ①②得， ， 故选：C． 【例5-2】．对于题目：若方程组的解为，能否求出方程组的解．并说明理由． 嘉嘉的回答：这个题目中的字母太多，无法解出． 琪琪的回答：方程组的解为 嘉琪的回答：方程组的解为，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉的回答正确 B．琪琪的回答正确 C．嘉琪的回答正确 D．他们三个的回答都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 将待求方程组整理为，可得，再求出解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∵， ∴整理得：， ∴的解是， 解得． 所以嘉琪的回答正确． 故选：C． 【变式5-1】．已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解为，得到，从而求出即可． 【详解】∵关于的二元一次方程组的解为， ∴可以把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组， ∴， ∴， ∴关于的二元一次方程的解为． 故答案为：． 【变式5-2】．若方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是比较两个方程组的结构相似之处，得出． 通过观察两个方程组的之间的关系，得出即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组中，， 解得：， ∴方程组的解是． 故答案为：． 【变式5-3】．若方程组的解是，求方程组的解 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．将第二个方程组变形为第一个方程组的形式，从而得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：将方程组的两个方程的两边同时除以4，得 ， 方程组的解是， ， 解得：， 方程组的解为． 故答案为：， 【题型6选择恰当方法解二元一次方程组】 【例6-1】．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． （1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可； （2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可． 【详解】（1）解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 【例6-2】．解方程组： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法解此题即可； （2）利用加减消元法解此题即可； （3）整理①式，先利用整体代入法，再利用加减消元法解此题． 【详解】（1）解： 将①代入②，得： ， 解得：， 将代入①，得： ， 所以原方程组的解是． （2）解： ，得： ， ，得： ， 解得：， 将代入①得： ， 解得：， 所以原方程组的解是． （3）解： 整理①，得： ， 将②代入③，得： ， 解得：， 将④代入③，得： ， 解得：， ，得： ， 解得：， 将代入⑤，得： ， 所以原方程组的解是． 【变式6-1】．（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为　　 （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　　 ． 【答案】（1）；（2）；（3），2，3 【分析】（1）仿照题干中给出的解方程组的方法，解方程组即可； （2）用整体代入法解方程组即可； （3）根据方程组得出，根据，得出，解不等式组得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）， 由①得：， 把代入②得， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为； 故答案为：； （2） 由①得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的m的所有正整数值为，2，3． 故答案为：，2，3． 【点睛】本题主要考查了整体代入法解方程组，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算． 【变式6-2】．阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可； （2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得， 将③代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：； （2）解：， 整理得：， 把③代入④得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【变式6-3】．用代入法解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点，准确计算是解题的关键；将代入，求出x的值，然后再求出y的值即可． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 【题型7 二元一次方程组错解复原】 【例7-1】．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解；将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：将和分别代入方程， 得到关于m和n的二元一次方程组， 解得； 将代入， 得到关于t的一元一次方程， 解得， 故答案为： 【例7-2】．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，首先将甲的解代入②，乙的解代入①求出a与b的值，然后应用代入消元法，求出原方程组的正确解即可． 【详解】解：甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的， 解得， , 解得， 乙看错了方程②中的，解得， , 解得， 原方程组为， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③得， 方程组的解为． 【变式7-1】．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错②中的，解得．求的值． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组，涉及二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解一元一次方程等知识，甲看错了方程①、看对了②；乙看错了方程②、看对了①，将方程组的解代入看对的方程求解即可得到答案．熟练掌握二元一次方程组的解是解决问题的关键． 【详解】解：甲看错了方程①中的，解得， 甲看对了方程②，则将代入②得，解得； 乙看错了方程②中的，解得， 乙看对了方程①，则将代入①得，解得； 综上所述，，． 【变式7-2】．甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【答案】4，5，；乙把抄成了 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 根据题意把代入方程组，把代入，分别求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得 解得． 把代入，得， 可得新的方程组 解得 把代入， 得， 解得 ，，，乙把抄成了． 【变式7-3】．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错了方程①的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试求出a，b的正确值，并计算的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，有理数的混合运算等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键，将代入方程组的第二个方程，求出的值；将代入方程组的第一个方程，求出的值；将所求的、的值代入，计算即可． 【详解】解：将代入②，得，解得， 将代入①，得，解得， 当，时，． 【题型8 由二元一次方程组的解求参数】 【例8-1】．．若方程组的解中，则k等于（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用可得：，代入求解即可． 【详解】解：， 可得：， ∴同除可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 【例8-2】．．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， 得：， 把代入②得：， 关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数， 既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7， 或4， 当时，； 当时，， 的值为3或15． 故选：D． 【变式8-1】．若方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将两个方程相减后，整体代入法进行求解即可． 【详解】解： ，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【变式8-2】．已知关于，的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的解的问题，解决本题的关键是整体思想的运用．首先把可得：，再根据，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ． 【变式8-3】．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时、求这个方程组的解； (2)当这个方程组的x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)嘉淇说：“无论a取什么数，的值始终不变．”请判断嘉淇的说法正确吗？说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)正确，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，二次一次方程组的解法，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入得，求解即可； （2）解方程组，再根据这个方程组的x，y的值互为相反数，即可求解； （3）将方程组的解代入中计算即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得：； （2）解：解方程组，得： ， ∵这个方程组的x，y的值互为相反数， ∴， ∴； （3）解：∵方程组的解为， ∴， ∴无论取什么数，的值始终不变． 【题型9 二元一次方程组的同解问题】 【例9-1】．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 得：， 将代入①得：， 将代入得： ， 得：， 将代入④得：， 当时， 故答案为：． 【例9-2】．已知关于x，y的方程组的解是，则关于m，n方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，根据已知条件可得出方程组的解满足关系式∶，进而求解可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式∶， 解得：， 故答案为： 【变式9-1】．已知是关于，的方程组的解，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，把代入关于，的方程组，求出、的值，再将、的值代入一元一次方程，解方程求出的值，即可． 【详解】解：∵是关于，的方程组的解， 故将代入方程组，得出， 解得：， 将，代入方程，得， 解得：． 故答案为：． 【变式9-2】．已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得 把代入，得 解得 ． 【变式9-3】．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解 (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，乘方，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； （1）根据题意，可得，计算求解即可； （2）根据题意，将代入，即可求解和的值，进而求解； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 得， 将代入①，可得， 解得：， 则这个方程组的解为； （2）解：当时， 联立，可得：； 解得：； 则； 【题型10 二元一次方程组的综合问题】 【例10-1】．对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A．6 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查新定义的运算和解二元一次方程组，先根据，，得到方程组，求得a和b的值，再根据新定义求解即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则． 故选：A 【例10-2】．已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 【答案】500 【分析】本题考查了解二元一次方程组．列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 设有p个x取，q个x取2，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】解：设有个，q个2， ∵， ∴， 解得， ∴原式． 故答案为：500． 【变式10-1】．对于x、y定义一种新运算“”，，其中a，b是常数，例如：，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义型运算公式，将条件中的数字代入即可求出a与b的值，然后再将15与代入公式即可求出答案． 本题考查新定义运算，涉及二元一次方程组的解法，代数式求值问题，属于中等题型． 【详解】解：由题意可知：, ∴， ∴解得：， ∴． 【变式10-2】．已知，求的立方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了立方根以及非负数的性质的应用．先根据，求得，的值，进而得到的立方根． 【详解】解：， ， 解得， ， 的立方根为3． 【变式10-3】．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，方程组中两方程相加，可得出，等式两边再同时除以2，即可求出的值． 【详解】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， ∴， 整理得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《二元一次方程组》 10.2 消元-解二元一次方程组十大题型 知识要点归纳 知识点1 、用代入消元法解二元一次方程组 1. 消元思想 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想 2. 代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。简称代入法。 3. 用代入消元法解二元一次方程组一般步骤 （1） 变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数。变形为y=ax+b或x=ay+b的形式。 （2） 代入：把y=ax+b或(x=ay+b)代入另一个方程中 （3） 求解：解消元后的一元一次方程 （4） 同代：把求得的未知数的值代入变形后的方程中，求另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。 知识点2 、用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相同或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 2. 用加减消元法解二元一次方程组的步骤 （1） 变形：根据绝对值较小的同一个未知数的系数的最小公倍数，将方程两边同乘以一个适当的数，使这个未知数系数相等或相反。 （2） 加减：两个方程的同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，当两个方程的同一个未知数系数相反时，将两个方程相加。 （3） 求解：解消元后的一元一次方程。 （4） 回代：把求得的未知数的值代入方程组中系数较简单的方程中，求出另一个未知数的值， （5） 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。 3. 两类加减消元法 （1） 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑加减消元法。 （2） 两个方程同一未知数的系数的绝对值既不相等也不成倍数关系时，应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为绝对值相等关系。 题型归纳 【题型1 用代入消元法解二元一次方程组的步骤】 【题型2 用代入消元法二元一次方程组】 【题型3 用加减消元法解二元一次方程组的步骤】 【题型4 用加减消元法解二元一次方程组】 【题型5 二元一次方程组的特殊解法】 【题型6选择恰当方法解二元一次方程组】 【题型7 二元一次方程组错解复原】 【题型8 由二元一次方程组的解求参数】 【题型9 二元一次方程组的同解问题】 【题型10 二元一次方程组的综合问题】 典例精析专练 【题型1 用代入消元法解二元一次方程组的步骤】 【例1-1】．已知方程，用含的式子表示为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】．用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．用代入法解二元一次方程组时，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．解二元一次方程组的最优方法是 的方法．（选填“代入”或“加减”） 【变式1-3】．在方程中，用含的代数式表示为： ． 【题型2 用代入消元法二元一次方程组】 【例2-1】．若与是同类项，则代数式的值是（    ） A．2 B． C． D． 【例2-2】．小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．用代入消元法解方程组： 【变式2-2】．解方程组： (1)； (2)． 【变式2-3】．观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得. 解得． 把代入①得， 所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为________． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【题型3 用加减消元法解二元一次方程组的理解】 【例3-1】．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【例3-2】．用加减法解方程组时，消去y应为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【变式3-2】．用加减法解方程组时，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】．解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． (1)老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； (2)请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 【题型4 用加减消元法解二元一次方程组】 【例4-1】．解方程组：． 【例4-2】．下面是小星同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③………………第一步 ，得，………………第二步 ，………………第三步 将代入①，得， ，………………第四步 ∴原方程组的解为………………第五步 解决下列问题： (1)上述这种求解二元一次方程组的方法叫做______法； (2)小星同学第______步开始出现错误； (3)求该方程组的正确解． 【变式4-1】解二元一次方程组：． 【变式4-2】．解方程组：． 【变式4-3】．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【题型5 二元一次方程组的特殊解法】 【例5-1】．若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 【例5-2】．对于题目：若方程组的解为，能否求出方程组的解．并说明理由． 嘉嘉的回答：这个题目中的字母太多，无法解出． 琪琪的回答：方程组的解为 嘉琪的回答：方程组的解为，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉的回答正确 B．琪琪的回答正确 C．嘉琪的回答正确 D．他们三个的回答都不正确 【变式5-1】．已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 【变式5-2】．若方程组的解是，则方程组的解为 ． 【变式5-3】．若方程组的解是，求方程组的解 ， ． 【题型6选择恰当方法解二元一次方程组】 【例6-1】．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【例6-2】．解方程组： (1)； (2)； (3)． 【变式6-1】．（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为　　 （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　　 ． 【变式6-2】．阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【变式6-3】．用代入法解方程组 【题型7 二元一次方程组错解复原】 【例7-1】．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 ． 【例7-2】．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 【变式7-1】．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错②中的，解得．求的值． 【变式7-2】．甲、乙二人解关于x、y的方程组，甲正确地解得，而乙因把c抄错了，结果解得，求出a、b、c的值，并求乙将c抄成了何值． 【变式7-3】．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错了方程①的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试求出a，b的正确值，并计算的值． 【题型8 由二元一次方程组的解求参数】 【例8-1】．．若方程组的解中，则k等于（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【例8-2】．．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A． B．3 C．或4 D．3或15 【变式8-1】．若方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式8-2】．已知关于，的方程组．若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 【变式8-3】．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时、求这个方程组的解； (2)当这个方程组的x，y的值互为相反数时，求a的值； (3)嘉淇说：“无论a取什么数，的值始终不变．”请判断嘉淇的说法正确吗？说明理由． 【题型9 二元一次方程组的同解问题】 【例9-1】．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【例9-2】．已知关于x，y的方程组的解是，则关于m，n方程组的解是 ． 【变式9-1】．已知是关于，的方程组的解，则关于的方程的解是 ． 【变式9-2】．已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【变式9-3】．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解 (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【题型10 二元一次方程组的综合问题】 【例10-1】．对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A．6 B．10 C．18 D．20 【例10-2】．已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 【变式10-1】．对于x、y定义一种新运算“”，，其中a，b是常数，例如：，求的值． 【变式10-2】．已知，求的立方根． 【变式10-3】．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$