精品解析：四川省自贡市2025届高三下学期二模中职数学试题

自贡市2022级高三第二次模拟考试题 数学 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.每小题给出A，B，C，D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 3. 下列说法正解的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若（ ） A. B. C. D. 2 5. 点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 巡视组想了解工作人员对领导的评价，决定对某部门的三个单位的工作人员采用分层抽样的方法抽取一个样本，已知该三个单位的工作人员的人数比为，且人数最少的一个单位抽出10人．则这个样本容量为（ ） A. 10 B. 20 C. 50 D. 100 7. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 9. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. ，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 为三个不同平面，为两条不同直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 12. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数且在单调递增 B. 为奇函数且在单调递减 C. 为偶函数且在单调递增 D. 为偶函数且在单调递减 13. 焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. 7 B. 3 C. 0 D. 14. 已知，则（ ） A. B. C. D. 15. 是双曲线的右焦点，点P为双曲线左支上的一点，点，则的周长的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 16. 中，，则______． 17. 从任取两个数，则这两个数的差的绝对值大于2的概率为______． 18. 在的展开式中，常数项为______． 19. 半径为1，高为4的圆柱的外接球的表面积为______． 20. 已知函数，若，且数列的前项和为，则______． 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 21. 某单位“三•八”节抽奖：从抽奖箱里的2红8白，只有颜色不同的10个球中任意摸出一个球，摸到红球者获奖300元，摸到白球者获奖100元．其中每位男职工摸奖一次；每位女职工摸奖两次，以这两次摸奖中的最高奖作为她的最终得奖金且两次均摸到红球者另获鲜花一束． （1）若有7名员工共摸奖11次，现从这7名员工中任选2名作主持人，求主持人恰好一男一女的概率． （2）每位女职工获得奖金金额为元，求随机变量的概率分布列和数学期望． 22. 数列满足，且. （1）求的值； （2）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式. 23. 已知函数的定义域为，且． （1）求的值； （2）当时，恒成立，判断函数的单调并证明． 24. 已知分别是的内角所对的边． （1）求证：； （2）若，且边，求边的范围． 25. 如图所示，三棱锥中，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值． 26. 倾斜角为直线过点，圆C的圆心坐标为且与直线相切． （1）求直线与圆C的方程； （2）设点为线段的中点，若点为圆上的动点，试判断是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市2022级高三第二次模拟考试题 数学 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.每小题给出A，B，C，D四个选项，其中只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再由交集的概念运算即可. 【详解】， 所以． 故选：D． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零且真数大于零列出不等式即可得解. 【详解】因为函数， 由且，解得且， 所以定义域为且. 故选：B． 3. 下列说法正解的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解. 【详解】选项，若则，成立； 选项B，若，当，时，此时，故错误； 选项C，当时，没有意义，故错误； 选项D，若，，所以，则，故错误； 故选：． 4. 若（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将进行变形得，结合对数的运算公式即可得解. 【详解】由， 所以． 故选：C． 5. 点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点确定直线的斜率，再根据斜截式方程确定直线方程即可. 【详解】已知点， 斜率为，由为与轴的交点， 所以截距为， 所求直线为．即. 故选：A． 6. 巡视组想了解工作人员对领导的评价，决定对某部门的三个单位的工作人员采用分层抽样的方法抽取一个样本，已知该三个单位的工作人员的人数比为，且人数最少的一个单位抽出10人．则这个样本容量为（ ） A. 10 B. 20 C. 50 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出式子即可得解. 【详解】三个单位的工作人员的人数比为，且人数最少的一个单位抽出10人， 则这个样本容量为． 故选：C． 7. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出值即可得解. 【详解】由，又因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 准线方程为． 故选：D． 8. 已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，即可化简求值. 【详解】因为，即， 所以，即， 所以. 故选：B． 9. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】由可以推出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 10. ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的垂直得出，结合向量的内积公式即可得解. 【详解】因为且， 则， 即， 又两向量夹角 所以，即. 故选：D． 11. 为三个不同平面，为两条不同直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面，线面及面面的位置关系即可得解. 【详解】若，则或平面与平面相交，故错误； 若，则或平面与平面相交，故错误； 若，则或，故错误； 若则，故正确， 故选：D． 12. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数且在单调递增 B. 为奇函数且在单调递减 C. 为偶函数且在单调递增 D. 为偶函数且在单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】求出复合型对数函数的定义域，结合复合函数的单调性即可得解. 【详解】函数，由， 解得，所以函数定义域为， ，为奇函数， 令，，则， 所以函数在上单调递减， 因为函数在定义域内为增函数， 根据同增异减可知函数在上为减函数， 故选：. 13. 焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. 7 B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在轴得出，利用离心率公式求出，结合即可得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上， 所以，解得，且， 因为，所以， 则，解得， 故选：A． 14. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式即可得解. 【详解】由． 故选：A． 15. 是双曲线的右焦点，点P为双曲线左支上的一点，点，则的周长的最小值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为， 由题意知，双曲线，其中， 则， 故， 由双曲线的定义知的周长为 （当三点共线时取等号）． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 16. 中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的内积即可得解. 【详解】由题意可知为等边三角形，所以， 所以， 故答案为：. 17. 从任取两个数，则这两个数的差的绝对值大于2的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概率的计算，即可求解. 【详解】由题意，两个数的差的绝对值大于2的样本点有，共3个， 所以两个数的差的绝对值大于2的概率为． 故答案为：. 18. 在的展开式中，常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式列出，再令的指数为0求出即可. 【详解】已知， 则， 当，即时，． 故答案为：. 19. 半径为1，高为4的圆柱的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出外接球的半径，再由球的表面积公式求值即可. 【详解】已知半径为1，高为4的圆柱，外接球的球心在圆柱上下底面圆心连线的中点处， 其外接球的半径为， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 20. 已知函数，若，且数列的前项和为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据函数解析式得出，再由分组求和法求和即可. 【详解】已知函数， 则， 故， 即 ， 故答案为：. 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 21. 某单位“三•八”节抽奖：从抽奖箱里的2红8白，只有颜色不同的10个球中任意摸出一个球，摸到红球者获奖300元，摸到白球者获奖100元．其中每位男职工摸奖一次；每位女职工摸奖两次，以这两次摸奖中的最高奖作为她的最终得奖金且两次均摸到红球者另获鲜花一束． （1）若有7名员工共摸奖11次，现从这7名员工中任选2名作主持人，求主持人恰好一男一女的概率． （2）每位女职工获得奖金金额为元，求随机变量的概率分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，172 【解析】 【分析】（1）根据摸奖次数求出7名员工中的男女数，再结合组合数计算概率即可. （2）分别求出每位女职工获得100元与获得300元的概率即可求解. 【小问1详解】 设这7人中男职工人，女职工人， 则由，解得． 从7名员工中任选2名，恰好一男一女的概率． 【小问2详解】 X可能的取值有100，300， 每位女员工每次摸到红球的概率为， 摸到白球的概率为， 获得100元即两次都摸到白球，概率为， 获得300元即至少一次摸到红球，概率为， 随机变量X的概率分布为 X 100 300 P 0.64 0.36 随机变量X的数学期望为： . 22. 数列满足，且. （1）求的值； （2）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）将，代入递推公式中求值即可. （2）根据数列的递推式，结合等比数列的定义证明，再利用等比数列的通项公式即可得解. 【小问1详解】 已知， 令，则， 令，则. 【小问2详解】 由两边加得， ，即， 又，得， 是以为首项，的等比数列， ，. 23. 已知函数的定义域为，且． （1）求的值； （2）当时，恒成立，判断函数的单调并证明． 【答案】（1），，. （2）为的单调递增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】（）通过对给定函数等式赋值来计算即可得解. （）利用函数单调性的定义即可得解. 【小问1详解】 令得； 令得； 令得， 所以，，. 【小问2详解】 设，且， 令，代入已知得， ， 又时，且， ， 函数为的单调递增函数． 24. 已知分别是的内角所对的边． （1）求证：； （2）若，且边，求边的范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角函数诱导公式，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合正弦定理可得，由（1）可知，结合以上等式化简即可求得角，根据，结合角的范围，即可求解. 【小问1详解】 因为在中，， 所以， 由正弦定理得，为外接圆半径， 即可得到，故. 【小问2详解】 因为， 由正弦定理得①， 所以， 再由（1）同理可得， 所以， 所以， 所以，即， 所以，又， 所以，又， 由①得因为，所以， 所以，故， 所以，故， 即边a的范围是． 25. 如图所示，三棱锥中，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析. （2）． 【解析】 【分析】（）取中点，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定证明出平面，结合面面垂直的判定即可得解. （）取中点，找到二面角的平面角，结合线面垂直的性质即可得解. 【小问1详解】 如图取中点，连接，， ，， 所以点是等腰直角三角形斜边中点， ，又，所以， 又，点是中点，所以， 则， 又平面，， 平面，又平面， 平面平面. 【小问2详解】 如图所示，取中点，连接， 又， 因为平面平面，，， 为二面角的平面角， 又平面，又平面， ， 设，在等边中， ， ， 二面角的正切值为． 26. 倾斜角为直线过点，圆C的圆心坐标为且与直线相切． （1）求直线与圆C的方程； （2）设点为线段的中点，若点为圆上的动点，试判断是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）， （2）是，． 【解析】 【分析】（1）根据直线的点斜式方程公式确定直线方程，再由直线与圆的关系得到半径的长，确定圆的方程即可. （2）根据中点坐标公式确定点B的坐标，设，再由两点之间的距离公式列式化简即可解答. 【小问1详解】 已知倾斜角为直线过点， 则，所以直线方程为，即， 由圆C的圆心坐标为且与直线相切， 可得， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 已知，， 则，即， 设，由点为圆上的动点， 可得，即， 则 ， 所以是定值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $