专题03 高二下学期期中真题精选（数列）（考题猜想，常考9大题型+压轴4大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

专题03 高二下学期期中真题精选 （常考9大题型，压轴4大题型） （人教A版2019选择性必修第二册第四章 数列） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差（比）数列通项的基本量计算 · 题型二 等差（比）数列角标和性质 · 题型三 等差（比）数列前项和基本量计算 · 题型四 等差（比）数列前项和性质 · 题型五 数列求通项（高频） · 题型六 数列求和之倒序相加法（高频） · 题型七 数列求和之分组求和法（高频） · 题型八 数列求和之裂项相消法（高频） · 题型九 数列求和之错位相减法（易错） · 压轴一 数列求和之分组求和（分类讨论）（重点） · 压轴二 数列求和之裂项相加法 （易错） · 压轴三 数列不等式中的恒（能）成立问题 （难点） · 压轴四 数列新定义题（难点） 题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共8小题） 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列是等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知等差数列中，，则数列的公差（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（    ） A．是递减的等差数列 B．数列的首项为正数 C．的最大值是20 D．是中的项 5．（24-25高三上·湖北·期中）已知等比数列的前3项和为28，且，则（    ） A．28 B．56 C．64 D．128 6．（23-24高二上·河北衡水·期中）已知等比数列中，，，则公比（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知首项为的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·浙江宁波·期中）在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 题型二、等差（比）数列角标和性质（共8小题） 1．（24-25高二上·福建三明·期中）已知等差数列满足，公差为3，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．5 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（   ） A．7 B．14 C．21 D．28 3．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 5．（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 6．（24-25高二上·河南开封·期中）在等差数列中，若，则 ． 7．（24-25高二上·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 . 8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 . 题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共8小题） 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知等差数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24高二下·辽宁·期中）设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 4．（24-25高三上·山西·期中）已知是等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·浙江宁波·期中）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 6．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则 . 7．（24-25高二上·重庆·期中）设等比数列的前项和为，，，则 8．（24-25高三上·辽宁·期中）设数列的前项和为，且满足，则 . 题型四、等差（比）数列前项和性质（共8小题） 1．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·期中）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北·期中）等差数列与的前项和分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 5．（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 6．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 8．（23-24高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 题型五、数列求通项（共10小题） 1．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项为14，且，则的最小值为 . 3．（24-25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 . 4．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 . 5．（24-25高三上·天津·期中）已知数列的前项和为，若，则 . 6．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ． 7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； 8．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． 9．（24-25高三上·河北·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； 10．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知首项为1的正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 题型六、数列求和之倒序相加法（共5小题） 1．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为 ； ②计算 . 4．（22-23高二下·湖南长沙·期中）德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成.已知某数列通项 . 5．（22-23高二下·河南信阳·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数 的导函数，若方程有实数解，则称()为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，已知函数 (1)求出的对称中心； (2)求 的值． 题型七、数列求和之分组求和法（共5小题） 1．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 2．（23-24高三上·天津河东·期中）已知数列满足，，，则数列的前40项和为 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)若，的前项和为，求． 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 5．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知无穷等比数列的前项和为. (1)求的值； (2)设，求数列的前项和. 题型八、数列求和之裂项相消法（共5小题） 1．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·期中）已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 4．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． (1)求数列和的通项公式： (2)设的前项和，求证：． 5．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 题型九、数列求和之错位相减法（共5小题） 1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知数列的前n项和为，，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和． 4．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列的前n项和为，且，. (1)求实数的值和数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 5．（24-25高三上·湖南·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)探究数列是否为单调数列； (2)求数列的前项和. 压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题） 1．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 2．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 3．（22-23高二上·福建莆田·期中）已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 4．（21-22高二上·贵州黔西·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列. (2)求数列的前n项和. 压轴二：数列求和之裂项相加法（共4小题） 1．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和 (1)求数列的通项公式； (2)设恒成立，求的取值范围． 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知正项等比数列的前项和为且. (1)求； (2)求数列的前项的和. 3．（24-25高三上·天津武清·期中）已知数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得. 4．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共5小题） 1．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和 (1)求数列的通项公式； (2)设恒成立，求的取值范围． 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 3．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 4．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高三上·河北衡水·期中）已知数列和满足，，，， (1)求与； (2)记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求的取值范围. 压轴四：数列新定义题（共5小题） 1．（24-25高三上·浙江·期中）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，. (1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”； (2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：； (3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值. 2．（23-24高二下·辽宁大连·期中）设数列满足：①；②所有项； ③．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3． (1)请写出数列1，5，7的伴随数列； (2)设，求数列的伴随数列的前30项之和； (3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和． 3．（23-24高三上·北京·期中）已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”. (1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求； (2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是； (3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列. 4．（22-23高二下·北京东城·期中）若数列：，，，满足：对任意，均有成立，则称数列为“数列”． (1)直接判断下面三个数列是否是“数列”；①：，，，；②：，，，；③：，，，； (2)若“数列”：，，，满足，证明：数列是等差数列的充分不必要条件是； (3)求的取值范围，使得存在非零实数，对任意正整数，数列：，，，，恒为“数列”． 5．（22-23高二下·北京·期中）已知有穷数列：满足，且当时，，令. (1)写出所有可能的值； (2)求证：一定为奇数； (3)是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由. $$专题03 高二下学期期中真题精选 （常考9大题型，压轴4大题型） （人教A版2019选择性必修第二册第四章 数列） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差（比）数列通项的基本量计算 · 题型二 等差（比）数列角标和性质 · 题型三 等差（比）数列前项和基本量计算 · 题型四 等差（比）数列前项和性质 · 题型五 数列求通项（高频） · 题型六 数列求和之倒序相加法（高频） · 题型七 数列求和之分组求和法（高频） · 题型八 数列求和之裂项相消法（高频） · 题型九 数列求和之错位相减法（易错） · 压轴一 数列求和之分组求和（分类讨论）（重点） · 压轴二 数列求和之裂项相加法 （易错） · 压轴三 数列不等式中的恒（能）成立问题 （难点） · 压轴四 数列新定义题（难点） 题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共8小题） 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列是等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：A. 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知等差数列中，，则数列的公差（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据已知及等差数列通项公式列方程求公差即可. 【详解】由已知，得，解得. 故选：A 3．（24-25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出和的值，再代入式子求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 即，即，则， 设等比数列的公比为，由，得， 即，则，即， 所以. 故选：C. 4．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（    ） A．是递减的等差数列 B．数列的首项为正数 C．的最大值是20 D．是中的项 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据题意得到该数列为等差数列，依据公差的正负可判断A，根据通项公式可求得B，根据首项以及公差可求得C，根据数列中每一项的特征可判断D. 【详解】，即，则是公差为的等差数列， 对于A，等差数列公差，所以是递减的等差数列，A选项正确； 对于B，等差数列公差，由，有，解得， 所以数列的首项为正数，B选项正确； 对于C，， 时，；时；时，， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，由可知，中的项都是偶数， 所以不是中的项，D选项错误. 故选：D. 5．（24-25高三上·湖北·期中）已知等比数列的前3项和为28，且，则（    ） A．28 B．56 C．64 D．128 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】通过前3项和以及，求解，由通项公式可计算结果. 【详解】因为，所以， 又的前3项和为28，即①， 又②， ②式比①式可得，解得（舍）或， 代入②式得，则. 故选：D 6．（23-24高二上·河北衡水·期中）已知等比数列中，，，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式列方程，可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得. 故选：B. 7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知首项为的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、确定数列中的最大（小）项、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先求基本量公比，求出的通项公式，进而构造数列，构造函数，，研究函数的单调性证明，从而证明当时，成立，进而得到数列的最大项，由此可得的范围. 【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列， 则，又，得到，即，解得或（舍）， 所以，由，得到，令， 当时，；当时，； 当时，，故. 下面证明当时，. 构造函数， 则，且在单调递增； 则， 故在上单调递增， 则， 所以当，成立，即， 故当时，，则，， 则当时，. 综上可知，数列的最大项为，即. 要使恒成立，即恒成立，则. 故选：C. 8．（24-25高二上·浙江宁波·期中）在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先求出该等比数列的公比，再将后式化简，得出和的关系，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，即，所以， 所以或或 所以的值为或或，所以的最小值为． 故选：A． 题型二、等差（比）数列角标和性质（共8小题） 1．（24-25高二上·福建三明·期中）已知等差数列满足，公差为3，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．5 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】先求出，然后利用等差数列的性质计算即可． 【详解】因为，公差为，所以， 所以，因此，   故选：D． 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（   ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 3．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】根据等差数列的性质，可得， 则，即. 故选：C. 4．（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算 【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值，最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 5．（24-25高二上·山东·期中）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、对数的运算性质的应用 【分析】利用等比数列的性质得到，计算出，结合对数运算性质计算出结果. 【详解】由题意得，为各项均为正数的等比数列，故， 且， 故. 故选：C 6．（24-25高二上·河南开封·期中）在等差数列中，若，则 ． 【答案】60 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】结合等差数列的性质可求，从而可求代数式的值. 【详解】∵在等差数列中，，∴，解得， ． 故答案为：60 7．（24-25高二上·湖南永州·期中）在正项数列中，，且，则 . 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算、等比中项的应用 【分析】先根据对数的运算得到等比数列，再结合等比中项可求得结果. 【详解】，可得， 所以，数列是公比为的等比数列， 因为，且，则，所以. 故答案为：. 8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列是各项均为正数的等比数列，，则 . 【答案】5 【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列性质结合对数运算运算求解即可. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且，可得， 所以. 故答案为：5. 题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共8小题） 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知等差数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】等差中项的应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由，取，得，结合，求解即可. 【详解】在中，取，得， 故，即，得， 故选：B. 2．（23-24高二下·辽宁·期中）设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、判断等差数列、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用可得,继而可得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，根据可得或，对的取值讨论即可求解． 【详解】由可得存在，使得，且 因为， 所以， 假设，解得或（舍去）， 此时， 由存在，，所以有或， 由可得，，两式相减得：， 当时，有，即， 根据可知：数列的奇数项和偶数项分别是等差数列，且公差均为2， 所以，解得， 当时，有，即，，解得， 由已知得，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：利用可得,得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列. 3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得. 【详解】由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 4．（24-25高三上·山西·期中）已知是等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列公比为，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由， 解得，所以，解得， 所以. 故选：B. 5．（多选）（24-25高二上·浙江宁波·期中）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 【答案】AC 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由已知可得公差，，即可判断AB；进而由等差数列的性质可判断CD. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为是等差数列且，所以公差，故B错误； 因为，且， 所以当时，；当时，， 则与均为的最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 6．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则 . 【答案】32 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】先根据等比数列的通项公式与前项和公式求和，再求即可. 【详解】首先，等比数列的公比不是1，这是因为若，则，所以. 由. 由. 所以. 故答案为：32 7．（24-25高二上·重庆·期中）设等比数列的前项和为，，，则 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，即可解出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，① ，② ②①得，整理可得，解得， 故. 故答案为：. 8．（24-25高三上·辽宁·期中）设数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等比数列的定义判定，再利用等比数列的通项公式和前项和公式来求解即可. 【详解】由，可得， 所以数列是一个公式为的等比数列， 即， 所以 即， 所以由等比数列的求和公式可得：， 故答案为:. 题型四、等差（比）数列前项和性质（共8小题） 1．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C. 2．（24-25高三上·河北·期中）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解. 【详解】因为数列均为等差数列， 所以. 故选：A 3．（24-25高三上·河北·期中）等差数列与的前项和分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质得到，从而得到. 【详解】因为数列与均为等差数列， 则， 所以. 故选：C. 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【详解】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以. 故选：B. 5．（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由题意知，， 所以，，成等比数列， 所以，即， 解得（舍负）. 故选：B. 6．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列， 由，得，则，所以，所以， 所以. 故选：B 7．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 【答案】A 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据给定条件，利用等比数列的公比，再利用性质计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 因此，所以. 故选：A 8．（23-24高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】36 【知识点】等差中项的应用、等差数列片段和的性质及应用 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：36. 题型五、数列求通项（共10小题） 1．（23-24高二下·河南南阳·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【知识点】判断或写出数列中的项、累乘法求数列通项 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项为14，且，则的最小值为 . 【答案】10 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、基本不等式求和的最小值 【分析】利用累加法求通项公式，并注意检验首项，然后用基本不等式求最小值，并考虑取等号条件即可. 【详解】当时，由，得，，…，， 将以上各式左右分别相加， 得， 所以， 又满足上式，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为10. 故答案为：10. 3．（24-25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 . 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由与的关系，可得，再累加法求解即可． 【详解】当时，由得， 即， 因为，所以， 所以， ， 则， 又满足上式，故， 故答案为：． 4．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 . 【答案】 【知识点】判断或写出数列中的项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此可得，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 5．（24-25高三上·天津·期中）已知数列的前项和为，若，则 . 【答案】54 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故答案为：54. 6．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列的前n项和为，且，，则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由，可知是等比数列，由等比数列的通项公式求出，然后由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，， 又不符合上式，所以. 故答案为： 7．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】利用等差数列的性质计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； 【详解】（1）①， 当时，②， 由①②，得，即， 又当时，，满足，所以. 8．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式． 【答案】(1) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列综合 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②，得到，所以， 又时，，得到，满足， 所以数列的通项公式为. 9．（24-25高三上·河北·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：数列为等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）由条件可得，，故可证明数列为等比数列. 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得，，整理得，即， 令得，，，， ∴是以为首项，公比的等比数列. 10．（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知首项为1的正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据递推公式可得是首项和公差均为1的等差数列，可得通项公式； 【详解】（1）因为，，且， 所以，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 所以， 因为，所以，且， 所以是首项和公差均为1的等差数列，即有． 题型六、数列求和之倒序相加法（共5小题） 1．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】先由得，再由等比中项的性质得， 再得定值，直接代入求和即可. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】利用中心对称的定义求出图象的对称中心，利用函数的对称性及倒序相加法求出通项. 【详解】函数的定义域为， ， 由，得， 则， 因此函数图象的对称中心是； 由，得， 当时，， ， ， 于是，即，， 所以数列的通项公式为. 故答案为：；. 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： ①函数的对称中心坐标为 ； ②计算 . 【答案】 2023 【知识点】函数对称性的应用、导数的加减法、倒序相加法求和 【分析】①先对函数求二阶导，得到，根据题意求出拐点，即可得出结果；②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出结果. 【详解】①因为， 所以，所以， 由得，此时， 由题意可得，即为函数的对称中心； ②由①知，函数关于中心对称， 所以，即， 因此； 记， 则 ， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解三次函数对称中心与拐点的关系，从而得解. 4．（22-23高二下·湖南长沙·期中）德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成.已知某数列通项 . 【答案】2022 【知识点】倒序相加法求和 【分析】根据项数和为2023两项和为2，分组求和可得结果. 【详解】因为， 所以， 因此. 故答案为：2022. 5．（22-23高二下·河南信阳·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数 的导函数，若方程有实数解，则称()为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，已知函数 (1)求出的对称中心； (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数对称性的应用、求函数的零点、导数的加减法、倒序相加法求和 【分析】（1）求出函数二阶导数的零点后可求函数图象的对称中心. （2）利用倒序相加法可求的值. 【详解】（1），，令可得， 因为为三次函数，故函数的拐点为， 故图象的对称中心为. （2）因为图象的对称中心为，故， 设， 则， 所以 ， 故. 题型七、数列求和之分组求和法（共5小题） 1．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【知识点】分组（并项）法求和 【分析】根据条件，利用并项求和，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2．（23-24高三上·天津河东·期中）已知数列满足，，，则数列的前40项和为 【答案】820 【知识点】判断等差数列、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据递推公式得出奇数项数列和偶数项数列各为等差数列，分组求和即可得出前40项和． 【详解】因为， 当为奇数时，则，是首项为1，公差为1的等差数列； 当为偶数时，则，是首项为2，公差为3的等差数列， ． 故答案为：820． 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)若，的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用构造式子相减，再进行因式分解，结合正项数列的概念得出，即可求解； （2）先求出时，，再进行分类讨论，利用等差数列前项求和公式进行求解即可； （3）利用分组求和法，公式法进行求和即可求解． 【详解】（1）① ② ①②整理得 数列是正项数列， 当时，由，可得， 数列是以2为首项，4为公差的等差数列， ； （2）， ， 当时，解得， 即， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）由题意知，， 故 ． 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得. 【详解】（1）因为数列的前项和满足：， 则，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 令，可得，则，解得， 所以，，且， 所以，数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，，故. （2）因为， 对任意的，， 问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为， ， 则， 上式下式得 ， 化简得， 因此，. 5．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知无穷等比数列的前项和为. (1)求的值； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等比数列中的关系可得解； （2）根据分组求和，利用等比数列、等差数列求和公式得解. 【详解】（1）当时，， 因为是等比数列，所以， 又因为，所以. （2）由（1）知， 因为，且， 所以是以6为首项，9为公比的等比数列， 题型八、数列求和之裂项相消法（共5小题） 1．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知数列满足（），记数列前n项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】将数列通项与前项和的关系，求得数列递推公式，进而可得通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得. 【详解】依题意，当时，，解得， 当时，，可得，即. 故是以1为首项，2为公比的等比数列，故. 所以， 所以， 因不等式恒成立，故的取值范围是. 故选：A 2．（24-25高三上·河北·期中）已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组即可求解，，即可得； （2）由可得，由裂项相消法即可求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以 . 3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，即可结论成立. 【详解】（1）由可得，且， 所以数列是公比和首项都为的等比数列， 所以，，故. （2）设等差数列的公差为，且， 因为，可得， 因为、、成等比数列，即， 因为，解得，所以， ， 因为， 综上所述，对任意，. 4．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． (1)求数列和的通项公式： (2)设的前项和，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见详解 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得证. 【详解】（1）由题，设数列的公比为（），的公差为， 由，即， 解得，， 又，即， 解得，. 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 所以 ， ，， 所以. 5．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)当时，取最大值； (3). 【知识点】确定数列中的最大（小）项、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定条件，结合变形等式，再利用等比数列定义求出通项. （2）求出，作差并探讨数列的单调性求出最大项. （3）求出，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 当时，，即，当时，，即， 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 所以. 题型九、数列求和之错位相减法（共5小题） 1．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)= 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）应用，可求出通项公式； （2）方法一应用错位相减法计算求和；方法二应用待定系数法结合累加即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）（方法一）由（1）可得. 则，① 则，② ①，得 ， 从而. （方法二）由（1）可得， 令，则 令，且， 则， 整理得， 则，解得， 故. . 2．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知数列的前n项和为，，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由的关系可判断为等差数列，进而可求解； （2）由错位相减法求和即可； 【详解】（1）由， ， ， ， 即是以2为公差，1为首项的等差数列， ，即， 当时，， 显然，时，上式不成立， 所以． （2）当时，， 当时， 则 两式相减得 化简可得：. 当时，，满足； 综上，. 3．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）由已知得出是首项为3，公差为5的等差数列，根据等差数列通项公式求得，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1），根据错位相减法求解即可． 【详解】（1）由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为3，公差为5的等差数列， 所以，即． （2）由（1）得， 所以①， ②， ①②，得 ， 所以． 4．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列的前n项和为，且，. (1)求实数的值和数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定的递推公式，取求得，再利用，结合等比数列求出通项. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，，又，则，所以； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 5．（24-25高三上·湖南·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)探究数列是否为单调数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)数列不是单调数列. (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当时，利用，求出数列的递推关系式即可得解； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意得，当时，， 两式作差得， 所以，则数列为常数数列， 无单调性，故数列不是单调数列. （2）由（1）可得，所以，故． 所以，① ，② ①-②得 所以 压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题） 1．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案； （2）由（1）求出，根据分组求和求得答案. 【详解】（1）因为，所以当时，， 所以，即. 当时，，解得， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 故． （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，. 当为奇数时， ， 当为偶数时， . 综上，. 2．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得，再分类讨论结合分组并项求和法求解即可 【详解】（1）设公比为，由题意得 解得 （2） 当为偶数时，， 当为奇数时，； ． 3．（22-23高二上·福建莆田·期中）已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用之间的关系，求得的关系，根据等比数列的定义，即可证明； （2）根据（1）中所求，求得，对进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果. 【详解】（1）数列的前n项和，， 则当时，，即， 当时，，解得， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，，， 当n为偶数时，， 于是得， 当n为奇数时，， 所以. 4．（21-22高二上·贵州黔西·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列. (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】数列求和的其他方法、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据等比数列的定义，证明等于一个定值即可； （2）求出数列的通项公式，利用分析法和分组求和法即可得出答案. 【详解】（1）证明：因为，， 所以， 所以数列是首项为4，公比为4的等比数列； （2）解：由（1）可得，即， 则 . 当n为偶数时，， 则 ， 当n为奇数时，则 ， 综上所述，. 压轴二：数列求和之裂项相加法（共4小题） 1．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和 (1)求数列的通项公式； (2)设恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数列不等式恒成立问题、对勾函数求最值、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）利用求出通项公式； （2）在（1）的基础上，裂项相消求出，不等式变形得到，由对勾函数的性质得到单调性，得到的最小值，得到答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然满足上式，故的通项公式为； （2）， 所以 ， 故，变形得到， 其中， 由于在上单调递减，在上单调递增， 又，故当或时，取得最小值， 当时，，当时，， 故的最小值为，所以. 所以的取值范围是. 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知正项等比数列的前项和为且. (1)求； (2)求数列的前项的和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据等比数列的性质可得，即可根据求解公比，进而可求解； （2）利用等比求和公式可得，进而利用裂项相消法求和即可求解. 【详解】（1）设公比为，由可得， 又，解得或， 由于为正项数列，所以，故； （2）由可得， ， 故 . 3．（24-25高三上·天津武清·期中）已知数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）根据与的关系式计算即可； （2）运用裂项相消计算即可； （3）找出符合条件的，即可. 【详解】（1）当时，，解得. 当时，， 所以，即， 而，故，故，， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以 所以. （3）∵，，，， 则， 所以结论成立. 4．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明. 【详解】（1）， 由， 所以， 所以． （2） 所以 压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共5小题） 1．（24-25高三上·四川自贡·期中）数列的前项和 (1)求数列的通项公式； (2)设恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、对勾函数求最值、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用求出通项公式； （2）在（1）的基础上，裂项相消求出，不等式变形得到，由对勾函数的性质得到单调性，得到的最小值，得到答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然满足上式，故的通项公式为； （2）， 所以 ， 故，变形得到， 其中， 由于在上单调递减，在上单调递增， 又，故当或时，取得最小值， 当时，，当时，， 故的最小值为，所以. 所以的取值范围是. 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3). 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 3．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】求等比数列前n项和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解. （2）根据等差求和可得，即可分离参数得，根据的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 （2），故， 由可得，化简可得， 因此， 记，则 ， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 4．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由，得时，，相减得出数列的递推关系，再确定关系式对是否适用，得证其为等比数列，从而得通项公式； （2）用错位相减法求得和，不等式恒成立，化为， 利用不等式法（最大项不比前后两项小）或作差法得出最大项，从而得参数范围． 【详解】（1）由，可得： 时，，两式相减可得：，所以， 时，，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，的通项公式为 （2），. ， ， 两式相减得：， 所以， 因为恒成立，可得， 记， 法一： 令，则，解得， 则，即当时，取到最大值2， 可得，所以实数的取值范围. 法二： ， 时，，即， 时，，即， 则，即当时，取到最大值2， 可得，所以实数的取值范围 5．（24-25高三上·河北衡水·期中）已知数列和满足，，，， (1)求与； (2)记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】写出等比数列的通项公式、二项展开式的应用、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由等比数列求得，对，写出时等式，两式相减确定是常数列，从而可得； （2）对中奇数项与偶数项分别求和，再相加得，用作差法证明是递增数列，最小值为，从而易得的范围． 【详解】（1），，是等比数列，公比为2，所以， ∵， ∴， 两式相减得，∴，从而是常数列，， 所以，即； （2）由已知，为奇数时，， ， 为偶数时，， 则， ， ， （∵）， ∴，∴， ∴，即是递增数列， 所以中最小值为， 对，恒成立，则． 压轴四：数列新定义题（共5小题） 1．（24-25高三上·浙江·期中）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，. (1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”； (2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：； (3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)8 【知识点】累加法求数列通项、作差法证明不等式、数列新定义 【分析】（1）根据阶乘表示的概念解题即可； （2）表示出和，再用作差法计算证明； （3）用数列累加法求和，结合解不等式组即可. 【详解】（1）因为，故“阶乘表示”为； ，故“阶乘表示”为； ，故“阶乘表示”为； 因为，故“阶乘表示”为； （2）因为，因为，故， 所以，由于，所以， 即， 依次化简可得，所以. （3）由于，由于， 故， 所以， 即， 累加可得， 即.当，时取到最小值， 此时，解得，即，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解定义，方可使用定义验证或探究结论. 2．（23-24高二下·辽宁大连·期中）设数列满足：①；②所有项； ③．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3． (1)请写出数列1，5，7的伴随数列； (2)设，求数列的伴随数列的前30项之和； (3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和． 【答案】(1)1，2，2，2，2，3，3. (2)110 (3) 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】（1）由伴随数列的定义求解； （2）由伴随数列的定义结合对数的运算求出数列中项，可求前30项之和； （3）由和的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和． 【详解】（1）由伴随数列的定义可知，数列1，5，7的伴随数列为1，2，2，2，2，3，3. （2）由，得 ∴ 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴. （3），得， 当时，，也符合，所以， 由，得， 使得成立的的最小值为，则，，，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 所以 3．（23-24高三上·北京·期中）已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”. (1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求； (2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是； (3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列. 【答案】(1)2，1，4，5 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】等差中项的应用、数列新定义、数列综合 【分析】（1）根据题意中的新定义，列出关于的方程，解之即可； （2）由题意得，进而，，将上式n个等式中的第2,4,6，这个式子都乘以-1，相加得，结合“衍生数列”的定义即可求解； （3）设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列，只需证即可. 【详解】（1）由题意知， ， 解得， 所以； （2）由，得， 所以，， 由于n为偶数，将上式n个等式中的第2,4,6，，这个式子都乘以-1，相加得 ， 即，所以， 又，， 根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”； （3）设数列中后者是前者的“衍生数列”. 欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列， 即只要证明即可. 由（2）知， ， 所以，即成等差数列， 所以成等差数列. 4．（22-23高二下·北京东城·期中）若数列：，，，满足：对任意，均有成立，则称数列为“数列”． (1)直接判断下面三个数列是否是“数列”；①：，，，；②：，，，；③：，，，； (2)若“数列”：，，，满足，证明：数列是等差数列的充分不必要条件是； (3)求的取值范围，使得存在非零实数，对任意正整数，数列：，，，，恒为“数列”． 【答案】(1)①②③均为“数列” (2)证明见解析 (3) 【知识点】充分条件的判定及性质、根据等差数列前n项和的最值求参数、数列新定义 【分析】（1）根据“数列”的定义直接判断这三个数列即可； （2）根据条件可知数列是以为公差的等差数列，充分性成立，再由数列是“数列”且，可证不必要性； （3）当时，易知数列为“数列”；当时，条件等价于对任意的正整数，，然后分，，和四种情况讨论即可． 【详解】（1）均为“数列”． （2）充分性：对，由条件，， 即，，， 当时，， 数列是以为公差的等差数列． 不必要性：当是常数列，且时，数列是“数列”，但． （3）当时，取，则数列为“数列”； 当时，条件等价于对任意的正整数，， 即，， 当时，取，则成立； 当时，取，则成立； 当时，取，则当偶数时，； 当是奇数时，，均成立； 当时，下证：存在正整数，使得，即． 事实上，当时，取奇数且，则成立； 当时，取是偶数且，则成立． 综上所述，的范围为． 5．（22-23高二下·北京·期中）已知有穷数列：满足，且当时，，令. (1)写出所有可能的值； (2)求证：一定为奇数； (3)是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由. 【答案】(1)1，； (2)证明见解析 (3)不存在数列，使得，理由见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】（1）根据可利用得，即可由的定义求解， （2）根据得或，即可由递推迭代法得，结合即可求证， （3）利用（2）的结论，即可根据假设得矛盾求解. 【详解】（1）解：由题意，,所以，故满足条件的数列的所有可能情况有： 0，1，0，此时； 0，-1，0，此时； 综上所述，的所有可能取值为1，-1； （2）证明：由，可设，则或（，）， 所以， 因为，所以， 设中有个1，个，则， 故为奇数； （3）为奇数，是由个1和个构成的数列， ， 则当的前项取1，后项取时，最大， 此时，不符合题意； 如果的前项中恰有项取，后项中恰有项取1， 则， 若，则， 因为是奇数，所以是奇数，而是偶数， 因此不存在数列，使得. 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. $$