专题08 第七章  随机变量及其分布列（6考点清单，知识导图+13个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019）

清单07 第七章  随机变量及其分布列 （6个考点梳理+13题型解读+提升训练） 清单01 条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 清单02 条件概率性质 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 清单03 全概率公式 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 清单04 贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 清单05 均值和方差 （1） （2） 清单06 均值与方程性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【考点题型一】条件概率（） 【例1】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高二下·天津·阶段练习）已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为 . 【变式1-4】.（24-25高三下·上海·阶段练习）袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 . 【考点题型二】条件概率性质应用（） 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，则下列式子成立的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 【变式2-1】.（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（2024·辽宁丹东·一模）已知，，，那么 ． 【变式2-3】.（24-25高二·全国·课后作业）以下有关条件概率的所有正确命题的序号是 ． ①； ②若事件A与事件B互斥，则； ③若和B互为对立事件，则． 【变式2-4】.（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）记为事件的对立事件，且，则 . 【考点题型三】全概率公式及其应用（） 【例3】（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【变式3-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（多选）（2025·安徽马鞍山·一模）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【变式3-4】.（24-25高三下·上海·阶段练习）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【考点题型四】贝叶斯公式及其应用（） 【例4】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室．粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．现有两个粒子从室出发，先后经过1号门、2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为． (1)求的分布列和数学期望； (2)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率． 【变式4-1】.（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试卷）电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以的概率丢失.现小明同学想要找一个文件，他已经找过了个不同的文件夹，但都没有找到.则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为 . 【变式4-3】.（23-24高二下·河南濮阳·期末）甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是 ． 【变式4-4】.（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 【考点题型五】离散型随机变量分布列均值，方差（） 【例5】（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加两个闯关环节，闯关规则如下:①，两个环节共有3次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将3次机会全部用完；某同学参加环节(或环节)闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会. ②若环节闯关成功即进入环节；若环节闯关失败，那么继续重复环节，直到3次机会用完；若进入环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复环节，直到3次机会全部用完. ③参加环节，闯关成功可以获得奖金100元；参加环节，每次闯关成功可以获得奖金200元；不管参加哪一个环节，闯关失败均无奖金. 已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是;乙同学参加环节闯关成功的概率是，参加环节闯关成功的概率是.甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的. (1)已知甲同学环节闯关成功(多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功)，求他参加了两次环节闯关的概率; (2)活动结束时乙同学获得的奖金为元，求的分布列和期望. 【变式5-1】.（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 【变式5-2】.（2025·新疆·二模）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． (1)求小李独立成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； (3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 【变式5-3】.（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【变式5-4】.（2025·山西·一模）新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的． (1)已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； (2)小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望． 【考点题型六】均值和方差的性质（） 【例6】（多选）（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（    ） 0 2 A． B． C． D． 【变式6-1】.（多选）（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【变式6-2】.（多选）（23-24高三上·安徽·阶段练习）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1        股票甲收益的分布列 收益X（元） 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2        股票乙收益的分布列 收益Y（元） 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 关于两种股票，下列结论正确的是（    ） A． B． C．投资股票甲的期望收益较大 D．投资股票甲比投资股票乙风险高 【变式6-3】.（多选）（22-23高二下·山东青岛·阶段练习）已知随机变量的分布列为 若随机变量，，，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已如随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型（） 【例7】（2025高三·全国·专题练习）某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立．设，回答以下问题： (1)若，求患者痊愈比例为到的概率． (2)该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． 参考数据：． 【变式7-1】.（2025高三·全国·专题练习）“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 【变式7-2】.（2025高三下·全国·专题练习）中国教育国际交流协会主办的联合国国际教育日一中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为（每项得分不考虑平局的情况）． (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率； (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列． 【变式7-3】.（2025高三·全国·专题练习）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下： ①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜； ②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需踢第5轮了； ③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜． 现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响． (1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望； (2)若每轮点球都由甲队先踢，求乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率． 【变式7-4】.（24-25高三下·河北秦皇岛·阶段练习）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品．已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为、、，且．从该工厂生产的产品中随机抽取件，设其中一等品的数量为，二等品的数量为． (1)若，已知的数列期望，的方差求的值. (2)若，且服从二项分布．已，求的值. (3)已知，，在抽取的件商品中，一等品和二等品的数量之和为．求当为何值时，的数学期望取得最大值？ 【考点题型八】首次成功问题（） 【例8】（23-24高二下·江苏苏州）一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值. （1）求汽车在第个路口首次停车的概率； （2）求的概率分布和数学期望. 【变式8-1】.（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过．经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立． (1)求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率； (2)记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求的概率分布列及数学期望． 【考点题型九】超几何分布模型（） 【例9】（24-25高二下·天津·阶段练习）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 【变式9-1】.（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【变式9-2】.（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【变式9-3】.（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【变式9-4】（24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； (2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 【考点题型十】正态分布模型（） 【例10】（2025·吉林延边·一模）某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. (1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； (2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； (3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，. 【变式10-1】.（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【变式10-2】.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【变式10-3】.（24-25高三上·山西·期末）近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表： 燃气使用量(单位：) 频数 6 14 18 30 16 12 4 (1)若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数） 附：若X服从正态分布，则，，. 【考点题型十一】正态分布模型中的决策问题（） 【例11】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【变式11-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【变式11-2】.（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【变式11-3】.（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差； (2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数. 另：； 若，则，. 【考点题型十二】概率与数列（） 【例12】（2025·宁夏银川·一模）为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币. (1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ (2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为. ①计算，并求. ②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？ 【变式12-1】.（24-25高三下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【变式12-2】.（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 【变式12-3】.（24-25高三下·海南海口·阶段练习）一盒子中共有7个大小质地相同的球，其中4个1号球，3个2号球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是2号球，则将它放回盒子中；如果取出的球是1号球，则不放回盒子中，另补一个2号球放入袋中．重复进行上述操作n次后，盒子中所有球的号码之和记为． (1)为何值的概率最大？ (2)求随机变量的分布列； (3)求随机变量的数学期望关于的表达式． 【考点题型十三】借助导数求概率中的最值问题（） 【例13】（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 【变式13-1】.（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第80百分位数； (2)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值. 【变式13-2】.（2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【变式13-3】.（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； (2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 【变式13-4】（2024高三·全国·专题练习）新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． (1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望； (2)从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值； (3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南娄底·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·山西·开学考试）某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 5．（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽安庆·二模）设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·云南·一模）设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西鹰潭·一模）已知，随机变量，若，则的值为（   ） A．81 B．242 C．243 D．80 二、多选题 9．（2025·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若，，，则事件相互独立 B．已知随机变量，则 C．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D．已知随机变量，若，则 10．（2025·安徽马鞍山·一模）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 12．（24-25高三下·安徽·阶段练习）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为 . 四、解答题 13．（河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试题）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望. 14．（2025·浙江温州·二模）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）． (1)求该用户第3次停留在网页上的概率； (2)某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 15．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加两个闯关环节，闯关规则如下:①，两个环节共有3次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将3次机会全部用完；某同学参加环节(或环节)闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会. ②若环节闯关成功即进入环节；若环节闯关失败，那么继续重复环节，直到3次机会用完；若进入环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复环节，直到3次机会全部用完. ③参加环节，闯关成功可以获得奖金100元；参加环节，每次闯关成功可以获得奖金200元；不管参加哪一个环节，闯关失败均无奖金. 已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是;乙同学参加环节闯关成功的概率是，参加环节闯关成功的概率是.甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的. (1)已知甲同学环节闯关成功(多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功)，求他参加了两次环节闯关的概率; (2)活动结束时乙同学获得的奖金为元，求的分布列和期望. 16．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展项了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． (2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 第七章  随机变量及其分布列 （6个考点梳理+13题型解读+提升训练） 清单01 条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 清单02 条件概率性质 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 清单03 全概率公式 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 清单04 贝叶斯公式 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 清单05 均值和方差 （1） （2） 清单06 均值与方程性质 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 【考点题型一】条件概率（） 【例1】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数求，进而求条件概率. 【详解】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 【变式1-1】.（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件，根据条件概率计算公式求解. 【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 【变式1-2】.（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】先确定和的值，再代入公式计算. 【详解】设事件A=“第一次取出的是白球”，B=“剩下的球是黑球”，，， 所以，， 故选：C. 【变式1-3】.（24-25高二下·天津·阶段练习）已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”，由已知根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”， 因为，， 所以. 故答案为：. 【变式1-4】.（24-25高三下·上海·阶段练习）袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、实际问题中的组合计数问题、独立事件的乘法公式 【分析】根据条件概率的公式计算可得结果. 【详解】由题意得，事件为：甲和乙只有一人摸到红球， ∴. ∵事件的对立事件为：甲和乙都没有摸到红球， ∴， ∴. 故答案为：. 【考点题型二】条件概率性质应用（） 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，则下列式子成立的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】利用条件概率公式及概率性质辨析 【详解】①若则，故，故①错误； ②因为所以所以②正确； ③若或则故③错误； ④若或则故④错误. 故选：B 【变式2-1】.（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】由条件概率公式以及全概率公式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 又. 所以.又， 所以. 故选：A. 【变式2-2】.（2024·辽宁丹东·一模）已知，，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】.（24-25高二·全国·课后作业）以下有关条件概率的所有正确命题的序号是 ． ①； ②若事件A与事件B互斥，则； ③若和B互为对立事件，则． 【答案】①②③ 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】对于①，利用概率的性质进行判断；对于②，利用条件概率公式进行判断；对于③，利用条件概率的性质进行判断 【详解】解：对于①，条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即，故正确； 对于②，因为事件A与事件B互斥，所以，，所以，故正确； 对于③，利用条件概率的性质可得若和B互为对立事件，则，故正确， 故答案为：①②③ 【变式2-4】.（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）记为事件的对立事件，且，则 . 【答案】/0.75 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】利用条件概率公式可得，进而即得. 【详解】因为， ∴， ∴. 故答案为：. 【考点题型三】全概率公式及其应用（） 【例3】（2025·陕西渭南·二模）甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由独立事件乘法公式即可求解； （2）设事件表示“混双比赛在第场进行”，事件表示“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜”，由求解即可； 【详解】（1）若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是. 所求概率为. （2）设事件表示“混双比赛在第场进行”，事件表示“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜”， 则， ， . 【变式3-1】.（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述， . 因此，子三代中基因型为是的概率是. 故选：D. 【变式3-2】.（多选）（2025·安徽马鞍山·一模）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据条件概率及全概率公式计算即可. 【详解】由题意知，， ，， ，， ， . 故选：. 【变式3-3】.（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，根据题意求出.，，，，然后利用全概率公式可求出结果. 【详解】设抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，，． 由全概率公式得． 故答案为：. 【变式3-4】.（24-25高三下·上海·阶段练习）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【答案】/0.6875 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 【考点题型四】贝叶斯公式及其应用（） 【例4】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室．粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．现有两个粒子从室出发，先后经过1号门、2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为． (1)求的分布列和数学期望； (2)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率． 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用贝叶斯公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用分类思想来研究这两个室内的粒子旋转状态，从而可求相应概率，从而可得分布列； （2）利用全概率公式和贝叶斯公式来求相应概率即可. 【详解】（1）由题知的所有可能取值为，时分3类情形， ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态； ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态， 所以， 同理， ， 所以所求的分布列为 0 1 2 所求数学期望. （2）设事件“两个粒子通过1号门后处于上旋状态的粒子个数为个”，， 事件“两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”， 则，， ，，， 由（1）得． 故． 【变式4-1】.（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解. 【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件， 则, 因此， 所以选“使命”队参加比赛的概率. 故选：D 【变式4-2】.（安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试卷）电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以的概率丢失.现小明同学想要找一个文件，他已经找过了个不同的文件夹，但都没有找到.则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为 . 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】结合条件概率分析，利用贝叶斯定理计算. 【详解】文件未被丢失的概率为，此时文件均匀分布在88个文件夹中每个文件夹的概率为；文件丢失的概率为. 已知检查了个文件夹未找到文件，此时文件要么在剩下的个文件夹中，要么已丢失. 文件存在且未被检查到的概率：，所以总的未找到文件的概率：. 在已知未找到的条件下，文件存在于剩余文件夹中的概率为：. 故答案为：. 【变式4-3】.（23-24高二下·河南濮阳·期末）甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】设出事件，运用全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】记“选到甲盒子”为事件，“选到乙盒子”为事件，“摸到黑球”为事件B. 由全概率公式得， 由条件概率公式得， 故答案为：. 【变式4-4】.（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 【答案】(1) (2)它分别是第1，2，3台机器生产的概率为，， 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）结合全概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解； （2）利用条件概率，结合贝叶斯公式，即可求解． 【详解】（1）任取一个芯片是次品的概率为：， 则它是正品的概率为：； （2）次品是第1台机器生产的概率为：； 次品是第2台机器生产的概率为：， 次品是第3台机器生产的概率为：． 【考点题型五】离散型随机变量分布列均值，方差（） 【例5】（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加两个闯关环节，闯关规则如下:①，两个环节共有3次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将3次机会全部用完；某同学参加环节(或环节)闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会. ②若环节闯关成功即进入环节；若环节闯关失败，那么继续重复环节，直到3次机会用完；若进入环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复环节，直到3次机会全部用完. ③参加环节，闯关成功可以获得奖金100元；参加环节，每次闯关成功可以获得奖金200元；不管参加哪一个环节，闯关失败均无奖金. 已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是;乙同学参加环节闯关成功的概率是，参加环节闯关成功的概率是.甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的. (1)已知甲同学环节闯关成功(多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功)，求他参加了两次环节闯关的概率; (2)活动结束时乙同学获得的奖金为元，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用列举法，列举出符合题意的情况，根据条件概率的公式，可得答案； （2）由题意写出随机变量的可能取值，利用概率的计算公式求得分布列，结合期望的公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可得甲同学环节闯关成功且参加了两次环节闯关的情况为： ①第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关成功；第三次机会，环节闯关成功， ②第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关失败；第三次机会，环节闯关成功， ③第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关成功；第三次机会，环节闯关失败， 所以甲同学环节闯关成功且参加了两次环节闯关的概率； 甲同学环节闯关成功的情况为： ①环节闯关一次成功，环节闯关成功，概率为， ②环节闯关两次成功，环节闯关成功，概率为， 所以甲同学环节闯关成功的概率； 故所求条件概率为. （2）由题意可知的可能取值有， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 则. 【变式5-1】.（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、利用全概率公式求概率、由导数求函数的最值（不含参）、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】（1）利用分布列的性质求得，再计算出，代入全概率公式计算即得； （2）先由得到；再按照均值定义得出，消去得出方程，分析函数得其最小值为正，方程无解，即不存在值，使得. 【详解】（1）当时，， 则，解得. 由题意，得. 由全概率公式，得 （2）由，得. 假设存在，使. 将上述两式左右分别相乘，得，化简得：（*）. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 即方程（*）无解，故不存在值，使得. 【变式5-2】.（2025·新疆·二模）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． (1)求小李独立成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； (3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小李需要聘请一位技术员，理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式得到小李独立成功完成三道工序的概率； （2）分三种情况，求出相应的概率，再相加得到答案； （3）分别求出没有聘请技术员参与比赛，和聘请技术员参与比赛，收益的期望值，比较后得到结论. 【详解】（1）设事件“小李独立成功完成三道工序” 则． （2）设事件“小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 故． （3）若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为， ，所以， 若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为， 有如下几种情况： 技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时， 由（1）知，， 技术员参与补救并成功完成三道工序，此时，由（2）知， 技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时， ， 所以， 因为，所以小李需要聘请一位技术员． 【变式5-3】.（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)甲面试通过的可能性大 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为，分别写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望求期望即可； （2）根据方差公式分别求出方差，即可得出结论. 【详解】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； （2）由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 【变式5-4】.（2025·山西·一模）新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的． (1)已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； (2)小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，策略一期望：；策略二期望： 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率 【分析】（1）记“随机选择i个选项作答”，，“小张得0分”．由条件概率及全概率公式求解即可； （2）设用策略一得分为随机变量X，用策略二得分为随机变量Y，确定随机变量的取值，求得相应概率，进而可求解； 【详解】（1）记“随机选择i个选项作答”，，“小张得0分”． ，，，，，， 则 （2）设记小王用策略一得分为随机变量X，X的取值为0，2，3； 记小王用策略二得分为随机变量Y，Y的取值为0，4，6 ，，． 小王用策略一得分X的分布列为 X 0 2 3 P 故． ， ，． Y 0 4 6 P 故； 【考点题型六】均值和方差的性质（） 【例6】（多选）（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由随机变量的分布列求概率、方差的性质、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出，即可求出，再根据方差的性质得到，再求出分布列，即可求出与. 【详解】依题意，解得， 所以的分布列为： －1 0 2 P 则，故A正确； 则，故C正确； 所以的分布列为： 0 2 P 则， ，故B错误； 所以，故D错误. 故选：AC. 【变式6-1】.（多选）（24-25高二上·江西赣州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质 【分析】根据分布列的性质列方程求，由期望和方差的定义求，再由期望和方差的性质求，由此确定正确选项. 【详解】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 【变式6-2】.（多选）（23-24高三上·安徽·阶段练习）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1        股票甲收益的分布列 收益X（元） 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2        股票乙收益的分布列 收益Y（元） 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 关于两种股票，下列结论正确的是（    ） A． B． C．投资股票甲的期望收益较大 D．投资股票甲比投资股票乙风险高 【答案】ACD 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质、求离散型随机变量的均值 【分析】计算期望以及方差，从而由期望和方差的意义判断CD，由方差和期望的性质判断AB. 【详解】，， ， ， 则投资股票甲的期望收益较大，投资股票甲比投资股票乙风险高. ， ． 故选：ACD 【变式6-3】.（多选）（22-23高二下·山东青岛·阶段练习）已知随机变量的分布列为 若随机变量，，，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】均值的性质、方差的性质、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】先利用分布列的性质求出，再利用均值和方差的性质求解即可. 【详解】依题意，由分布列可得，解得，A正确； ， ， 因为， 所以，， 解得，，B错误，C正确； 所以随机变量的分布列为： 由分布列可知D正确； 故选：ACD 【变式6-4】.（24-25高二下·湖南·阶段练习）已如随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 【答案】 【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】由题意可得，根据期望公式求出，再求出方差，再根据方差的性质即可得解 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型（） 【例7】（2025高三·全国·专题练习）某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立．设，回答以下问题： (1)若，求患者痊愈比例为到的概率． (2)该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． 参考数据：． 【答案】(1) (2)合理，证明见解析 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）判断治愈人数服从二项分布，再计算即可； （2）设首轮治愈人数为，判断服从二项分布，求出，设第二轮治愈人数为，同理求出，据此即可求解. 【详解】（1）治愈人数服从二项分布， 需要计算，即：， 因为， 所以； （2）首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立， 设首轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验， 设次轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 总治愈人数，其中和独立， 由于两轮试验的均为且独立， 总治愈人数服从， 因此：. 【变式7-1】.（2025高三·全国·专题练习）“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)台或台 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、建立二项分布模型解决实际问题、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）由题意可知，，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值； （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则，解不等式组，其中，，求出的取值范围，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，， 可得，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为. （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则． 且， 由得，其中，， 即，解得． 所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台． 【变式7-2】.（2025高三下·全国·专题练习）中国教育国际交流协会主办的联合国国际教育日一中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为（每项得分不考虑平局的情况）． (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率； (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【分析】（1）由题可得方案一5项功能获胜3项，由独立重复试验的概率计算公式求解即可； （2）由题意确定，即可求解； 【详解】（1）设打分结束后，方案一恰好领先方案二1分为事件A，由题可得方案一5项功能获胜3项， 所以． 即所求的概率为． （2）由题意可知；；； ；；． 则随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 【变式7-3】.（2025高三·全国·专题练习）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下： ①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜； ②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需踢第5轮了； ③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜． 现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响． (1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望； (2)若每轮点球都由甲队先踢，求乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2) 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）由题意知，由二项分布求出的分布列与期望； （2）由题意知由题意知，乙射进4次，甲前4次射进2次，利用二项分布的概率公式求出相应的概率即可. 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为． 所以X的分布列为， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P ． （2）设“乙队在第4轮点球结束时以胜出”为事件A， 由题意知，乙射进4次，甲前4次射进2次， ， 即乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率为． 【变式7-4】.（24-25高三下·河北秦皇岛·阶段练习）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品．已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为、、，且．从该工厂生产的产品中随机抽取件，设其中一等品的数量为，二等品的数量为． (1)若，已知的数列期望，的方差求的值. (2)若，且服从二项分布．已，求的值. (3)已知，，在抽取的件商品中，一等品和二等品的数量之和为．求当为何值时，的数学期望取得最大值？ 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）先由题设得，由二项分布的均值和方差公式列出关于的方程组即可求解； （2）利用二项分布的概率公式结合列出方程即可求解； （3）由，利用期望公式结合函数单调性可得解. 【详解】（1）由题意，则. （2）因为，所以， 所以得， 即，化简得， 解得，又，所以. （3）由题意知， 则，所以随着n的增大而增大， 当时，，故的数学期望没有最大值. 但在实际情境中，n的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，取得最大值. 【考点题型八】首次成功问题（） 【例8】（23-24高二下·江苏苏州）一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值. （1）求汽车在第个路口首次停车的概率； （2）求的概率分布和数学期望. 【答案】（1）;（2）分布列见解析，数学期望 . 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）汽车在第3个路口首次停车是指汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出汽车在第3个路口首次停车的概率． （2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．的可能取值为0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和数学期望． 【详解】解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯， 汽车在第3个路口首次停车的概率为：． （2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则， 用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值． 则的可能取值为0，2，4，则， ，， ，的概率分布列为： 0 2 4 数学期望． 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力. 【变式8-1】.（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过．经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立． (1)求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率； (2)记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，由已知列出方程组，求解得出的值，即可得出答案； （2）的可能值为，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，分别求出取不同值的概率，列出分布列，然后根据期望公式，即可得出答案. 【详解】（1）设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，， 依题意可得，解得或（舍去）， 所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率. （2）由已知可得的可能值为， 所以， ， ， ， 所以分布列为： 0 1 2 3 所以. 【考点题型九】超几何分布模型（） 【例9】（24-25高二下·天津·阶段练习）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、求超几何分布的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式求解即可； （2）由已知可得的可能取值，然后分别计算概率即可得分布列，根据数学期望的计算公式求解即可. 【详解】（1）从个球中任取个球，总的基本事件个数为， 若取出的3个球得分之和恰为1分，包含的情况有两种： 红白，包含的基本事件个数为， 红黑，包含的基本事件个数为， 所以取出的3个球得分之和恰为1分的概率为； （2）由已知可得的可能取值为，，，， ，， ，， 的分布列为 . 【变式9-1】.（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)89 (2)分布列见详解； 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、总体百分位数的估计、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可； （2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望. 【详解】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92， 因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为. （2）数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分； 数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分； 即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人. 可知X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的概率分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 【变式9-2】.（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【答案】(1)①；② (2)； 【知识点】超几何分布的均值、利用全概率公式求概率、计算条件概率、超几何分布的方差 【分析】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率. （2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差. 【详解】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． 【变式9-3】.（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【知识点】计算条件概率、超几何分布的分布列、超几何分布的均值 【分析】（1）根据条件概率公式，先求，，进而可得； （2）根据超几何分布求其分布列和期望即可. 【详解】（1）依题意，   所以. （2）依题意，的所有可能取值为1，2，3， 所以， ，， 所以的分布列为 1 2 3 所以． 【变式9-4】（24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； (2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②. 【知识点】计算条件概率、超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，求出、的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率； 解法二：确定数学成绩超过分的学生人数，以及数学成绩超过分中总成绩超过分的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）①分析可知的可能取值有：、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求出的值； ②由题意可知，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则， 记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则， 所以. 即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为； 解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人， 所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为 （2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的， 所以所有可能的取值为：、、、， ，， ，. 所以的分布列为： . ②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的， 按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以. 【考点题型十】正态分布模型（） 【例10】（2025·吉林延边·一模）某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. (1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； (2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； (3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，. 【答案】(1)； (2)，． (3)分布列见解析，期望为. 【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率、利用二项分布求分布列、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】（1）根据正态分布的对称性计算即可； （2）首先求得，再根据（1）得到方程组，解出即可； （3）利用二项分布的模型即可得到其分布列，再计算其期望即可. 【详解】（1）记这朵棉花的线长为． 因为A种棉花和种棉花的个体数量大致相等，所以这朵棉花是A种还是种的可能性是相等的． 所以． （2）由于两种棉花的个体数量相等，，的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知， 由（1）可知得． （3）设棉花的绒长为，则， 由题有，所以， 因此的分布列为 0 1 2 3 . 【变式10-1】.（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； (2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； (3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3) 【知识点】3δ原则、超几何分布的分布列、由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值； （2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值. 【详解】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. （2）样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． （3）由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 【变式10-2】.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)6 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、二项分布的均值、正态分布的实际应用 【分析】（1）利用全概率公式计算； （2）求出分布列，然后根据定义计算期望值； （3）先利用正态分布的性质计算的概率，然后利用二项分布计算概率. 【详解】（1）设事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为 （2）的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； （3），  ， ，， ∴的数学期望约为6人. 【变式10-3】.（24-25高三上·山西·期末）近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表： 燃气使用量(单位：) 频数 6 14 18 30 16 12 4 (1)若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数） 附：若X服从正态分布，则，，. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2)159个 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、指定区间的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先利用分层抽样的概念求出在和这两组的家庭中随机抽取的家庭个数，进而得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可； （2）根据频数分布表求出平均值，再根据正态分布的性质求解即可. 【详解】（1）燃气使用量在的家庭个数为：（个）， 在的家庭个数为：（个）， 则的所有可能取值有0，1，2， ，，， 则的分布列为 0 1 2 所以. （2）由题意知这100个样本家庭的平均值， 所以， 又，估计该社区中“超标”家庭的户数为159个. 【考点题型十一】正态分布模型中的决策问题（） 【例11】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【答案】(1) (2)（i），（ii）方案2 【知识点】正态分布的实际应用、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、指定区间的概率 【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，与方案一比较即可得出答案.. 【详解】（1）因为抽样比， 所以抽取人，抽取人， 抽取人. 设事件：这4人中至少有2人来自前2组， . （2）， 所以，，，. 所以 . 对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则. ， ， . ， 所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 【变式11-1】.（25-26高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【答案】(1)成绩在的人数约为20481人，75分以上的人数约为684人； (2)63分 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用、正态曲线的性质 【分析】（1）由题意可得，则可得，从而可估算出成绩在的人数，根据正态分布曲线的对称性求出，从而可估算出成绩在75分以上的人数； （2）设该划线分为m，由题意可得，，则，从而可求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以成绩在的人数约为人， 由正态分布曲线的对称性可得：， 则， 所以估计75分以上的人数约为人； （2）设该划线分为m，由，得，， 令， 由题意因为η～N（0，1），， 所以，所以， 所以． 【变式11-2】.（2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【知识点】标准正态分布的应用、正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【变式11-3】.（2024·河南·三模）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为．据此估计这20000名优秀考生数学成绩的标准差； (2)根据以往经验，可以认为这20000名优秀考生的数学成绩近似服从正态分布，其中参数和可以分别用（1）中的和来估计. 记考生本次考试的各科总成绩为，若，试估计这20000名优秀考生中总成绩的人数. 另：； 若，则，. 【答案】(1) (2) 【知识点】正态分布的实际应用、计算频率分布直方图中的方差、标准差、二项分布的均值、3δ原则 【分析】（1）根据平均数为，利用方差的计算公式可得方差，利用所给数据，估算得标准差. （2）由题目提示可得，，利用正态分布的性质可得，又因为，所以，从而估算得到最终结果. 【详解】（1）抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为 . 故估计这20000名考生数学成绩方差为150，标准差. （2）由（1）知可用来估计，可用来估计. 故. . ， 故. 又， 所以. 故这20000名考生中成绩在的人数服从二项分布，约为. 【考点题型十二】概率与数列（） 【例12】（2025·宁夏银川·一模）为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币. (1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ (2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为. ①计算，并求. ②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？ 【答案】(1) (2)①，，；②“球类”为900人，“田径”为1200人. 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、写出等比数列的通项公式、二项分布的均值 【分析】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 计算出基本事件总数和事件包含基本事件的个数由古典概型概率计算公式可得答案； （2）①由题可得、，当时，得，即，所以是等比数列，由此得到； ②由①当足够大时，选择“球类”的概率近似于，用表示一天中选择“球类”的人数，则，由二项分布的期望公式可得答案. 【详解】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 由题意，基本事件总数有个， 事件包含基本事件的个数为个， 所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率． （2）①由题可知：， ，所以， 当时，， 所以， 又因为，即是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． ②依题意得，当足够大时，选择“球类”的概率近似于， 假设用表示一天中选择“球类”的人数，则， 所以， 即选择“球类”的人数的期望为900，选择“田径”的人数的期望为1200． 【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量分布列及其期望、样本估计总体等知识；关键点是学生要有较好的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想和应用意识． 【变式12-1】.（24-25高三下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用全概率公式求概率、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案. （2）①先求得的关系式，然后利用构造法证得为等比数列； ②先求得，然后求得的最大值，由此求得的取值范围. 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 【变式12-2】.（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析； (2) (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和 【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）记“合计得分恰为”为事件A，“合计得分”为事件B，得到，结合数列的递推关系式构造等比数列，进而求得数列的通项公式，得到答案 【详解】（1）的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分； 既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． 随机变量 的可能取值为 2，3，4， 可得 ， 的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为 ； （2）由这 人的合计得分为 分， 则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁， 则 ， 由两式相减， 可得 ； （3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为 分或 分， 记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件， ， ，即 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解， 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 【变式12-3】.（24-25高三下·海南海口·阶段练习）一盒子中共有7个大小质地相同的球，其中4个1号球，3个2号球．从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是2号球，则将它放回盒子中；如果取出的球是1号球，则不放回盒子中，另补一个2号球放入袋中．重复进行上述操作n次后，盒子中所有球的号码之和记为． (1)为何值的概率最大？ (2)求随机变量的分布列； (3)求随机变量的数学期望关于的表达式． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）操作1次后，的可能取值为10，11，12，利用古典概率公式求得对应概率可得结论． （2）操作2次后，的可能取值为10，11，12，13，14，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得分布列； （3）法一：记执行上述操作次后，盒子中2号球的个数为，，，进而可得，构造等比数列，进而可得.法二：记执行上述操作次后，盒子中2号球的个数的数学期望为，则1号球有个，由已知可得，，进而可得，可求结论. 【详解】（1）操作1次后，的可能取值为10，11，12． ，，， 所以时的概率最大； （2）操作2次后，的可能取值为10，11，12，13，14， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 10 11 12 13 14 P （3）记执行上述操作次后，盒子中2号球的个数为， 设，， 则，， 则， ， ， 则． 所以， 又由（1）可得，所以． 因为， 所以． 法二：记执行上述操作次后，盒子中2号球的个数的数学期望为，则1号球有个，则， 整理得：，所以， 又由（1）可得， 所以． 因为， 所以． 【点睛】关键点点睛：求得是解题的关键，对学生的计算能力和综合应用能力要求较高. 【考点题型十三】借助导数求概率中的最值问题（） 【例13】（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、利用全概率公式求概率、由导数求函数的最值（不含参）、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】（1）利用分布列的性质求得，再计算出，代入全概率公式计算即得； （2）先由得到；再按照均值定义得出，消去得出方程，分析函数得其最小值为正，方程无解，即不存在值，使得. 【详解】（1）当时，， 则，解得. 由题意，得. 由全概率公式，得 （2）由，得. 假设存在，使. 将上述两式左右分别相乘，得，化简得：（*）. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 即方程（*）无解，故不存在值，使得. 【变式13-1】.（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第80百分位数； (2)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖.已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为.若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值. 【答案】(1)62，第80百分位数为 (2) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、利用二项分布求分布列、总体百分位数的估计 【分析】（1）由平均数，百分位数的计算公式即可求解； （2）由题意构造，求导确定单调性即可求解. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为 则． 解得．所以样本平均数的估计值为62． 前三组的频率和为， 前四组的频率和为， 第四组的频率为， 所以分位数为. （2）由该学生获一等奖的概率为可知：． 则． 令． ． 当时，;当时，． 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以．所以的最小值为． 【变式13-2】.（2025·广东·一模）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率； （2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 【变式13-3】.（2025·辽宁·一模）在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 （i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度； （ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； (2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 【答案】(1)可靠度   (2)见解析. 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据图表中的数据即可求出甲型部件的可靠度，再根据条件概率的定义即可求得这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率； （2）根据题干可得一共有两种分配方案，分别计算出他们的概率比较大小即可得到优化方案. 【详解】（1）（i）甲型部件的总数为，根据题中表格统计指标在的甲型部件个数为， 故甲型部件的可靠度； （ii）又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且， 故乙型部件的可靠度为，设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B， 设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C， 则, 设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D， 则, 设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E， 则, , , , （2）（2）优化后系统可靠度提高了. 原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了. 按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法： 方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，设此时可靠度为； 方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型部件，设此时可靠度为. ； 因为，所以，，即， 所以当时，两个方案都可以； 当时，方案二可靠度更高. 【变式13-4】（2024高三·全国·专题练习）新高考数学多选题6分制的模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每个学生在第11题得分情况相互独立． (1)从第11题得分的100名学生中随机抽取4人，记这4人得到书签的总数为个，求的分布列和数学期望； (2)从第11题得分的100名学生中随机抽取人，记这人得到书签的总数为个的概率为，求的值； (3)已知王老师班有20名学生在第11题有得分，若以需要赠送书签总个数概率最大为依据，请问王老师应该提前准备多少个书签比较合理？ 【答案】(1)分布列见解析，5 (2) (3)25个 【知识点】错位相减法求和、利用二项分布求分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值 【分析】（1）列出的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望即可； （2）由题意可得这人中只有1人得到2个书签，所以，利用错位相减法求和即可； （3）设得到1个书签的人数为，则得到书签的总个数，利用二项分布的概率公式列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意得书签的总数的所有可能取值为4，5，6，7，8， 其中，， ，， ， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 . （2）因为这人得到书签的总数为个（）， 所以其中只有1人得到2个书签， 所以， 则 所以 两式相减得 ， 所以． （3）在这20名学生中，设得到1个书签的人数为，则得到2个书签的人数为， 所以得到书签的总个数， 此时得到书签的总个数为的概率为， 所以，整理得，解得， 而，，所以，所以， 所以需要赠送书签总个数概率最大为依据，王老师应该提前准备25个书签比较合理． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·湖南娄底·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由， 则. 故选：A. 2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意，由次独立重复试验的概率计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是. 故选：D 4．（24-25高三下·山西·开学考试）某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．324人 B．90人 C．130人 D．45人 【答案】C 【知识点】指定区间的概率 【分析】由正态分布的对称性即可求解； 【详解】由题意，，，则， 得分在区间内的学生大约有． 故选：C． 5．（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得的值. 【详解】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的， 事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品， 则，，， ，，， 由贝叶斯公式可得. 因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为. 故选：C. 6．（2025·安徽安庆·二模）设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】先利用条件概率公式得出，然后利用公式化简得出结论. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以，即， 即，于是. 故选：B. 7．（2025·云南·一模）设随机变量服从二项分布，则函数有零点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数的零点、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立重复试验的概率问题 【分析】先根据根的判别式得到不等式，求出，由二项分布求概率公式得到. 【详解】中，，解得， ，故. 故选：C 8．（2025·江西鹰潭·一模）已知，随机变量，若，则的值为（   ） A．81 B．242 C．243 D．80 【答案】B 【知识点】二项式的系数和、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布求出、的值，并求出、的表达式，根据题中条件求出的值，利用赋值法可得出结果. 【详解】因为随机变量，则，， 因为， 则，， 所以，，解得， 令， 所以，， 故. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若，，，则事件相互独立 B．已知随机变量，则 C．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 D．已知随机变量，若，则 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、二项分布的方差、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【分析】对于A，根据对立事件的概率公式求出，由结合事件相互独立的定义即可判断；对于B，根据二项分布的方差公式求解即可；对于C，根据百分位数的定义，求值判断即可；对于D，根据正态分布的对称性求解即可判断. 【详解】对于A，，则，所以事件相互独立，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将数据按从小到大排序为：.共有8个数据，所以第75百分位数为第6，7个数据的平均数，为，故C错误； 对于D，随机变量，且，则，所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（2025·安徽马鞍山·一模）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据条件概率及全概率公式计算即可. 【详解】由题意知，， ，， ，， ， . 故选：. 三、填空题 11．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，根据题意求出.，，，，然后利用全概率公式可求出结果. 【详解】设抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，，． 由全概率公式得． 故答案为：. 12．（24-25高三下·安徽·阶段练习）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.现抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，在次抛掷中，记成功次数为，为了至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内，估计抛掷的次数的最小值为 . 【答案】400 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据二项分布计算数学期望及方差，最后结合已知新定义计算求解. 【详解】由题意知：成功次数，所以，， 要使，则，即：， 由切比雪夫不等式知：至少有98%的把握使试验成功的频率在区间内， 则，所以抛掷的次数的最小值为400. 故答案为：400. 四、解答题 13．（河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试题）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）甲恰好比乙多击中目标次，包括甲恰好击中目标次且乙恰击中目标次，甲恰好击中目标次且乙恰击中目标次，根据公式得到结果； （2）根据题意确定变量的所有可能取值，根据变量对应的概率和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值. 【详解】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为. （2）由题可知的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 14．（2025·浙江温州·二模）PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页开始浏览（记为第1次停留）． (1)求该用户第3次停留在网页上的概率； (2)某广告公司准备在网页中选择一个投放广告，以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由． 【答案】(1) (2)该公司应该选择网页，理由见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据、计算即可求解； （2）根据、；；；求出前4次停留网页对应的概率，求出对应的数学期望，比较大小即可下结论. 【详解】（1）、；；；. 第3次停留在网页上的事件有、， 其概率为． （2）由题意知，、；；；， 则， 所以， ， 所以， 故该公司应该选择网页． 15．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加两个闯关环节，闯关规则如下:①，两个环节共有3次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将3次机会全部用完；某同学参加环节(或环节)闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会. ②若环节闯关成功即进入环节；若环节闯关失败，那么继续重复环节，直到3次机会用完；若进入环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复环节，直到3次机会全部用完. ③参加环节，闯关成功可以获得奖金100元；参加环节，每次闯关成功可以获得奖金200元；不管参加哪一个环节，闯关失败均无奖金. 已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是;乙同学参加环节闯关成功的概率是，参加环节闯关成功的概率是.甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的. (1)已知甲同学环节闯关成功(多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功)，求他参加了两次环节闯关的概率; (2)活动结束时乙同学获得的奖金为元，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用列举法，列举出符合题意的情况，根据条件概率的公式，可得答案； （2）由题意写出随机变量的可能取值，利用概率的计算公式求得分布列，结合期望的公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可得甲同学环节闯关成功且参加了两次环节闯关的情况为： ①第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关成功；第三次机会，环节闯关成功， ②第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关失败；第三次机会，环节闯关成功， ③第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关成功；第三次机会，环节闯关失败， 所以甲同学环节闯关成功且参加了两次环节闯关的概率； 甲同学环节闯关成功的情况为： ①环节闯关一次成功，环节闯关成功，概率为， ②环节闯关两次成功，环节闯关成功，概率为， 所以甲同学环节闯关成功的概率； 故所求条件概率为. （2）由题意可知的可能取值有， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 则. 16．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展项了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （i）为多少？ （ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率． (2)在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？ 【答案】(1)（i）0.4；（ii）0.352； (2)不存在. 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）（i）根据过往比赛中郑钦文胜负情况估算概率求；（ii）法一：用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，再应用二项分布的概率求法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率； （2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中，进而有求概率范围，即可得结论；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求出不同赛制下郑钦文获胜的概率，列不等式求概率范围，即可得结论. 【详解】（1）（i）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为0.4． （ii）法一：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 则郑钦文在决赛中获得冠军的概率，即． 法二：郑钦文最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1， 前者是前两局郑钦文连胜，后者是前两局郑钦文、维基奇各胜一局且第3局郑钦文胜． 因为每局比赛的结果是独立的，郑钦文最终获胜的概率为． （2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则， 那么获胜的概率为 同理：五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中， 那么获胜的概率为 综上，，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 法二：三局两胜制中郑钦文最终获胜的概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率， 所以，化简得， 因为，所以，即， 在中不存在这样的实数，使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$