第09讲 分式的基本性质（5个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习） -2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第09讲 分式的基本性质 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01判断分式变形是否正确...................................................................................................................................................3 题型02求使分式变形成立的条件...............................................................................................................................................5 题型03利用分式的基本性质判断分式值的变化.......................................................................................................................7 题型04将分式的分子分母各项系数化为整数.........................................................................................................................10 题型05最简分式..........................................................................................................................................................................11 题型06约分..................................................................................................................................................................................12 题型07最简公分母......................................................................................................................................................................14 题型08通分..................................................................................................................................................................................15 题型09计算单项式除以单项式..................................................................................................................................................17 分层练习........................................................................................................................................................................................19 夯实基础........................................................................................................................................................................................19 能力提升........................................................................................................................................................................................21 知识点1．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点2．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 知识点3．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 知识点4．最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 知识点5．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 题型01判断分式变形是否正确 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列各式中，错误的是（     ） A． B． C． D． 题型02求使分式变形成立的条件 3．（八年级下·江苏无锡·期中）如果成立，那么应满足关系式 . 4．（22-23八年级下·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 题型03利用分式的基本性质判断分式值的变化 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．不变 D．缩小到原来的 6．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）将分式中的的值都大为原来的3倍，则分式的值 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 7．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 题型04将分式的分子分母各项系数化为整数 8．（22-23八年级下·江苏·期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 题型05最简分式 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在一段坡路，小明骑自行车上坡时的速度为千米/时，下坡时的速度为千米/时，则他在这段坡路上、下坡的平均速度是 ． 题型06约分 12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·江苏常州·期末）化简： ． 14．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 题型07最简公分母 15．（2024八年级下·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期末）与的最简公分母是 ． 题型08通分 17．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 18．（23-24八年级下·江苏南京·期中）填空：①，②，括号内依次填入 ， ． 19．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 题型09计算单项式除以单项式 20．（2023·江苏扬州·中考真题）若，则括号内应填的单项式是(   ) A．a B． C． D． 21．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）化简 ． 22．（24-25八年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 夯实基础 一、单选题 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 2．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各选项中，从左边到右边的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在下列分式中，是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 6．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列式子从左到右的变形一定正确的是 (   ) A． B． C． D． 二、填空题 9．在等号成立时，填上适当的符号： . 10．分式、、、中，最简分式的个数是 个． 11．已知，则分式的值为 ． 12．利用分式的基本性质填空：． 13．下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 14．填空：（1）；括号中填 ． （2）；括号中填 ． （3）．括号中填 ． 三、解答题 15．已知，求单项式A． 16．填空 （1），； （2），． 17．计算： (1)； (2)． 18．通分:（1）；（2）. 19．按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 20．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 能力提升 一、单选题 21．化简分式：得(    ) A． B． C． D． 22．对于式子：①；②；③；④2x；⑤，其中是分式的是(　　)． A．①②③ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．②④ 二、填空题 23．=1．( ) 24．在分式中，最简分式有 个． 三、解答题 25．按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 26．按要求解答下列各小题． (1)计算：； (2)分解因式：； (3)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 分式的基本性质 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01判断分式变形是否正确...................................................................................................................................................3 题型02求使分式变形成立的条件...............................................................................................................................................5 题型03利用分式的基本性质判断分式值的变化.......................................................................................................................7 题型04将分式的分子分母各项系数化为整数.........................................................................................................................10 题型05最简分式..........................................................................................................................................................................11 题型06约分..................................................................................................................................................................................12 题型07最简公分母......................................................................................................................................................................14 题型08通分..................................................................................................................................................................................15 题型09计算单项式除以单项式..................................................................................................................................................17 分层练习........................................................................................................................................................................................19 夯实基础........................................................................................................................................................................................19 能力提升........................................................................................................................................................................................21 知识点1．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点2．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 知识点3．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 知识点4．最简分式 最简分式的定义： 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． 知识点5．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 题型01判断分式变形是否正确 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A．，原计算错误，该选项不符合题意； B．，原计算错误，该选项不符合题意； C．，原计算错误，该选项不符合题意； D．，正确，该选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列各式中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】此题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键．根据分式性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A、 ，该式正确，不符合题意； B、 ，该式正确，不符合题意； C、，故原式错误，符合题意； D、，该式正确，不符合题意． 故选：C． 题型02求使分式变形成立的条件 3．（八年级下·江苏无锡·期中）如果成立，那么应满足关系式 . 【答案】x≠y 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：由成立可得x-y≠0， 即x≠y， 故答案为：x≠y． 【点睛】本题考查分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型． 4．（22-23八年级下·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①，；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为、、、 【知识点】分式的求值、分式有意义的条件、求使分式变形成立的条件 【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；③抓住“当y为整数时，为整数”，即可求解． 【详解】（1）解： 故 （2）解：． （3）解：①由（2）得： ， 故：，． ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小． ③当y为整数时，为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0． ∴所有“整数点”的坐标为、、、． 【点睛】本题以分式为背景，考查了分式的变形：分离常数．进而初步考查了“分式型”函数的相关性质．从题目中提炼信息是解题的关键． 题型03利用分式的基本性质判断分式值的变化 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍， 故选：B． 6．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）将分式中的的值都大为原来的3倍，则分式的值 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】不变 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的性质，根据利用分式的基本性质即可求解． 【详解】解：分式中的的值同时扩大为原来的3倍可得：，所以分式的值不变， 故答案为：不变． 7．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或 【知识点】加减消元法、利用分式的基本性质判断分式值的变化、分式的判断 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：； （3）解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 题型04将分式的分子分母各项系数化为整数 8．（22-23八年级下·江苏·期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键． 9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 题型05最简分式 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了分式的性质，最简分式的定义，理解并掌握分式的性质化简及最简分式的定义是解题的关键． 根据分式的性质化简分式，最简分式的定义“分子和分母没有公因式，或者只含有公因式1的分式称为最简分式”，进行判定即可求解． 【详解】解：①，是最简分式； ②，原分式不是最简分式； ③，原分式不是最简分式； ④，是最简分式； ∴是最简分式的有：①④，共2个， 故选：B ． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）在一段坡路，小明骑自行车上坡时的速度为千米/时，下坡时的速度为千米/时，则他在这段坡路上、下坡的平均速度是 ． 【答案】千米/时 【知识点】按要求构造分式、最简分式 【分析】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，列出代数式．设这段坡路的路程为千米，根据平均速度总路程总时间，列代数式，再进行整理即可． 【详解】 解：设这段坡路的路程为千米，根据题意得：（千米小时）；则小明在这段路上的平均速度为千米小时． 故答案为：千米小时． 题型06约分 12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】约分、平方差公式分解因式、最简分式 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质化简各分式，然后逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原分式不是最简分式，不符合题意； B、，故原分式不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故原分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 13．（23-24八年级下·江苏常州·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 14．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【知识点】通分、约分 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 题型07最简公分母 15．（2024八年级下·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是正确运用确定最简公分母的方法求解； 先把分母因式分解，再确定最简公分母即可． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是， 故选：C． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期末）与的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先取3和4的最小公倍数，再取x的2次幂和y的2次幂，则它们的积为两分式的最简公分母． 【详解】解：与的最简公分母为． 故答案为：． 题型08通分 17．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】通分、最简公分母 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 18．（23-24八年级下·江苏南京·期中）填空：①，②，括号内依次填入 ， ． 【答案】 / 【知识点】通分、约分 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：①； ②． 故答案为：． 19．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【知识点】通分、约分 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）原式． 题型09计算单项式除以单项式 20．（2023·江苏扬州·中考真题）若，则括号内应填的单项式是(   ) A．a B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴（   ）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键． 21．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）化简 ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、积的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了幂的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式；根据幂的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、计算单项式除以单项式、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则并灵活运用是解答的关键． （1）根据单项式乘单项式的运算法则求解即可； （2）先利用单项式除单项式和积的乘方的运算法则计算，再合并同类项求解即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式求解即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 夯实基础 一、单选题 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察分子、分母都是数字和字母的积，都是单项式，只需要找到分子、分母的公因式，约分即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了约分的定义与方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．注意：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 2．根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个非0的数，分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，的分子和分母同时乘上，该分式的值不变， 即 故选：C 3．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、是最简分式，不能化简，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、分子加b，分母乘2，不是依据的分式的性质，两分式不相等，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选B． 4．下列各选项中，从左边到右边的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键． 根据分式的基本性质，对每个选项进行分析，得到只有选项变形正确，由此选出答案， 【详解】解：由题意得： 选项中，当时，等式不成立，故此选项不符合题意； 选项中，，故此选项符合题意； 选项中，，故此选项不符合题意； 选项中，，故此选项不符合题意． 故选：． 5．在下列分式中，是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义即可求出答案． 【详解】A、原式，故A不是最简分式； C、原式，故C不是最简分式； D、原式，故D不是最简分式； 故选：B． 【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型． 6．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，即可解答． 【详解】A．分子乘以b，分母乘以a，所以，故A错误； B．1，故B错误； C．1，故C正确； D．，故D错误． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟记分式的基本性质． 7．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解答此题的时候要充分运用分式的性质，分式中分子分母若带有加减的不可直接约分，据此可解出此题． 【详解】A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 8．下列式子从左到右的变形一定正确的是 (   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：A、当a≠b时原式左右两边不相等，故此选项错误； B、当c＝0时原式不成立，故此选项错误； C、根据分式的基本性质，分子、分母同除以3分式的值不变，故此选项正确； D、当a、b异号时原式不成立，故此选项错误． 故选C． 二、填空题 9．在等号成立时，填上适当的符号： . 【答案】 【分析】根据分式的基本性质化简即可. 【详解】解: 故答案为: 【点睛】此题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 10．分式、、、中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【详解】解： 所以是最简分式. 故答案为：1. 11．已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵， ∴x-y=4xy， ∴原式=， 故答案为： ． 【点睛】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键． 12．利用分式的基本性质填空：． 【答案】 【分析】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到，由分式的基本性质得，，最后运用整式乘法进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 13．下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 14．填空：（1）；括号中填 ． （2）；括号中填 ． （3）．括号中填 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数分式值不变直接求解（1）、（2）、（3）即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， (1)， 故答案为：， (2)， 故答案为：， (3)， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数分式值不变，熟练掌握分式的性质是解题关键． 三、解答题 15．已知，求单项式A． 【答案】． 【分析】由乘法的意义可得，再利用积的乘方运算的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是单项式的乘法与单项式的除法运算，积的乘方运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 16．填空 （1），； （2），． 【答案】（1），；（2）a， 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即 ． 同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即． 所以，括号中应分别填：和． （2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 ． 同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即 ． 所以，括号中应分别填：a和． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂乘法及单项式除以单项式 （1）本题考查幂的乘方，同底数幂乘法及多项式除以单项式，先计算括号，再根据多项式除以单项式即可得到答案； （2）本题考查同底数幂乘法及单项式除以单项式，先算乘法，再算除法即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．通分:（1）；（2）. 【答案】(1)；（2） 【分析】通分，要先确定各分式分母的最简公分母，分母是多项式，应先进行因式分解，再确定最简公分母． 【详解】解:(1)最简公分母是36a4b3 （2）最简公分母是（x+2）（x-2） 【点睛】本题考查了分式的通分，解题的关键是确定最简公分母． 19．按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分子分母所含相同因式，直接约分即可得到答案； （2）根据通分定义，将分母不同的分式化为分母相同的与原分式相等的分式直接通分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，， 两个分式的最简公分母为， ；． 【点睛】本题考查分式的通分、约分，熟记通分、约分的定义，掌握通分、约分运算方法是解决问题的关键． 20．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查整式的除法，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再根据整式的除法运算法则，再由减法的运算法则计算即可． （2）根据单项式除以单项式运算法则计算即可； （3）根据单项式除以单项式运算法则计算即可； （4）根据多项式除以单项式运算法则计算即可； （5）根据多项式除以单项式运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 能力提升 一、单选题 21．化简分式：得(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质，化简分式，得出答案. 【详解】化简分式可得：，故此题选B. 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此题的关键在于分母能用平方差公式分解，这样才能上下约分，得出答案. 22．对于式子：①；②；③；④2x；⑤，其中是分式的是(　　)． A．①②③ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．②④ 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】①；③；⑤分母中含有字母，因此是分式，②；④2x的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 故选B. 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 二、填空题 23．=1．( ) 【答案】√ 【分析】根据分式的性质，上下约分，进行计算，得出答案，判断是否正确. 【详解】计算上式可得：＝，可见此题正确. 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质. 24．在分式中，最简分式有 个． 【答案】2 【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得． 【详解】解： 是最简分式，故有2个. 故答案为：2 【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式． 三、解答题 25．按要求答题： (1)约分 (2)通分，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分子分母所含相同因式，直接约分即可得到答案； （2）根据通分定义，将分母不同的分式化为分母相同的与原分式相等的分式直接通分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，， 两个分式的最简公分母为， ；． 【点睛】本题考查分式的通分、约分，熟记通分、约分的定义，掌握通分、约分运算方法是解决问题的关键． 26．按要求解答下列各小题． (1)计算：； (2)分解因式：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）先提公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，因式分解，平方差公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$