专题04 随机变量及分布（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题四 随机变量及其分布 题型1 离散型随机变量的定义 1、（2024下·海东市·高二期中）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 题型2 随机变量的期望与方差 2、（2024下·西宁市·高二期中）甲、乙两人独立地从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门课程中任选3门进行选修，若记两人所选课程相同的门数为X，则X的期望等于（ ）． A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 3、（2024下·西宁市·高二期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（ ） A. B. 2，1 C. 3，1 D. 4、（2024下·西宁市·高二期中）一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分．某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________． 5、（2024下·西宁市·高二期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 题型3 条件概率与全概率公式 6、（2024下·西宁市·高二期中）某农户购买了甲、乙两种香菇菌种，并在温度为和的条件下进行培育．已知选到的香菇全部来自甲菌种的概率为，选到的香菇全部来自甲菌种且在温度为的条件下培育出来的概率为．从培育的香菇中随机抽取一部分进行营养价值检测，若被选到的香菇全部来自甲菌种，则其是在温度为的条件下培育出来的概率为（ ） A. B. C. D. 7、（2024下·西宁市·高二期中）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 8、（2024下·西宁市·高二期中）抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 9、（2024下·西宁市·高二期中）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 10、（2024下·西宁市·高二期中）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（ ） A. 2% B. 3% C. 4% D. 5% 11、（多选题）（2024下·海东市·高二期中） 袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. 事件与事件互斥 C. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 D. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 12、（2024下·海东市·高二期中）有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 13、（2024下·西宁市·高二期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， （1）在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； （2）求第二次取到1号球的概率； （3）如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有多少种? 题型4 古典概型 14、（2024下·西宁市·高二期中）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ． 15、（2024下·西宁市·高二期中）今有标号为1，2，3的三封信，另有同样标号的三个信封．现将三封信任意装入信封，且每个信封只能装入一封信．试求： （1）三封信都配对的概率； （2）恰有一封信配对的概率； （3）至少有一封信配对的概率． 题型5 相互独立事件 16、（2024下·海东市·高二期中）甲、乙、丙三人各进行一次投篮，三人投中的概率分别为，，，则三人中至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 题型6 离散型随机变量的分布列 17、（2024下·海东市·高二期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 随机变量及其分布 题型1 离散型随机变量的定义 1、（2024下·海东市·高二期中）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 题型2 随机变量的期望与方差 2、（2024下·西宁市·高二期中）甲、乙两人独立地从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门课程中任选3门进行选修，若记两人所选课程相同的门数为X，则X的期望等于（ ）． A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】求出X的可能取值，进而分别求出其对应的概率，再结合期望的概念即可求出结果. 【详解】X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以， 故选：B. 3、（2024下·西宁市·高二期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（ ） A. B. 2，1 C. 3，1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可. 【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数服从二项分布. 因为，， 所以，. 故选：C 4、（2024下·西宁市·高二期中）一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分．某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________． 【答案】60，96 【解析】 【详解】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X，由题意知X～B（25,0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15， D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60， D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96， 所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 考点：二项分布的期望与方差. 5、（2024下·西宁市·高二期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【小问1详解】 由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． 【小问2详解】 设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． 小问3详解】 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 题型3 条件概率与全概率公式 6、（2024下·西宁市·高二期中）某农户购买了甲、乙两种香菇菌种，并在温度为和的条件下进行培育．已知选到的香菇全部来自甲菌种的概率为，选到的香菇全部来自甲菌种且在温度为的条件下培育出来的概率为．从培育的香菇中随机抽取一部分进行营养价值检测，若被选到的香菇全部来自甲菌种，则其是在温度为的条件下培育出来的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干中已知的概率，结合条件概率公式即可求解. 【详解】设事件表示“选到的香菇全部来自甲菌种”，事件表示“选到的香菇是在温度为的条件下培育出来的”， 则，故所求概率为． 故选：B． 7、（2024下·西宁市·高二期中）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的性质解得，结合可得，代入条件概率公式分析求解. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得， 所以. 故选：B. 8、（2024下·西宁市·高二期中）抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果. 【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个， 其中有一枚正面朝上的基本事件有7个， 记事件为“有一枚正面朝上”，则， 记事件为“另外两枚也正面朝上”， 则为“三枚都正面朝上”，故， 故. 即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力． 9、（2024下·西宁市·高二期中）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式列式计算得解. 【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件， 则, 因此， 所以选“使命”队参加比赛的概率. 故选：D 10、（2024下·西宁市·高二期中）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（ ） A. 2% B. 3% C. 4% D. 5% 【答案】B 【解析】 【分析】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的，由全概率公式求. 【详解】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的. 则，，,,，. 由全概率公式：. 即. 故选：B 11、（多选题）（2024下·海东市·高二期中） 袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. 事件与事件互斥 C. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 D. 在事件发生的前提下，事件发生的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率求出，再逐项判断作答. 【详解】依题意，，，，， 对于A，因为，则事件与事件不相互独立，A正确； 对于B，“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件中，也在事件中，事件与事件不互斥，B错误； 对于C，在事件发生的前提下，事件发生的概率，C正确； 对于D，在事件发生的前提下，事件发生的概率，D正确. 故选：ACD 12、（2024下·海东市·高二期中）有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知，次品是由3台机床共同造成的，利用全概率公式和条件概率公式即可求得结果. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”， 则，， 所以由全概率公式可得 ; 由条件概率公式可得. 故答案为： 13、（2024下·西宁市·高二期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， （1）在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； （2）求第二次取到1号球的概率； （3）如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有多少种? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用缩样法求条件概率； （2）记事件分别表示第一次、第二次取到号球，则事件第二次取到1号球可表示为，利用全概率公式求结论； （3）满足要求的放法有两类，有两个口袋都放一个球，第三个口袋放3个球，或有2个口袋都放2个球，第三个口袋放1个球，再根据分堆分配问题的处理方法求解. 【小问1详解】 记事件分别表示第一次、第二次取到号球， ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率， 【小问2详解】 依题意 两两互斥， 其和为， 并且 应用全概率公式， 有 【小问3详解】 先将5个不同的小球分成1，1，3或1，2，2三份，再放入三个不同的口袋， 则不同的分配方法有 题型4 古典概型 14、（2024下·西宁市·高二期中）已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ． 【答案】 【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果. 【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜； 若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球， 第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为； 此时盒中恰有7个球的概率为； 所以盒中恰有7个球的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果. 15、（2024下·西宁市·高二期中）今有标号为1，2，3的三封信，另有同样标号的三个信封．现将三封信任意装入信封，且每个信封只能装入一封信．试求： （1）三封信都配对的概率； （2）恰有一封信配对的概率； （3）至少有一封信配对的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】根据古典概型、互斥事件的概率计算公式依次计算即可. 【小问1详解】 将3封信固定，来选信，共有种可能， 3封都配对，只有一一对应的一种情况， 所以三封信都配对的概率为； 【小问2详解】 将3封信固定，来选信，共有种可能， 只有一封配对，则选出配对的一封，剩下两封不能配对， 所以恰有一封信配对概率为； 【小问3详解】 至少有一封配对的有两种情况： 只有一封配对，或三封均配对， 若两封配对，则第三封肯定配对， 由(1)、(2)得，至少有一封信配对的概率为. 题型5 相互独立事件 16、（2024下·海东市·高二期中）甲、乙、丙三人各进行一次投篮，三人投中的概率分别为，，，则三人中至少有一人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件概率公式及相互独立事件乘法公式求解即可. 【详解】“三人中至少有一人投中”的对立事件是“三人均投不中”， 三人均投不中的概率为， 所以三人中至少有一人投中概率为. 故选：A 题型6 离散型随机变量的分布列 17、（2024下·海东市·高二期中）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先根据古典概率概率公式结合组合数的运算求得，然后再利用古典概型求得所求事件的概率即可； （2）先求出随机变量的可能取值，然后计算对应的概率值，写出分布列即可. 【小问1详解】 由题意知共有个集团，取出2个集团方法总数是，其中全是大集团的情况有， 故全是大集团的概率是， 整理得到，解得， 若2个全是大集团，共有（种）情况， 若2个全是小集团，共有（种）情况， 故在取出2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为； 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$