专题03 计数原理（7大经典基础题型+2大优选提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编（青海专用）

专题三 排列组合 题型1 计数原理的应用 1、（2024下·西宁市·高二期中） 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计数判断． 【详解】不同方法的种数是：． 故选：C． 2、（2024下·西宁市·高二期中）某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（ ） A. 24种 B. 9种 C. 3种 D. 26种 【答案】B 【解析】 【分析】所选的杂志可以分成3类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论. 【详解】某同学从4本不同的科普杂志任选1本，有4种不同选法， 从3本不同的文摘杂志任选1本，有3种不同的选法， 从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本，有2种不同的选法， 根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：种. 故选：B. 【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于基础题. 3、（2024下·西宁市·高二期中）某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种； 第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案， 综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同播出方案. 故选：A 4、（2024下·海东市·高二期中） 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种； 第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案， 综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案. 故选：A 5、（多选题）（2024下·海南州·高二期中）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B. 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案 C. 恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种 D. 若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分步计数原理即可求解A，根据分类加法计数原理可求解B，根据排列组合，结合分类即可求解CD. 【详解】对于A，甲乙丙三人每人都有6种选择，共有种，故A错误， 对于B, 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案，故B正确， 对于C,恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，故有种方案，故C正确， 对于D，若老师教2门课程，则有种， 若老师教1门课程，且教2门课的老师教“数”，则有种， 若老师教1门课程，且教2门课的老师不教“数”，则有种， 因此一共有种方案，故D正确， 故选：BCD． 6、（2024下·西宁市·高二期中）三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种. 【答案】8 【解析】 【分析】利用分步加法计数原理计算即得. 【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成， 由分步乘法计数原理知，不同的选法有（种）. 故答案为：8. 7、（2024下·海东市·高二期中）从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 【答案】12 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）． 故答案为：12. 题型2 组数问题 8、（2024下·西宁市·高二期中）从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数：（个），三位数是的倍数，需要满足各个数位上的数之和是的倍数，有两种情况和；由 组成没有重复数字的三位数共有个，由组成没有重复数字的三位数共有 个，所以一共有：个，这个三位数被整除的概率是，故选D. 9、（2024下·西宁市·高二期中）有0，1，2，3，4五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码? (2)可以组成多少个无重复数字的四位数? 【答案】(1)120 (2)96 【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤： 第1步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法； 第2步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法； 第3步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第4步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法. 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120个. （2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤： 第1步，从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法； 第2步，从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法； 第3步，从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法； 第4步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法. 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）. 10、（2024下·西宁市·高二期中）由0，1，2，3，4这五个数字． （1）能组成多少个无重复数字的五位数？ （2）能组成多少个无重复数字的五位偶数？ （3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 【答案】（1）96 （2）60 （3）65 【解析】 【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； （3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答. 【小问1详解】 先排数字0，0只能占除最高位外其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； 【小问2详解】 当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 即可以组成个无重复数字的五位偶数； 【小问3详解】 计算比21034大的五位数的个数分两类： 万位比2大的五位数个数是， 万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个， 由分类加法计数原理得， 所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个. 题型3 抽取与分配问题 11、（2024下·西宁市·高二期中）垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（    ） A．7种 B．12种 C．64种 D．81种 【答案】C 【分析】因为每袋垃圾均有4个垃圾桶可以选择，结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】因为每袋垃圾均有4个垃圾桶可以选择，不同的投法有种. 故选：C. 12、（2024下·西宁市·高二期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人. 【答案】(1)60 (2)90 (3)540 【分析】（1）利用分步计数原理可求得方法数； （2）先将名学生按分为三个组有种方法，则可求人分配到分配到三所学校方法数； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三所学校可求总的方法数. 【详解】（1）名学生选名到甲学校任教有种方法；从剩余的名学生中选名到乙学校有种方法；剩余名学生都分配到丙学校去任教有种方法，则人分配到三所学校甲学校人、乙学校人、丙学校人共有种分配方法； （2）名学生按分为三个组有种方法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； ③名学生平均分配到所学校有种方法； 则人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 13、（2024下·西宁市·高二期中） 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 【答案】（1）18 （2）15 （3）84 【解析】 【分析】（1）根据排列组合求解即可． （2）按甲乙是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案． （3）先求男生甲和女生乙同时被选中的选法，再根据间接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法，再根据分步乘法计数原理求解即可． 【小问1详解】 根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人， 男生有种选法，女生有种选法， 故选法有种； 【小问2详解】 根据题意，分3种情况讨论： 男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种． 男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种， 男生甲和女生乙被选中，有种， 则共有种选法. 【小问3详解】 男生甲和女生乙同时被选中的选法为种， 4人参加百米接力赛的总安排方法为种， 甲跑第一棒的安排方法为种， 乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种， 甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种． 题型4 排列问题 14、（2024下·海东市·高二期中）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列的定义直接列式求解. 【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）． 故选:D． 15、（2024下·西宁市·高二期中）为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】由于A节目有特殊要求，所以先安排A节目，再安排其它的节目，从而即可求解. 【详解】解：由题意，先从后面3个节目中选择一个安排A节目，然后其它3个节目任意排在剩下的3个位置，共有种方法， 故选：B. 16、（2024下·西宁市·高二期中）一条铁路线上原有个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了个车站，客运车票增加了种，则 . 【答案】 【分析】由已知可得出，可得出关于、的方程组，即可解得、的值，从而得解. 【详解】由题意可得， 因为、均为正整数且，所以也为正整数，且， 又且与均为质数，所以，解得，所以. 故答案为：. 题型5 组合问题 17、（2024下·西宁市·高二期中）某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（ ） A. 120种 B. 84种 C. 52种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法，先求出8人中任选3人的方案，再求出没有女生的方案，即可求解. 【详解】8人中任选3人的组队方案有种， 没有女生的方案有种， 所以符合要求的组队方案有种. 故选：C. 18、（2024下·西宁市·高二期中）王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论，、各分得张与、两人一人得张、另外一人得张，按照分步、分类计数原理及组合数公式计算可得. 【详解】依题意，若、各分得张，则有种不同的分法； 若、两人一人得张、另外一人得张，则有种不同的分法； 综上可得一共有种不同的分法. 故选：B 19、（2024下·西宁市·高二期中）3600的正因数的个数是（ ） A. 55 B. 50 C. 45 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】先分解得到，从而根据组合知识求出答案. 【详解】由题意，故因数2可以选择个， 同理因数3可以选择个，因数5可以选择个， 因此正因数的个数是． 故选：C． 20、（2024下·西宁市·高二期中）已知有9本不同的书． （1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ （2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 【答案】（1）280 （2）1260 【解析】 【分析】（1）根据平均分堆即可由排列组合求解， （2）根据不平均分堆即可由排列组合求解. 【小问1详解】 6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为； 【小问2详解】 从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为． 题型6 排列数与组合数的计算 21、（2024下·西宁市·高二期中） 可以表示为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒ 【详解】＝， 故选：C﹒ 22、（2024下·西宁市·高二期中）组合数恒等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数的性质直接求解. 【详解】. 故选：A 23、（2024下·西宁市·高二期中）__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由排列数及组合数公式求解． 【详解】解：， 故答案为： 24、（2024下·西宁市·高二期中）若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据排列数和组合数可得，且，运算求解即可. 【详解】因为， 则，且， 整理得：，解得或（舍去）. 故答案为：3. 25、（2024下·西宁市·高二期中）若，则正整数=_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用排列数的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，且， 整理得到，解得， 故答案为：. 26、（2024下·西宁市·高二期中）（1）求值：; （2）解方程：． 【答案】（1）165；（2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于； （2）由排列数计算公式可得，可得. 【详解】（1）因为，所以， 原式 ； （2）因为， 所以， 化简可得，同时， 解得. 题型7 二项式定理 27、（2024下·西宁市·高二期中）的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】写出展开式的通项，即可计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 所以展开式中的系数为. 故选：D 28、（2024下·西宁市·高二期中）在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为，. 由已知得，得. 故选：B 29、（2024下·西宁市·高二期中） 的展开式中有理项的项数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为整数，求出有理项． 【详解】的展开式的通项为， 当x的指数是整数时为有理项， ∴当或时，为有理项， 故选C. 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查了有理项的概念，属于基础题． 30、（2024下·海东市·高二期中） 的展开式中，的系数与常数项之差为（ ） A. －3 B. －1 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】取即可得常数项，将多项式化为，根据二项式定理，分别求出，中的项数，再求和，即可求得的系数，即可得出结果. 【详解】解：因为， 取可得常数项为：， 在中，含的项为， 在中，含的项为， 所以的展开式中，的系数为， 所以的系数与常数项之差为. 故选：C 31、（2024下·西宁市·高二期中）若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理可得答案. 【详解】 . 故选：B 32、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）若则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，则，再利用赋值法判断A、C，利用展开式的通项判断B，对式子两边求导，再利用赋值法判断D. 【详解】因为， 令，则， 令，可得，故A错误； 令，可得， 令，可得， 两式相加可得， 所以，故C正确； 将两边对求导可得， 再令，可得，故D错误； 二项式展开式的通项为，所以，故B正确； 故选：BC 33、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的系数之和为2187 C. 项系数为280 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的展开式有项，判断A的真假；令可得展开式中所有项的系数和，判断B的真假；计算的系数，判断C的真假；利用所有项的二项式系数和为判断D的真假. 【详解】选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误； 选项B：令，则所有项的系数和为，故B正确； 选项C：展开式的项为，故C正确； 选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：BCD 34、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为 C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据二项式系数之和为分析判断；对于B：令，可得所有项系数之和；对于C：结合二项展开式的通项分析求解；对于D：根据二项式系数的最值分析求解. 【详解】对于选项A：因为，可知二项式系数之和为，故A正确； 对于选项B：令，可得所有项系数之和为，故B错误； 对于选项C：因为展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为，故C正确； 对于选项D：因为，可知二项式系数最大值为，为第4项，故D错误； 故选：AC. 35、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）（多选）若展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（    ） A．的值可能为3 B．展开式的常数项为1120 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式系数的绝对值之和可能为 【答案】AD 【分析】采用赋值法，令，利用各项系数和为1，可求的值；根据的值，再求常数项，可判断B的真假；在中，令，可得展开式系数的绝对值之和，可判断D的真假；在利用二项式系数的性质判断C的真假. 【详解】令，根据展开式中各项系数的和为1，可得或. 故A正确； 对B：展开式的常数项为. 当时，常数项为；当时，.故B错； 对C：因为，所以展开式的第5项的二项式系数最大.故C错； 对D：在中，令，可得原展开式系数的绝对值之和为，当时，展开式系数的绝对值之和为.故D正确. 故选：AD 36、（多选题）（2024下·海东市·高二期中）对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中的常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式定理和二项式系数的性质判断各选项. 【详解】的展开式共有9项，故A错误； 展开式中的常数项为，故B正确； 令，则展开式中各项系数之和为，故C正确； 展开式中的二项式系数之和为，故D错误. 故选：BC 37、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式项的系数求法判断A；分别令和，两式相加求解可判、C；令，得，可求，可判断D 【详解】，故A错误； 在中，令，可得 ①，故B正确； 在中，令，可得 ②， 由，可得，故C正确； 令，得，可得，故D正确． 故选：BCD． 38、（2024下·西宁市·高二期中）在的展开式中，的系数为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 所以取，得的系数为. 故答案为：. 39、（2024下·西宁市·高二期中）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： (1)展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）写出展开式的通项，即可得到第五项的二项式系数与第三项的系数，从而得到方程，根据组合数的性质求出，再根据二项式系数和为计算可得； （2）写出展开式的通项，令求出，再代入计算可得. 【详解】（1）二项式展开式的通项为（且）， 所以第五项的二项式系数，第三项的系数为， 依题意可得，即，所以， 则， 所以展开式中所有二项式系数的和为. （2）由（1）可得二项式展开式的通项为（且）， 令，又且，则或或， 所以有理项有，，. 40、（2024下·海东市·高二期中）在二项式展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②所有偶数项的二项式系数的和为128. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中含的项. （备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①：，利用组合数公式，计算可得；从而得到的展开通项，结合二项式系数的性质即可得解； 选择②：转化为，计算可得；从而得到的展开通项，结合二项式系数的性质即可得解. （2）结合（1）中结论，令，即可得解. 【小问1详解】 选择①：依题意，得，即， 即，即，解得或（舍去）. 所以的展开式中通项公式为， 显然，当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，考虑， 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. 选择②：依题意，得，即，解得. 所以的展开式中通项公式为， 显然，当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，此时， 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. 【小问2详解】 由（1）得的展开式中通项公式为， 令，得， 所以的展开式中含x2的项为. 41、（2024下·西宁市·高二期中）已知二项式． （1）求展开式中的有理项； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1），，，，，，，，. （2）， 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项，由的指数为有理数求得的值，即可得答案； （2）直接由（1）中求得的项得结论． 【小问1详解】 的展开式的通项为，， 展开式中的每一项都是有理项，分别为： ，，，，，，，， 【小问2详解】 由（1）可知，展开式中系数最大的项为第三项与第四项，分别为，． 42、（2024下·西宁市·高二期中）在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②所有偶数项的二项式系数的和为128. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中含的项. （备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①：，利用组合数公式，计算可得；从而得到展开通项，结合二项式系数的性质即可得解； 选择②：转化为，计算可得；从而得到的展开通项，结合二项式系数的性质即可得解. （2）结合（1）中结论，令，即可得解. 【小问1详解】 选择①：依题意，得，即， 即，即，解得或（舍去）. 所以的展开式中通项公式为， 显然，当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，考虑， 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. 选择②：依题意，得，即，解得. 所以的展开式中通项公式为， 显然，当为偶数时，展开式中系数才可能取得最大，此时， 根据二项式系数的性质可知，系数最大的项为第5项，即. 【小问2详解】 由（1）得的展开式中通项公式为， 令，得， 所以的展开式中含x2的项为. 43、（2024下·西宁市·高二期中）在的展开式中， （1）系数的绝对值最大的项是第几项？ （2）求二项式系数最大的项. （3）求系数最大的项. 【答案】（1）第6项和第7项； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，结合已知列出不等式并求解即得. （2）利用二项式系数的性质求解即得. （3）利用（1）的结论，按正负比较即得. 【小问1详解】 的展开式的通项为， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即，解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 【小问2详解】 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，. 【小问3详解】 由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正， 所以系数最大的项为第7项. 题型1 排队问题 44、（2024下·海南州·高二期中）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座， 共有种排法； 再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法， 故总共有种排法； 故选：D. 45、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）将a，b，c，d，e五个字母排成一排，下列说法正确的是（ ） A. 一共有种排法 B. a，b相邻有种排法 C. a，b不相邻有种排法 D. a不排两端有种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全排列定义，捆绑法，插空法，特殊元素特殊位置法判断各选项． 【详解】A：由全排列定义知A正确； B：ab相邻，可采用捆绑法，有种排法，B错误； C：ab不相邻，故元素a，b插空，共有种排法，C正确； D：先排a，有种排法，再排b，c，d，e，有种排法，共有种排法，D正确． 故选：ACD． 46、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 47、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 48、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）． A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况. 【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法， 共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排， 若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C正确； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BCD. 49、（2024下·西宁市·高二期中） “仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为______. 【答案】72 【解析】 【分析】根据插空法求排法种数. 【详解】先排仁，义，信，三个字，再将礼智两个字插空，共有种方法. 故答案为：72 50、（2024下·西宁市·高二期中）现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有___种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先将除甲、乙之外的其他人排列，再安排甲、乙两人即可. 【详解】先排除甲、乙之外其他人有，此时中间形成3个空隙， 再把甲安排到这个位置上，有种方法. 由于甲、乙不相邻，再把乙放在包括端点的其他个位置上，有种方法， ∴共有种． 故答案为：288. 51、（2024下·西宁市·高二期中）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的一个空位中，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的一个空位中， 所以不同的排队方法种数为（种）． 故答案为：. 52、（2024下·海东市·高二期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： （1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 【答案】（1）576 （2）1440 【解析】 【分析】（1）由捆绑法及分步乘法计数原理即可求解； （2）由插空法及分步乘法计数原理，即可求解． 【小问1详解】 根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法， 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法． 【小问2详解】 根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有60×24=1440种坐法． 53、（2024下·西宁市·高二期中）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同站法？ （3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 【答案】（1）1440 （2）144 （3）2520 【解析】 【分析】（1）特殊位置特殊考虑，先取两位男生放置在两端，另5位全排列，列出等式，计算即可； （2）不相邻问题插空，先将另3名女生全排列，空出4个位置，让男生插空站入， 列出等式，计算即可； （3）排序问题，先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外另5人排列，后将甲乙站入， 列出等式，计算即可. 【小问1详解】 解：先选2名男生排两端有种方法，再排其余学生有种方法， 所以两端是男生的不同站法有（种）； 【小问2详解】 先排3名女生有种方法，再将4名男生插入4个空隙中有种方法， 所以任意两名男生不相邻的不同站法有（种）； 【小问3详解】 先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列共有：种方法， 再将甲乙按照甲在乙右边的顺序，放置另两个位置中共1种， 所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有（种）． 54、（2024下·海南州·高二期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： （1）甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？ （2）2名家长互不相邻的坐法有多少种？ （3）2名家长坐一起有多少种？ 【答案】（1）60 （2）72 （3）48 【解析】 【分析】（1）由排列数的意义即可求解； （2）由分步乘法计数原理以及插空法即可求解； （3）由分步乘法计数原理以及捆绑法即可求解. 【小问1详解】 因为甲同学必须坐乙同学左边，又一共有5人， 故所求坐法有种. 【小问2详解】 根据题意，先将3名同学排好，有种坐法， 再在这3名同学之间及两头的4个空位中插入2名家长，有种坐法， 由分步乘法计数原理可知，共有种坐法. 【小问3详解】 两名家长捆绑有种，然后与三名学生和整体进行全排，所以有种. 55、（2024下·西宁市·高二期中）为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． （1）高二年级一共有多少不同的分组方案？ （2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】（1）120种； （2）36种. 【解析】 【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算. （2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【小问1详解】 两组都是3女2男的情况有（种）： 一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种）， 所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案. 【小问2详解】 视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种， 再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种， 所以不同排列方式的种数是. 题型2 涂色问题 56、（2024下·海南州·高二期中）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有______种涂色方式． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，利用穷举法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份地图区域，相邻省份地图颜色不相同， 则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色， 共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“贵州和陕西”、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”、{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”，共有5种情况， 所以不同的涂色共有种. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 排列组合 题型1 计数原理的应用 1、（2024下·西宁市·高二期中） 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 2、（2024下·西宁市·高二期中）某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（ ） A. 24种 B. 9种 C. 3种 D. 26种 3、（2024下·西宁市·高二期中）某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 4、（2024下·海东市·高二期中） 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A. 108种 B. 90种 C. 72种 D. 36种 5、（多选题）（2024下·海南州·高二期中）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ） A. 甲乙丙三人选择课程方案有120种方法 B. 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案 C. 恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种 D. 若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式. 6、（2024下·西宁市·高二期中）三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种. 7、（2024下·海东市·高二期中）从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种． 题型2 组数问题 8、（2024下·西宁市·高二期中）从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为（   ） A． B． C． D． 9、（2024下·西宁市·高二期中）有0，1，2，3，4五个数字，问： (1)可以组成多少个无重复数字的四位密码? (2)可以组成多少个无重复数字的四位数? 10、（2024下·西宁市·高二期中）由0，1，2，3，4这五个数字． （1）能组成多少个无重复数字的五位数？ （2）能组成多少个无重复数字的五位偶数？ （3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 题型3 抽取与分配问题 11、（2024下·西宁市·高二期中）垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（    ） A．7种 B．12种 C．64种 D．81种 12、（2024下·西宁市·高二期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人. 13、（2024下·西宁市·高二期中） 从4名男生和3名女生中各选2人， （1）共有多少种不同选法？ （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？ （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 题型4 排列问题 14、（2024下·海东市·高二期中）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 120种 15、（2024下·西宁市·高二期中）为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为（ ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 27 16、（2024下·西宁市·高二期中）一条铁路线上原有个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了个车站，客运车票增加了种，则 . 题型5 组合问题 17、（2024下·西宁市·高二期中）某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（ ） A. 120种 B. 84种 C. 52种 D. 48种 18、（2024下·西宁市·高二期中）王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 19、（2024下·西宁市·高二期中）3600的正因数的个数是（ ） A. 55 B. 50 C. 45 D. 40 20、（2024下·西宁市·高二期中）已知有9本不同的书． （1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？ （2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答） 题型6 排列数与组合数的计算 21、（2024下·西宁市·高二期中） 可以表示为( )． A. B. C. D. 22、（2024下·西宁市·高二期中）组合数恒等于（ ） A. B. C. D. 23、（2024下·西宁市·高二期中）__________. 24、（2024下·西宁市·高二期中）若，则__________. 25、（2024下·西宁市·高二期中）若，则正整数=_________. 26、（2024下·西宁市·高二期中）（1）求值：; （2）解方程：． 题型7 二项式定理 27、（2024下·西宁市·高二期中）的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 20 D. 40 28、（2024下·西宁市·高二期中）在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4 29、（2024下·西宁市·高二期中） 的展开式中有理项的项数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 30、（2024下·海东市·高二期中） 的展开式中，的系数与常数项之差为（ ） A. －3 B. －1 C. 5 D. 7 31、（2024下·西宁市·高二期中）若，则（ ） A. B. C. D. 32、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）若则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 33、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的系数之和为2187 C. 项系数为280 D. 所有项的二项式系数之和为128 34、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为 C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大 35、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）（多选）若展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（    ） A．的值可能为3 B．展开式的常数项为1120 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式系数的绝对值之和可能为 36、（多选题）（2024下·海东市·高二期中）对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式中的常数项是70 C. 展开式中各项系数之和为0 D. 展开式中的二项式系数之和为64 37、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）已知，则（ ） A. B. C. D. 38、（2024下·西宁市·高二期中）在的展开式中，的系数为______________. 39、（2024下·西宁市·高二期中）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： (1)展开式中所有二项式系数的和； （2）求展开式中所有的有理项. 40、（2024下·海东市·高二期中）在二项式展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②所有偶数项的二项式系数的和为128. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中含的项. （备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分） 41、（2024下·西宁市·高二期中）已知二项式． （1）求展开式中的有理项； （2）求展开式中系数最大的项． 42、（2024下·西宁市·高二期中）在二项式的展开式中，______.给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于37； ②所有偶数项的二项式系数的和为128. 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中含的项. （备注：如果多个条件分别解答，则按第一个条件计分） 43、（2024下·西宁市·高二期中）在的展开式中， （1）系数的绝对值最大的项是第几项？ （2）求二项式系数最大的项. （3）求系数最大的项. 题型1 排队问题 44、（2024下·海南州·高二期中）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 45、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）将a，b，c，d，e五个字母排成一排，下列说法正确的是（ ） A. 一共有种排法 B. a，b相邻有种排法 C. a，b不相邻有种排法 D. a不排两端有种排法 46、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 47、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 48、（多选题）（2024下·西宁市·高二期中）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）． A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 49、（2024下·西宁市·高二期中） “仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为______. 50、（2024下·西宁市·高二期中）现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有___种．（用数字作答） 51、（2024下·西宁市·高二期中）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮踪”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物相邻的排队方法数为____________．（用数字作答） 52、（2024下·海东市·高二期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求： （1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ （2）3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 53、（2024下·西宁市·高二期中）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同站法？ （3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 54、（2024下·海南州·高二期中）根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： （1）甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？ （2）2名家长互不相邻的坐法有多少种？ （3）2名家长坐一起有多少种？ 55、（2024下·西宁市·高二期中）为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛． （1）高二年级一共有多少不同的分组方案？ （2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 题型2 涂色问题 56、（2024下·海南州·高二期中）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有______种涂色方式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$