7.4.1二项分布（五个重难点突破）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

7.4.1二项分布 一、n重伯努利实验的判断 四、二项分布的均值与方差 二、n重伯努利实验的概率问题 五、服从二项分布的概率最值问题 三、二项分布及其应用 知识点1次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 重难点一、n重伯努利实验的判断 【例1】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）设为重伯努利试验中事件A发生的次数，则．( ) （2）在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( ) （3）对于n重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．( ) （4）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率.( ) 【答案】 正确 正确 错误 正确 【详解】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验， 在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，各次试验中事件发生的概率相同， 故（2）正确，（3）错误； 二项分布的定义为：在重伯努利试验中， 设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数， 则这个事件恰好发生次的概率， 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布， 记作，故（1）正确，（4）正确． 故答案为：（1）正确，（2）正确，（3）错误，（4）正确． 【例2】（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 【答案】ACD 【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验． B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验． C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验． D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验． 故选：ACD． 【变式1-1】（多选）对于伯努利试验，以下说法其中正确的是（    ） A．每次试验之间是相互独立的 B．每次试验只有两个相互对立的结果 C．每次试验中事件A发生的概率相等 D．各次试验中，各个事件是互斥的 【答案】ABC 【详解】伯努利试验即为n次独立重复性实验，则有： 每次试验之间是相互独立的，故A正确； 每次试验均为分布，即每次试验只有两个相互对立的结果，故B正确； 每次试验中事件A发生的概率相等，故C正确； 各次试验之间没有关联，即各次实验结果互不干扰，可以同时发生， 故各次试验中，各个事件不是互斥的，故D错误； 故选：ABC. 【变式1-2】判断正误（正确的写正确，错误的打写错误） （1）有放回地抽样试验是重伯努利试验．( ) （2）在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( ) （3）在重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．( ) （4）如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率.( ) 【答案】 正确 正确 错误 正确 【详解】（1）中，在有放回地抽样试验中，其中每次抽取之间是相互独立的，所以是重伯努利试验，所以（1）正确； （2）中，在重伯努利试验中，每次的试验结果之间世相互独立的，所以各次试验的结果相互没有影响，所以（2）正确； （3）中，在重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率是相同的，所以（3）错误； （4）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，根据独立重复试验的概率公式，可得在重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率，所以（4）正确. 故答案为：（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）正确. 【变式1-3】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件； ②是相互独立事件； ④是独立重复试验； 所以只有④符合题意， 故选：D. 重难点二、n重伯努利实验的概率问题 【例3】某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是. 故选：D 【例4】某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 (1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； (2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； (3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 【答案】(1)0.94 (2) (3)超过，理由见解析 【详解】（1）由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人， 所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为. （2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“， 事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误； 根据题中数据，可估计为可估计为 该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 所以， 所以. 因此恰有一人检测结果错误的概率为 （3）此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次， 那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为. 【变式2-1】某项智力测试共有，，，，五道试题，测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道试题才算通过测试．小明答对，，三道试题的概率均为，答对，两道试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立，则小明在答错试题的条件下通过测试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小明已经答错了试题,故要通过测试需在，，，四道试题中至少答对其中三道试题. ∵至少答对其中三道试题包括恰好答对三道试题和答对四道试题两种情况， ∴至少答对其中三道试题的概率为. 所以小明在答错试题的条件下通过测试的概率为. 故选：D. 【变式2-2】五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概率为 ． 【答案】/0.104 【详解】依题意，旅客人数超过1100人的概率不低于0.2，即， 所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为 . 故答案为： 【变式2-3】已知甲，乙两人下棋， (1)若每局两人获胜的可能性一样，在一场三局两胜的比赛中，最终获胜者赢得10万元奖金．若第一局比赛甲胜，后因客观因素终止比赛．问怎样分10万元奖金才公平？ (2)若甲每局获胜的概率均为且每局之间的胜负互不影响，对于甲而言，一局定胜负和三局两胜比较，哪个更有利？ 【答案】(1)甲应该分得万元，乙分得万元； (2)一局定胜负. 【详解】（1）若两局比完，甲第局获胜，概率为； 若三局比完，甲第局输，第局赢，概率为； 故比完比赛，甲获胜的概率为，因此甲应该分得万元，乙分得万元. （2）一局定胜负，甲获胜的概率是； 三局两胜，甲连胜两局，或者第三局赢，前两局赢一次输一次，概率为. ，而，故， 即，于是一局定胜负更有利. 知识点2二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 重难点三、二项分布及其应用 【例5】已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (1)这能否看成独立重复试验？ (2)求甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率； (3)求恰有3个患者被治愈的概率； (4)设有X人被治愈，求X的分布列. 【答案】(1)可以看成4次独立重复试验； (2)； (3)； (4)分布列见解析 【详解】（1）由题意可知：因为每名患者被治愈的概率不会互相影响， 所以构成独立重复实验．可以看成4次独立重复试验； （2）由独立事件乘法公式可得甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率： ； （3）恰有3个患者被治愈的概率：； （4）根据题意可知则 , , , , . 则分布列为： 【例6】中国教育国际交流协会主办的联合国国际教育日一中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为（每项得分不考虑平局的情况）． (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率； (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设打分结束后，方案一恰好领先方案二1分为事件A，由题可得方案一5项功能获胜3项， 所以． 即所求的概率为． （2）由题意可知；；； ；；． 则随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 【变式3-1】甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立. (1)记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值 (2)求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； (3)求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3) 【详解】（1）由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为， 则，的可能取值为，，，， 所以，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以（或）； （2）由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为， 因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛， 则分两种情况：乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜， 所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （3）由题知比赛局结束，且甲赢得比赛， 应要满足：前局甲只赢局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢， 又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为， 故所求概率为． 【变式3-2】为贯彻落实（全国青少年学生读书行动实施方案），某校持续开展“学习新思想、做好接班人”“典耀中华”“学科学、爱科学”等主题读书活动．为了解学生的主题读书活动情况，从全校学生3000名中抽取了部分学生的一周阅读时间x（单位：分钟）作为样本进行统计，数据从小到大依次分为五组：，，，，，得到下面的频率分布直方图（如图所示），其中第1组的频率是第2组、第4组频率的等比中项． (1)求a，b的值； (2)以频率估计概率，从全校学生中，随机抽取4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三组的学生数为X，求X的概率分布． 【答案】(1) (2)X的概率分布见解析 【详解】（1）因为第1组的频率是第2组、第4组频率的等比中项， 所以，解得， 又，解得． 所以， （2）第3组的频率为：， 以频率估计概率，从全校3000名学生中，随机抽取4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三组的学生数为，则， ， ， ， ， ， 故的概率分布如下 0 1 2 3 4 【变式3-3】随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件，“回答正确”为事件， 由测试结果知，，，， 所以． 记“测试的个问题都回答正确”为事件，“测试的个问题中恰有个存在语法错误”为事件， 则， ， 所以． （2）由（1）可得，则的可能取值为，，，， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 重难点四、二项分布的均值与方差 【例7】已知随机变量，且，则等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】A 【详解】由，得，，解得， 所以． 故选：A． 【例8】南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，375元 【详解】（1）设新匠人第一件作品是精品为事件，第二件作品是精品为事件， 由题意. （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为, 由题意，，， 所以, ， ， ， 所以分布列为： 300 500 700 900 （元）. 【变式4-1】已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 【变式4-2】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 【变式4-3】强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中． (1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，. （2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则，故，即的取值范围是. 重难点五、服从二项分布的概率最值问题 【例9】我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为.若这个人能够找到鱼窝的概率为. (1)求此人能捕到鱼的概率； (2)此人连续下网次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为，则为何值时，次捕到鱼的概率的值最大? 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）记事件为“此人能补到鱼”，事件为“此人能找到鱼窝”， 则，，， . （2）由（1）知：，， 假设当时，次补到鱼的概率最大， 则，解得：， 若的值最大，则，解得：， 又且，或， 即当或时，次补到鱼的概率的值最大. 【例10】“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)台或台 【详解】（1）由题意可知，， 可得，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为. （2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则． 且， 由得，其中，， 即，解得． 所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台． 【变式5-1】在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2)2枚 【详解】（1）由题意得，可取0，1，2，3，4. ， ， ， ，… ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）每一轮获得纪念章的概率为， 每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布， 设10轮答题获得纪念章的数量为，则， ，. 由， 得， 解得，又，得，则获得2枚纪念章的概率最大. 【变式5-2】2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3)或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【详解】（1）由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人， 所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人， 则成绩优秀的学生人数可取，所以 ；；. 所以分布列为 0 1 2 则期望. （2）记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生， 由已知条件可知，， 所以. （3）记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为， 由题意可知，， 所以，令， 则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【变式5-3】某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)答案见解析，2， (2)（i）；（ii）答案见解析 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， . （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以， 则， 所以当时，， 即增加2个元件设备正常工作的概率变大， 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大， 又因为，所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，，是解题的难点与关键. 一、单选题 1．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意“莎头”组合以获胜，即前四局胜三局，负一局，第五局获胜， 所以获胜概率为：， 故选：D 2．已知随机变量服从二项分布若，则（    ） A．144 B．48 C．24 D．16 【答案】D 【详解】因为， 所以， ， ， 故选：D 3．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 4．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可． 【详解】由题可知每一轮过关的概率: ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故．因为，所以，则. 故选：D. 6．某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，表达出，是解决本题的关键. 二、多选题 7．随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观的表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由频率分布直观图可得可以取0，1，2，3，4，所以，故A错误； 对于B，由，所以，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：BCD 8．泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数，其概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.当二项分布的很大而很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，且取二项分布的期望.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0005，设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为表示经该种紫外线照射后产生个嘧啶二体的概率.已知近似服从泊松分布，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率为 D．经该种紫外线照射后产生10个嘧啶二体的概率最大 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以此时泊松分布满足二项分布的近似的条件，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D， ， 当时，，当时，； 当时，；故当或5时取最大值，D错误. 故选:AC. 三、填空题 9．已知随机变量，若，，则 ． 【答案】16 【详解】因为，，所以．所以，． 故答案为：16 10．腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 【答案】 【详解】依题意，记机器人向右跳动的次数为，则易知，所以机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 故答案为：． 11．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 【答案】13或14 【详解】由题意得，且， 则，即 故又，所以或， 故当或时，取得最大值. 故答案为：13或14. 四、解答题 12．为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖．小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差． 【答案】分布列见解析， 【详解】的取值可能为0，1，2，3，4，由， 有，， ，， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 有． 13．为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图： (1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，...，第6组，从第5组和第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率； (2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望； (3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%. 请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适?（只需写出结论）. 【答案】(1)； (2)的分布列见解析，； (3)应定为325合适. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，100户居民中， 第5组居民户数为，第6组的居民户数为， 所以从第5组和第6组中任取2户居民，他们月均用电量都不低于的概率为. （2）该地区月均用电量在之间的用户所占的频率为， 所以由题意可知，的可能取值为， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . （3）由频率分布直方图可知月均用电量在之间的用户所占的频率为， 设月均用电量的样本数据的第98百分位数为b，则， 所以， 所以应定为325合适. 14．2024年11月12日至17日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举办．珠海市某高级中学为了加深同学们对我国综合国防实力及军民融合成果的了解，举行了全校性的航空航天知识比赛．比赛分初赛和决赛两轮，初赛规则：先用分层随机抽样的方法确定高一、高二、高三各年级参加决赛的人数，然后在全校进行笔试普选，最后按笔试成绩由高到低确定最终人选．决赛规则：选手从3道航空类试题和2道航天类试题中随机抽取3道题作答，且抽取的试题中至少要包含1道航空类试题，最后按得分排名．评分规则：对于航空类试题，每道题若作答正确得10分，否则得0分；对于航天类试题，若只能正确作答1道得20分，若能正确作答2道得50分，若作答错误得0分． (1)已知该校高一年级有320名学生，高二年级有360名学生，高三年级有400名学生，若按照规则高一年级有8名学生获得参加决赛的资格，求全校获得参加决赛资格学生的总人数； (2)已知同学甲进入了决赛，他能正确作答每道航空类试题的概率均为，能正确作答每道航天类试题的概率均为，且每道试题能否正确作答相互独立，若以最终得分的数学期望为依据，则甲应选择怎样的方案参赛？请说明理由． 【答案】(1)27 (2)甲应选择方案3，即选择1道航空类试题和2道航天类试题参赛，理由见解析 【详解】（1）设全校获得参加决赛资格学生的总人数为， 则，解得， 即全校获得参加决赛资格学生的总人数为27； （2）由题意，甲的参赛方案有三种： 方案1：选择3道航空类试题， 方案2：选择2道航空类试题和1道航天类试题， 方案3：选择1道航空类试题和2道航天类试题， 对于方案1：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为， 且，所以， 对于方案2：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为，30，40， 则， ， ， ， ，所以， 对于方案3：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为，50，60， 则， ， ， ， ， ，所以． 因为， 所以甲应选择方案3，即选择1道航空类试题和2道航天类试题参赛． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4.1二项分布 一、n重伯努利实验的判断 四、二项分布的均值与方差 二、n重伯努利实验的概率问题 五、服从二项分布的概率最值问题 三、二项分布及其应用 知识点1次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 重难点一、n重伯努利实验的判断 【例1】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）设为重伯努利试验中事件A发生的次数，则．( ) （2）在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( ) （3）对于n重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．( ) （4）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率.( ) 【例2】（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 【变式1-1】（多选）对于伯努利试验，以下说法其中正确的是（    ） A．每次试验之间是相互独立的 B．每次试验只有两个相互对立的结果 C．每次试验中事件A发生的概率相等 D．各次试验中，各个事件是互斥的 【变式1-2】判断正误（正确的写正确，错误的打写错误） （1）有放回地抽样试验是重伯努利试验．( ) （2）在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( ) （3）在重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．( ) （4）如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率.( ) 【变式1-3】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 重难点二、n重伯努利实验的概率问题 【例3】某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（   ） A． B． C． D． 【例4】某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 (1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； (2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； (3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 【变式2-1】某项智力测试共有，，，，五道试题，测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道试题才算通过测试．小明答对，，三道试题的概率均为，答对，两道试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立，则小明在答错试题的条件下通过测试的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概率为 ． 【变式2-3】已知甲，乙两人下棋， (1)若每局两人获胜的可能性一样，在一场三局两胜的比赛中，最终获胜者赢得10万元奖金．若第一局比赛甲胜，后因客观因素终止比赛．问怎样分10万元奖金才公平？ (2)若甲每局获胜的概率均为且每局之间的胜负互不影响，对于甲而言，一局定胜负和三局两胜比较，哪个更有利？ 知识点2二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 重难点三、二项分布及其应用 【例5】已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (1)这能否看成独立重复试验？ (2)求甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率； (3)求恰有3个患者被治愈的概率； (4)设有X人被治愈，求X的分布列. 【例6】中国教育国际交流协会主办的联合国国际教育日一中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为（每项得分不考虑平局的情况）． (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率； (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列． 【变式3-1】甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立. (1)记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值 (2)求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； (3)求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率 【变式3-2】为贯彻落实（全国青少年学生读书行动实施方案），某校持续开展“学习新思想、做好接班人”“典耀中华”“学科学、爱科学”等主题读书活动．为了解学生的主题读书活动情况，从全校学生3000名中抽取了部分学生的一周阅读时间x（单位：分钟）作为样本进行统计，数据从小到大依次分为五组：，，，，，得到下面的频率分布直方图（如图所示），其中第1组的频率是第2组、第4组频率的等比中项． (1)求a，b的值； (2)以频率估计概率，从全校学生中，随机抽取4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三组的学生数为X，求X的概率分布． 【变式3-3】随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表： 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． (1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； (2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为，求的分布列． 重难点四、二项分布的均值与方差 【例7】已知随机变量，且，则等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【例8】南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 【变式4-1】已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【变式4-3】强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中． (1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围． 重难点五、服从二项分布的概率最值问题 【例9】我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为.若这个人能够找到鱼窝的概率为. (1)求此人能捕到鱼的概率； (2)此人连续下网次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为，则为何值时，次捕到鱼的概率的值最大? 【例10】“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． (1)若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； (2)若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ 【变式5-1】在第九个全民国家安全教育日即将来临之际，拉萨市人民检察院于12日会同拉萨市委宣传部、拉萨市普法办、拉萨市教育局等部门，共同举办了以“检爱同行，共护花开”为主题的首届拉萨市青少年国家安全知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知吴科同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.经过激烈的角逐，拉萨江苏实验中学代表队获得一等奖，拉萨市第三高级中学、拉萨市北京中学代表队获得二等奖，拉萨市第二高级中学、拉萨市第二中等职业技术学校、拉萨市第四高级中学代表队获得三等奖. (1)记吴科同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (2)若吴科同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大. 【变式5-2】2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； (3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 【变式5-3】某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为（）件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 一、单选题 1．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从二项分布若，则（    ） A．144 B．48 C．24 D．16 3．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 6．某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 7．随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观的表示，则（    ） A． B． C． D． 8．泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数，其概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.当二项分布的很大而很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，且取二项分布的期望.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0005，设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为表示经该种紫外线照射后产生个嘧啶二体的概率.已知近似服从泊松分布，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率为 D．经该种紫外线照射后产生10个嘧啶二体的概率最大 三、填空题 9．已知随机变量，若，，则 ． 10．腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为 ． 11．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 四、解答题 12．为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖．小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差． 13．为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图： (1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，...，第6组，从第5组和第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率； (2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计概率，求的分布列和数学期望； (3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%. 请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适?（只需写出结论）. 14．2024年11月12日至17日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举办．珠海市某高级中学为了加深同学们对我国综合国防实力及军民融合成果的了解，举行了全校性的航空航天知识比赛．比赛分初赛和决赛两轮，初赛规则：先用分层随机抽样的方法确定高一、高二、高三各年级参加决赛的人数，然后在全校进行笔试普选，最后按笔试成绩由高到低确定最终人选．决赛规则：选手从3道航空类试题和2道航天类试题中随机抽取3道题作答，且抽取的试题中至少要包含1道航空类试题，最后按得分排名．评分规则：对于航空类试题，每道题若作答正确得10分，否则得0分；对于航天类试题，若只能正确作答1道得20分，若能正确作答2道得50分，若作答错误得0分． (1)已知该校高一年级有320名学生，高二年级有360名学生，高三年级有400名学生，若按照规则高一年级有8名学生获得参加决赛的资格，求全校获得参加决赛资格学生的总人数； (2)已知同学甲进入了决赛，他能正确作答每道航空类试题的概率均为，能正确作答每道航天类试题的概率均为，且每道试题能否正确作答相互独立，若以最终得分的数学期望为依据，则甲应选择怎样的方案参赛？请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$